\chapter{Nombres complexes}

\section{Nombres complexes: partie algébrique}

\begin{exointro}{Lycée Fénelon, Paris} 
\begin{questions}
\item Soient $z_1$ et $z_2$ les nombres complexes $z_1=\dfrac{\im}{4-3\im}$ et $z_2=\dfrac{1+\im}{1-\im}$.

Mettre sous la forme algébrique les nombres $z_1$, $\dfrac{1}{z_2}$ et $z_1z_2$.

\item Résoudre l'équation $z-3\overline{z}=1+\im$.
\end{questions}
\end{exointro}


\subsection{Généralités}

\begin{thm}[ensemble des nombres complexes $\C$]
On admet qu'il existe un ensemble, noté $\C$, de nombres $z$ s'écrivant sous la forme $z= a + \im b$, où $\im^2=-1$, $a\in\R$ et $b\in\R$.

Dans cet ensemble, on admet que les règles de calculs sont identiques à celles valables dans $\R$ (notamment addition et multiplication).
\end{thm}

\begin{defins}
Soit $z=a+\im b$ un nombre complexe.
\begin{itemize}
\item $a$ est appelé la \textit{partie réelle} de $z$, et noté $\Re(z)$;
\item $b$ est appelé la \textit{partie imaginaire} de $z$, et noté $\Im(z)$.
\end{itemize}
\end{defins}


\begin{thm}
Soient $z_1$ et $z_2$ des nombres complexes. On a :
\[\Re(z_1+z_2)=\Re(z_1)+\Re(z_2)\quad\textrm{et}\quad\Im(z_1+z_2)=\Im(z_1)+\Im(z_2).\]
\end{thm}


\subsection{Conjugué d'un nombre complexe}

\begin{defin} 
Soit $z=a+\im b$ un nombre complexe.

On appelle \textit{conjugué} de $z$ le nombre $\overline{z}=a-\im b$.
\end{defin}

\begin{thm}
Pour tous nombres complexes $z$ et $z'$ : 
\begin{questions}
\begin{multicols}{2}
\item $\overline{zz'}=\overline{z}\cdot\overline{z'} $
\item $\overline{z+z'}=\overline{z}+\overline{z'}$
\item $\overline{\left(\dfrac{z}{z'}\right)}=\dfrac{\,\overline{z}\,}{\,\overline{z'}\,}\quad\ (z'\neq 0)$
\item $\forall n\in\Z,\ \overline{z^n}=\overline{z}\;^n$, $(z\neq0 \text{ si }n<0)$
\end{multicols}
\end{questions}
\end{thm}

\begin{prop}
Soit $z=a+\im b$ un nombre complexe. Alors, $z \times \overline{z} = a^2+b^2$.
\end{prop}

\begin{methode}
On utilise cette dernière propriété pour trouver la forme algébrique de l'inverse d'un nombre. Si $z=3+2\im$ alors:
\[
\dfrac{1}{z}=\dfrac{\overline{z}}{z\times\overline{z}} = \dfrac{3-2\im}{3^2+2^2}=\dfrac{3}{13} - \dfrac{2}{13}\im.
\]
\end{methode}

\begin{prop}
Soit $z$ un nombre complexe.
\begin{itemize}
\item $z=\overline{z} \iff \Im(z)=0$; on dit alors que $z$ est un \textit{réel};
\item $z=-\overline{z} \iff \Re(z)=0$; on dit alors que $z$ est un \textit{imaginaire pur}.
\end{itemize}
\end{prop}

\subsection{Formule du binôme de Newton}

\begin{prop}
Soient $a$ et $b$ deux nombres complexes. Alors,
\[
(a+b)^n = \sum_{k=0}^n \dbinom{n}{k} a^k b^{n-k}.
\]
\end{prop}

\subsection{\'Equations dans $\C$}

\begin{prop}
Soient $z=a+\im b$ et $z'=a' + \im b'$.
\[
z=z' \iff a = a'\qquad\text{et}\qquad b=b'.
\]
\end{prop}

\begin{Exemple}
on souhaite résoudre l'équation $z-2\overline{z}=2+6\im$. On a alors:
\begin{align*}
z-2\overline{z}=2+6\im & \iff (a + \im b) - 2(a - \im b) = 2 + 6\im\\
& \iff -a + 3b\im = 2 + 6\im\\
& \iff -a=2\text{ et }3b=6\\
& \iff a=-2\text{ et }b=2.
\end{align*}
L'équation admet donc pour ensemble solution $\mathcal{S}=\{-2+2\im \}$.
\end{Exemple}

\begin{prop}[équations polynomiales de degré 2]
On considère l'équation $az^2+bz+c=0$ et on note $\Delta=b^2-4ac$. 

L'équation admet:
\begin{itemize}
\item deux solutions réelles si $\Delta=b^2-4ac>0$;
\item une solution réelle si $\Delta=0$;
\item deux solutions complexes si $\Delta<0$ qui sont:
\[
z_1=\dfrac{-b-\text{i}\sqrt{\Delta}}{2a}\qquad\text{et}\qquad
z_2=\dfrac{-b+\text{i}\sqrt{\Delta}}{2a}.
\]
\end{itemize}
\end{prop}

\begin{prop}[factorisation d'un polynôme]
Soit $P(z)$ un polynôme.

Si $P(a)=0$ alors $P(z)$ se factorise par $(z-a)$.
\end{prop}

\begin{Exemple}
Soit $P(z) = 3z^3-7z^2+5z-1$.

$P(1)=0$ donc $P(z)=(z-1)Q(z)$, où $Q$ est un polynôme de degré 2.
\end{Exemple}

\begin{prop}[factorisation de $z^n-a^n$]
Soit $a$ un nombre complexe. Pour tout entier naturel $n\neq0$,
\[
z^n-a^n =(z-a)(z^{n-1}+az^{n-2}+\cdots+a^{n-2}z+a^{n-1})= (z-a)\sum_{k=0}^{n-1}a^k z^{n-1+k}.
\]
\end{prop}

\begin{Exemple}
$z^3-a^3 = (z-a)(z^2+az+a^2)$.
\end{Exemple}

\begin{thm}
Un polynôme de degré $n$ admet au plus $n$ racines complexes.
\end{thm}

\begin{solintro} 
\begin{questions}
\item 
\begin{itemize}
\item $z_1=\dfrac{\im(4+3\im)}{(4-3\im)(4+3\im)}=\dfrac{-3+4\im}{25}=-\dfrac{3}{25}+\dfrac{4}{25}\im$.

\item $\dfrac{1}{z_2}=\dfrac{1-\im}{1+\im}=\dfrac{(1-\im)^2}{1^2+1^2}=\dfrac{1-2\im +\im^2}{2}=\dfrac{1-2\im -1}{2}=-\im$.

\item $\begin{aligned}[t]
z_1z_2 & =\dfrac{\im(1+\im)}{(4-3\im)(1-\im)}=\dfrac{\im-1}{4-4\im-3\im+3\i^2}=\dfrac{(\im-1)(1+7\im)}{1-7\im)(1+7\im)}\\
&=\dfrac{\im+7\im^2-1-7\im}{1^2+7^2}=\dfrac{-8}{50}-\dfrac{6}{50}\im=-\dfrac{4}{25}-\dfrac{3}{25}\im.
\end{aligned}$
\end{itemize}
\end{questions}
\end{solintro}


\section{Nombres complexes: partie géométrie}

\begin{exointro}{Lycée Branly, Nogent}
\'Ecrire sous forme trigonométrique le nombre complexe :
\[
\dfrac{1}{\sqrt{3}}+\dfrac{\im }{3}.
\]
\end{exointro}

\subsection{Affixes}

\begin{defins}
\begin{itemize}
\item On appelle \textit{plan complexe} le plan rapporté à un repère orthonormé direct $\big(O;\vec{u},\vec{v}\big)$.
\item À tout nombre complexe $z=x+\im y$, on peut associer un point $M$ ou un vecteur $\vec{w}$ de coordonnées $(x;y)$; $z$ est alors l'\textit{affixe} de $M$ et l'\textit{affixe} de $\vec{w}$.
\end{itemize}
\end{defins}

\enlargethispage*{5em}

\begin{props}[affixes de points]
Soient $A$ et $B$ deux points du plan complexe, d'affixes respectives $z_A$ et $z_B$.
\begin{itemize}
\item Le milieu de $[AB]$ a pour affixe $\dfrac{z_A+z_B}{2}$.
\item $z_A = \overline{z_B} \iff $ $A$ et $B$ sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses.
\item L'affixe du vecteur $\gvec{AB}$ est $z_B-z_A$.
\end{itemize}
\end{props}

\begin{props}[affixes de vecteurs]
Soient $\vec{w}$ et $\vec{w'}$ deux vecteurs du plan complexe, d'affixes respectives $z$ et $z'$.
\begin{itemize}
\item $\vec{w}+\vec{w'}$ a pour affixe $z+z'$.
\item $\forall k\in\R,\ k\vec{w}$ a pour affixe $kz$.
\item $\vec{w}=\vec{w'} \iff z=z'$.
\end{itemize}
\end{props}

\subsection{Module d'un nombre complexe}

\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-6cm}
\begin{defin} 
On appelle \textit{module} du nombre\\
complexe $z=x+\im y$, et on note $|z|$, le \emph{nombre réel} :
\[
|z|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{z\overline{z}}.
\]
\end{defin}

\begin{Remarque}
quand $z$ désigne l'affixe d'un point $M$, $|z|=OM$, et quand $z$ désigne l'affixe d'un vecteur $\vec{w}$,\\
$|z|=\| \vec{w} \|$.
\end{Remarque}
\end{minipage}
\begin{minipage}{6cm}
\begin{flushright}
\includegraphics{483_complexes-cours-module}
\end{flushright}
\end{minipage}


\begin{props} 
Pour tous nombres complexes $z$ et $z'$ : 
\begin{itemize}
\begin{multicols}{2}
\item $|z|=|\Moy{z}|$
\item $|zz'|=|z|\times|z'|$
\item $\left|\dfrac{z}{z'}\right|=\dfrac{|z|}{|z'|}$ ($z'\neq0$)
\item $|z^n| = |z|^n$ ($n\in\Z$, $z\neq0$ si $n<0$)
\end{multicols}
\item $|z+z'| \leqslant [z| + |z'|$ (inégalité triangulaire)
\end{itemize}
\end{props}

\subsection{Ensemble $\mathbb{U}$}

\begin{defin}[ensemble Unité]
L'ensemble des nombres complexes $z$ tels que $|z|=1$ est noté $\mathbb{U}$.
\end{defin}

\begin{prop}[stabilité de $\mathbb{U}$]
Soient $z$ et $z'$ deux nombres complexes de $\mathbb{U}$. Alors,
\[
zz' \in\mathbb{U} \qquad , \qquad \dfrac{1}{z}\in\mathbb{U} \qquad \text{et} \qquad 
\dfrac{z}{z'}\in\mathbb{U}.
\]
\end{prop}

\subsection{Arguments d'un nombre complexe}

\begin{defin}
Soit $z$ un nombre complexe non nul et $M$ le point du plan complexe d'affixe
$z$. On appelle \textit{argument} de $z$, et on note $\arg(z)$, l'angle $\theta=( \vec{u}, \gvec{OM})$.
\end{defin}

\begin{center}
\includegraphics{484_complexes-cours-argument}
\end{center}

\begin{props}[calcul d'un argument]
Soit $z=x + \im y$. On pose alors $\theta = \arg(z)$. Alors,
\[
\cos\theta = \dfrac{x}{|z|}\qquad\text{et}\qquad\sin\theta=\dfrac{y}{|z|}.
\]
\end{props}

\begin{Remarque}
un argument est toujours défini \textit{modulo} $2\pi$.
\end{Remarque}

\begin{Exemple}
si $z=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt3}{2}\im$, alors $|z|=\sqrt{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt3}{2}\right)^2}=1$, et donc:
\[
\cos\theta = \dfrac{1}{2}\qquad\text{et}\qquad\sin\theta=\dfrac{\sqrt3}{2}.
\]
Ainsi, $\theta=\dfrac{\pi}{3}+2k\pi$, $k\in\Z$. On écrira alors: $\theta=\dfrac{\pi}{3}\pod{2\pi}$. 
\end{Exemple}

\begin{props}
Soient $z$ et $z'$ deux nombres complexes non nuls. Alors, pour $n\in\Z$ :
\begin{itemize}
\begin{multicols}{2}
\item $\arg(zz')=\arg(z)+\arg(z') \pod{2\pi}$
\item $\arg\left(\dfrac{1}{z}\right)=-\arg(z) \pod{2\pi}$
\item $\arg\big(z^n\big)=n\times\arg(z) \pod{2\pi}$ 
\item $\arg\left(\dfrac{z}{z'}\right)=\arg(z)-\arg(z') \pod{2\pi}$
\end{multicols}
\end{itemize}
\end{props}

\subsection{Forme trigonométrique}

\begin{defin}
Soit $z$ un nombre complexe. En notant $r=|z|$ et $\theta=\arg(z)\pod{2\pi}$,
\[
z = r( \cos\theta + \im \sin\theta)
\]
est la \textit{forme trigonométrique} de $z$.
\end{defin}

\begin{Exemple}
$z=1+\im\sqrt3=2\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt3}{2}\im\right)=2\left(\cos\dfrac{\pi}{3}+\im\sin\dfrac{\pi}{3}\right)$.
\end{Exemple}

\begin{solintro}
On a:
\[
\dfrac{1}{\sqrt{3}}+\dfrac{\im }{3} =
\dfrac{2}{3}\left[ \dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\im }{2}\right] = \dfrac{2}{3}\left[ \cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)+\im \sin \left(\dfrac{\pi}{6} \right)\right].
\]
\end{solintro}


\section{Nombres complexes: partie trigonométrie}

\begin{exointro}{Lycée Guy de Maupassant, Fécamp}
\begin{questions}
\item Déterminer la valeur de $\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right)$ et $\sin\left(\dfrac{\pi}{12}\right)$.

\item Déterminer la forme exponentielle du nombre complexe:
\[
\left(2 + 2\sqrt3 \im\right)^5.
\]
\end{questions}
\end{exointro}

\subsection{Formules de trigonométrie}

\begin{props}[formules d'addition]
Soient $a$ et $b$ deux réels. Alors,
\begin{itemize}
\item $\cos(a+b)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)$
\item $\cos(a-b)=\cos(a)\cos(b)+\sin(a)\sin(b)$
\item $\sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\sin(b)\cos(a)$
\item $\sin(a-b)=\sin(a)\cos(b)-\sin(b)\cos(a)$
\end{itemize}
\end{props}

\begin{props}[formules de duplication]
Soient $a$ et $b$ deux réels. Alors,
\begin{itemize}
\item $\cos(2a)=\cos^2(a) - \sin^2(a) = 2\cos^2(a)-1 = 1-2\sin^2(a)$
\item $\sin(2a)=2\sin(a)\cos(a)$
\end{itemize}
\end{props}

\subsection{Forme exponentielle d'un nombre complexe}

\begin{defin}
Soit $z$ un nombre complexe non nul, de module $r$ et d'argument $\theta$. 

La \textit{forme exponentielle} de $z$ est: $z = r\nep^{\im \theta}$.
\end{defin}

On a en particulier: $\nep^{\im \theta} = \cos\theta + \im\sin\theta$.

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\begin{defin}[racines $n$-ièmes de l'unité]
Soit $n$ un entier naturel non nul.

On appelle \textit{racines n-ièmes} de l'unité les nombres complexes $z$ tels que $z^n=1$.

On note alors $\mathbb{U}_n=\{z\in\C,\ z^n=1\}$.
\end{defin}

\begin{prop}
Soit $n$ un entier naturel non nul.
\[
\mathbb{U}_n = \left\{ \nep^{\frac{2k\pi}{n}\im},\ k\in\{0;1;\ldots;n-1\} \right\}.
\]
\end{prop}


\begin{props}
Soient $\theta$ et $\theta'$ deux nombres réels. Soit $n$ un entier. Alors : 
\begin{itemize}
\item $\nep^{\im \theta} \nep^{\im \theta'}=\nep^{\im (\theta+\theta')}$.

\item $\left(\nep^{\im\theta}\right)^n=\nep^{\im n\theta}$ (Formule de Moivre).

\item $\cos x=\dfrac{\nep^{\im x}+\nep^{-\im x}}{2}$ et 
$\sin x=\dfrac{\nep^{\im x}-\nep^{-\im x}}{2\im}$ (Formules d'Euler).
\end{itemize}
\end{props}

\enlargethispage*{2\baselineskip}


\begin{solintro}
\begin{questions}
\item D'après les formules d'addition, on a:
\begin{itemize}
\item $\begin{aligned}[t]
\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right) & = \cos\left(\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}\right) = \cos\dfrac{\pi}{3}\cos\dfrac{\pi}{4} + \sin\dfrac{\pi}{3}\sin\dfrac{\pi}{4}\\
& = \dfrac{1}{2}\times\dfrac{\sqrt2}{2} + \dfrac{\sqrt3}{2}\times\dfrac{\sqrt2}{2}\\
& = \dfrac{\sqrt2+\sqrt6}{4}.
\end{aligned}$

\BreakWithoutItem

\item $\begin{aligned}[t]
\sin\left(\dfrac{\pi}{12}\right) & = \sin\left(\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}\right)  = \sin\dfrac{\pi}{3}\cos\dfrac{\pi}{4} - \cos\dfrac{\pi}{3}\sin\dfrac{\pi}{4}\\
& = \dfrac{\sqrt3}{2}\times\dfrac{\sqrt2}{2} - \dfrac{1}{2}\times\dfrac{\sqrt2}{2}\\
& = \dfrac{\sqrt6-\sqrt2}{4}.
\end{aligned}$
\end{itemize}

\item Dans un premier temps, on calcule:
\[
\left|2 + 2\sqrt3 \im\right| = \sqrt{2^2+(2\sqrt3)^2}=\sqrt{4+12}=4.
\]
On calcule ensuite un argument $\theta$ de $2 + 2\sqrt3 \im$ avec:
\[
\cos\theta = \dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}\quad\text{et}\quad\sin\theta=\dfrac{2\sqrt3}{4}=\dfrac{\sqrt3}{2}.
\]
Alors,
\[
\left(2 + 2\sqrt3 \im\right)^5 = \left( 4\nep^{\frac{\pi}{3}\im} \right)^5 = 4^5\nep^{\frac{5\im\pi}{3} }.
\]
Or, $\dfrac{5\pi}{3}=2\pi-\dfrac{\pi}{3}$. On peut donc aussi écrire:
\[
\left(2 + 2\sqrt3 \im\right)^5 = \numprint{1024}\nep^{-\frac{\pi}{3}\im}.
\]
\end{questions}
\vspace*{-1em}
\end{solintro}



\endinput
