\simplechapter{\mbox{Memento Maths expertes}}

\sectionnn{Nombres complexes}

$\C = \{ a + \i b,\ a\in\R,\ b\in\R,\ \i^2=-1\}.$

\subsectionnn{Définitions}

\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabular}{*4{|>{\centering\arraybackslash}m{0.23\linewidth}}|}
\hline
\tabulartitle
Parties réelles et imaginaires & Conjugué & Module & Arguments\\
\hline
$z=a+\i b \iff \begin{cases}
a = \Re(z)\\
b = \Im(z)
\end{cases}$
&
$\overline{z} = a - \i b$ 
& 
$|z| = \sqrt{a^2+b^2}$
&
$\arg(z)=\theta,\text{ où }\linebreak
\begin{cases}
\cos\theta=\dfrac{a}{|z|}\\
\sin\theta=\dfrac{b}{|z|}
\end{cases}
$
\\
\hline
\end{tabular}

\begin{tabular}{*3{|>{\centering\arraybackslash}m{0.32\linewidth}}|}
\hline
\tabulartitle
Forme algébrique & Forme trigonométrique & Forme exponentielle\\
\hline
$z = a + \i b$ & $z = r(\cos\theta + \i\sin\theta)$ & $z=r\nep^{\i\theta}$\\
\hline
\end{tabular}

\subsectionnn{Propriétés}

\begin{tabular}{|>{\centering\arraybackslash}m{0.25\textwidth}|>{\centering\arraybackslash}m{0.25\textwidth}|>{\centering\arraybackslash}m{0.46\textwidth}|}
\hline
\tabulartitle
Conjugué & Module & Arguments (pour $z\neq0$ et $z'\neq0$)\\
\hline
\begin{itemize}
\item $\overline{z+z'}=\overline{z}+\overline{z'}$
\item  $\overline{z\times z'}=\overline{z}\times\overline{z'}$
\item  $\overline{\dfrac{z}{z'}}=\dfrac{\overline{z}}{\overline{z'}}$
\item  $\overline{z^n}=\overline{z}^n$
\end{itemize}
&
\begin{itemize}
\item $|z|=\left|\overline{z}\right|$
\item  $|z \times z'|=|z| \times |z'|$
\item $\left|\dfrac{z}{z'}\right|=\dfrac{|z|}{|z'|}$
\item $|z^n| = |z|^n$
\end{itemize}
&
\begin{itemize}
\item  $\arg(\overline{z}) = -\arg(z)$
\item $\arg(z\times z')=\arg(z)+\arg(z')$
\item  $\arg\left(\dfrac{z}{z'}\right)=\arg(z)-\arg(z')$
\item  $\arg(z^n)=n\times\arg(z)$
\end{itemize}\\
\hline
\end{tabular}

\enlargethispage*{\baselineskip}

\subsectionnn{Polynômes}

\begin{tabular}{|>{\centering\arraybackslash}m{0.5\linewidth}|>{\centering\arraybackslash}m{0.5\linewidth}|}
\hline
\tabulartitle
\'Equations du second degré & Factorisation de $z^n-a^n$\\
\hline
$
\begin{cases}
az^2+bz+c=0\\
\Delta=b^2-4ac<0
\end{cases}\linebreak \Longrightarrow \begin{cases}
z_1=\dfrac{-b-\i\sqrt{|\Delta|}}{2a}\\
z_2=\dfrac{-b+\i\sqrt{|\Delta|}}{2a\strut}=\overline{z_1}
\end{cases}
$
&
$z^n - a^n = (z-a)\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} a^kz^{n-k-1}$\\
\hline
\end{tabular}


\subsectionnn{Trigonométrie}

\begin{tabular}{|>{\centering\arraybackslash}m{0.6\textwidth}|>{\centering\arraybackslash}m{0.4\textwidth}|}
\hline
\tabulartitle
Formule de Moivre & Formules d'Euler \\
\hline
$
(\cos\theta+\i\sin\theta)^n=\cos(n\theta)+\i\sin(n\theta)
$
&
$\cos\theta=\dfrac{\nep^{\i\theta\strut}+\nep^{-\i\theta}}{2}$
\linebreak
$\sin\theta=\dfrac{\nep^{\i\theta}-\nep^{-\i\theta}}{2\i\strut}$
\\
\hline
\end{tabular}
\Par
\begin{tabular}{|>{\centering\arraybackslash}m{0.6\textwidth}|>{\centering\arraybackslash}m{0.4\textwidth}|}
\hline
\tabulartitle
Formules d'addition & Formules de duplication\\
\hline
\begin{itemize}
\item  $\cos(a+b)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)$
\item  $\sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\sin(b)\cos(a)$
\end{itemize}
&
\begin{itemize}
\item $\sin(2a)=2\sin(a)\cos(a)$
\item  $\begin{aligned}[t]\cos(2a)&=\cos^2(a)-\sin^2(a)\\
& = 2\cos^2(a)-1\\
& = 1-2\sin^2(a)
\end{aligned}$
\end{itemize}
\vspace*{3mm}\\
\hline
\end{tabular}

\subsubsectionnn{Distances et angles}

\begin{minipage}{0.45\linewidth}
Soient $A$, $B$ et $C$ d'affixes

respectives $a$, $b$ et $c$.

\Par

\begin{itemize}
\item $|b-a| = AB$\\
\item  $\arg(b-a)=\left(\widehat{\gvec{u},\gvec{AB}}\right)$\\
\item  $\left| \dfrac{c-a}{b-a} \right| = \dfrac{AC}{AB}$\\[2ex]
\item $\arg\left(  \dfrac{c-a}{b-a} \right) = \left( \widehat{\gvec{AB},\gvec{AC}}\right)$
\end{itemize}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\includegraphics{540_memento_complexes}
\end{minipage}

\subsectionnn{Racines n-ièmes de l'unité}

Pour $n$ entier naturel, on appelle \textit{racines n-ièmes} de l'unité tous les nombres complexes $z$ tels que $z^n=1$.

\Par

On note $\mathbb{U}_n$ l'ensemble de toutes ces valeurs:
\[
\mathbb{U}_n = \{ z \in \C | z^n = 1 \} = \left\{ \nep^{\frac{2\i k\pi}{n}}\,,\, k\in [0\;;\; n-1],\ k\in\N \right\}
\]

\newpage

\sectionnn{Arithmétique}

Dans ce qui suit, sauf indication contraire, $a$, $b$, $c$ et $n$ sont des entiers relatifs.

\subsectionnn{Divisibilité}

\[
a \text{ divise }b \iff a|b \iff \exists n\in\Z,\ b =a \times n
\]

\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabular}{|>{\centering\arraybackslash}m{0.33\textwidth}|>{\centering\arraybackslash}m{0.66\textwidth}|}
\hline
\tabulartitle
Transitivité & Combinaison linéaire\\
\hline
$\begin{cases}
a|b\\
b|c
\end{cases}
\Longrightarrow 
a|c$
&
$\begin{cases}
a|b\\
a|c
\end{cases}
\Longrightarrow
\forall (\lambda,\mu)\in\Z,\ a|(\lambda b+\mu c)
$\\
\hline
\tabulartitle
\multicolumn{2}{|c|}{Division euclidienne}\\
\hline
\multicolumn{2}{|c|}{$
\forall (a;b)\in\Z\times\N^*,\ \exists !~ (q;r)\in\Z\times\N,\ a = bq+r,\quad 0\leqslant r < b
$}\\
\hline
\end{tabular}

\subsectionnn{Congruences}

$
a\text{ est congru à }b\text{ modulo }c \iff \exists n\in\Z,\ a = b+nc  \iff c|(a-b).
$

\begin{itemize}
\item  $a\equiv b\mod n \iff n|(a-b)$

\item  $\begin{cases}a\equiv c\mod n\\c\equiv b\mod n\end{cases} \iff a \equiv b \mod n$

\item  $a\equiv b\mod n \iff \forall k\in\Z,\ \begin{cases} a+k \equiv b+k \mod n \\ ka \equiv kb \mod n\\ a^k \equiv b^k \mod n\quad (k\in\N)\end{cases}$

\item  $\begin{cases}a\equiv b \mod n\\a'\equiv b' \mod n\end{cases} \iff \begin{cases} a+a' \equiv b+b' \mod n \\ aa' \equiv bb' \mod n \end{cases}$
\end{itemize}

\subsectionnn{PGCD}
\enlargethispage*{\baselineskip}

\begin{tabular}{|>{\centering\arraybackslash}m{0.66\textwidth}|>{\centering\arraybackslash}m{0.34\textwidth}|}
\hline
\tabulartitle
\multicolumn{2}{|c|}{Propriétés}\\
\hline
\multicolumn{2}{|c|}{
\begin{minipage}{\textwidth}
\begin{itemize}
\item  $\strut a=bq+r,\ 0 \leqslant r < b$, $q\in\Z \iff \PGCD(a;b) = \PGCD(b;r)$
\item  Les diviseurs communs à $a$ et $b$ divisent $\PGCD(a;b)$
\item  $\begin{cases}
d|a\\
d|b
\end{cases} \Longrightarrow d|\PGCD(a;b)$
\item  $\exists (a',b') \in\Z\times\Z,\ \begin{cases}
a = a' \times \PGCD(a;b)\\
b = b' \times \PGCD(a;b)
\end{cases}$ avec $\PGCD(a';b')=1$.
\item  $a$ et $b$ premiers entre eux $\iff \PGCD(a;b)=1\strut$
\end{itemize}
\end{minipage}
}\\\hline
\end{tabular}


\begin{tabular}{|>{\centering\arraybackslash}m{0.66\textwidth}|>{\centering\arraybackslash}m{0.34\textwidth}|}
\hline
\tabulartitle
Théorème de Bézout & Théorème de Gauss\\
\hline
\vspace*{-1em}
\[
\PGCD(a;b)=1 \iff \exists (u;v)\in\Z^2,\ au+bv=1
\]
Corollaire:

\vspace*{-1em}
\[
\PGCD(a;b)=d \iff \begin{cases}
d|a\text{ et } d|b\\
\exists (u;v)\in\Z^2,\ au+bv=d.
\end{cases}
\]
&
$\begin{cases}
a|bc\\
\PGCD(a;b)=1
\end{cases} \Rightarrow a|c$\\
\hline
\end{tabular}

\subsectionnn{Nombres premiers}

Un entier naturel est premier s'il possède exactement deux diviseurs distincts 1 et lui-même.

L'ensemble des nombres premiers est souvent noté $\mathbb{P}$.

\subsubsectionnn{Théorèmes}

\begin{itemize}
\item  $\mathbb{P}$ est infini.
\item  $\forall n\geqslant2$, si $n$ n'est divisible par aucun nombre premier inférieur ou égal à $\sqrt{n}$ alors $n$ est premier.
\end{itemize}

\subsubsectionnn{Décomposition en produit de facteurs premiers}

Tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 2 peut s'écrire sous la forme:
\[
n = p_1^{\alpha_1} \times p_2^{\alpha_2} \times \cdots \times p_k^{\alpha_k}
\]
où $k$ est un entier naturel non nul et $p_i\in\mathbb{P}$ pour $1\leqslant i\leqslant k$.

\subsubsectionnn{Petit théorème de Fermat}

$
\begin{cases}
p \in\mathbb{P}\\
a \in\N,\ a\not\equiv 0\mod p
\end{cases}
\Longrightarrow
a^{p-1} \equiv 1 \mod p
$

\sectionnn{Matrices}
\enlargethispage*{\baselineskip}


\subsectionnn{Dimensions d'une matrice}

On pourra noter une matrice $A = (a_{i,j})_{\substack{1\leqslant i\leqslant n\\1\leqslant j\leqslant m}}$ une matrice de dimensions $n\times m$, ou plus simplement: $A = (a_{i,j})$, avec $\dim(A)=n\times m$.

\begin{itemize}
\item  Si $n=1$, on dira que $A$ est une \textit{matrice ligne}.
\item  Si $m=1$, on dira que $A$ est une \textit{matrice colonne}.
\item  Si $n=m$, on dira que $A$ est une\textit{ matrice carrée}.
\end{itemize}

\subsectionnn{Matrices particulières}

\begin{tabular}{|>{\centering\arraybackslash}m{0.5\textwidth}|>{\centering\arraybackslash}m{0.5\textwidth}|}
\hline
\tabulartitle
Matrice identité & Matrices diagonales\\
\hline
$I_n = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & \cdots & 0\\
0 & 1 & 0 & \cdots & 0\\
0 & 0 & 1 & \cdots & 0\\
\vdots & & & \ddots & \vdots\\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1
\end{pmatrix}$
&
$D_n=\begin{pmatrix}
a_1 & 0 & 0 & \cdots & 0\\
0 & a_2 & 0 & \cdots & 0\\
0 & 0 & a_3 & \cdots & 0\\
\vdots & & & \ddots & \vdots\\
0 & 0 & 0 & \cdots & a_n
\end{pmatrix}$\\
\hline\tabulartitle
\multicolumn{2}{|c|}{Puissances d'une matrice diagonale}\\
\hline
\multicolumn{2}{|c|}{%
$D = \begin{pmatrix}
a_1 & 0 & 0 & \cdots & 0\\
0 & a_2 & 0 & \cdots & 0\\
0 & 0 & a_3 & \cdots & 0\\
\vdots & & & \ddots & \vdots\\
0 & 0 & 0 & \cdots & a_n
\end{pmatrix} \iff D^p = \begin{pmatrix}
a_1^p & 0 & 0 & \cdots & 0\\
0 & a_2^p & 0 & \cdots & 0\\
0 & 0 & a_3^p & \cdots & 0\\
\vdots & & & \ddots & \vdots\\
0 & 0 & 0 & \cdots & a_n^p
\end{pmatrix}$}\\
\hline
\end{tabular}

\subsectionnn{Matrices inverses d'ordre 2}

On appelle \textit{matrice inverse de $A$}, quand elle existe, l'unique matrice, notée $A^{-1}$, telle que $A \times A^{-1} = A^{-1}\times A = I_n$.
\[
\begin{cases}
A=\begin{pmatrix}a & b\\c & d\end{pmatrix}\\
ad-bc\neq0
\end{cases}
\iff
A^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b\\-c & a\end{pmatrix}.
\]

\subsectionnn{\'Ecritures matricielles}

\subsubsectionnn{Systèmes linéaires}
\enlargethispage*{\baselineskip}

\[
\begin{cases}
a_{1,1}x_1+a_{1,2}x_2 + \cdots + a_{1,n}x_n = b_1\\
a_{2,1}x_1+a_{2,2}x_2 + \cdots + a_{2,n}x_n = b_2\\
\vdots\\
a_{n,1}x_1+a_{n,2}x_2 + \cdots + a_{n,n}x_n = b_n\\
\end{cases} 
\Leftrightarrow
\underbrace{\begin{pmatrix}
a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n}\\
a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n,n}
\end{pmatrix}}_{A}
\underbrace{\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}}_{X}
=
\underbrace{\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\\vdots\\b_n\end{pmatrix}}_{B}
\]
\[
\boxed{AX = B \iff X = A^{-1}B}
\]

\subsubsectionnn{Suites}

On pose: $U_n = \begin{pmatrix}u^{(1)}_n \\ u^{(2)}_n \\ \vdots \\ u^{(p)}_n\end{pmatrix}$ où les $u^{(k)}_n$ ($1 \leqslant k \leqslant p$) sont $p$ suites numériques et $A = \begin{pmatrix}
a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,p}\\
a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,p}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{p,1} & a_{p,2} & \cdots & a_{p,p}
\end{pmatrix}$ et $U_{n+1} = AU_n$.

\[
\boxed{\forall n\in\N,\qquad U_n=A^nU_0}
\]

\sectionnn{Graphes}

Un \textit{graphe} $\mathcal{G}$ est la donnée de deux ensembles: l'un est constitué de points,\linebreak appelés \textit{sommets}, l'autre est constitué de couples de points, appelés \textit{arêtes}.

\subsubsectionnn{Vocabulaire}
\enlargethispage*{\baselineskip}

\begin{itemize}
\item  Deux sommets sont \textit{adjacents} s'il existe une arête entre eux.

\item  Un graphe est \textit{complet} si tous les sommets sont adjacents deux à deux.

\begin{prop}
Un graphe complet à $n$ sommets compte $\dfrac{n(n-1)}{2}$ arêtes.
\end{prop}

\item  L'\textit{ordre} d'un graphe est le nombre de sommets de ce graphe.

\item  Une \textit{chaîne} d'un graphe est une liste ordonnée de sommets adjacents deux à deux.

Le nombre d'arêtes de cette liste est appelé la \textit{longueur} de la chaîne.

\item  Un graphe est \textit{connexe} si deux sommets quelconques de ce graphe peuvent être reliés par au moins une chaîne.
\end{itemize}

\subsectionnn{Types de graphes}

\begin{tabular}{|>{\centering\arraybackslash}m{0.5\textwidth}|>{\centering\arraybackslash}m{0.5\textwidth}|}
\hline
\tabulartitle
Graphes non orientés & Graphes orientés\\
\hline
$\mathcal{G}=( \mathcal{S}; \mathcal{A} )$  est \textit{non orienté} si les couples de $\mathcal{A}$ peuvent être inversés.
%\Par
%Représentation sagittale: les arêtes ne comportent pas de flèches.
\Par
\begin{center}
\includegraphics{545_memento_graphes01}
\end{center}
Matrice d'adjacence ($D$, $A$, $S$, $L$):
\[
A=\begin{pmatrix}
0 & 1 & 1 & 1\\
1 & 0 & 1 & 1\\
1 & 1 & 0 & 0\\
1 & 1 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\]
&
$\mathcal{G}=( \mathcal{S}; \mathcal{A} )$  est \textit{orienté} si les couples de $\mathcal{A}$ ne peuvent pas être inversés.
\Par
\begin{center}
\includegraphics{545_memento_graphes02}
\end{center}
Matrice d'adjacence ($D$, $A$, $S$, $L$):
\[
A = \begin{pmatrix}
0 & 1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1 & 1\\
1 & 0  & 0 & 1\\
1 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\]
\\
\hline
\tabulartitle
Graphes pondérés & Graphes probabilistes\\
\hline
Un graphe est dit \textit{pondéré} si ses arêtes sont munies de nombres positifs, appelés \textit{étiquettes} ou \textit{pondérations}.
\Par
\begin{center}
\includegraphics{545_memento_graphes03}
\end{center}
Matrice d'adjacence ($D$, $A$, $S$, $L$):
\[
A=\begin{pmatrix}
0 & 3 & 7 & 10\\
3 & 0 & 5 & 8\\
7 & 5 & 0 & 3\\
10 & 8 & 3 & 0
\end{pmatrix}
\]
&
Un graphe probabiliste est un graphe orienté où la somme des pondérations des arêtes issues d'un même sommet est égale à 1.
\Par
\begin{center}
\includegraphics{545_memento_graphes04}
\end{center}
Matrice de transition ($A$, $B$):
\[
T = \begin{pmatrix}
0,7 & 0,3\\
0,6 & 0,4
\end{pmatrix}
\]
\\
\hline
\end{tabular}


\subsectionnn{Chaîne de Markov}

Une chaîne de Markov est une suite de variables aléatoires $(X_n)$ où chaque $X_n$ ne dépend que de $X_{n-1}$, pour $n>0$.

La représentation sagittale précédente du graphe probabiliste représente une chaîne de Markov à 2 états.

\subsubsectionnn{État stable}

Soit $\mathcal{G}$ un graphe probabiliste de matrice $P$.

L'\textit{état stable} du graphe est la matrice ligne $\pi=\begin{pmatrix}
x_1 & x_2 & \cdots & x_n\end{pmatrix}$ telle que $\pi = \pi P$, avec $\displaystyle\sum_{k=1}^n x_k=1$.

Sous des hypothèses vérifiées pour les chaînes à 2
ou 3 états usuelles (chaîne apériodique irréductible), $\pi_0 = \pi_0 P^n$ converge vers $\pi$ quand $n$ tend vers $+\infty$.