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\errorcontextlines=10
\documentclass[utf8,crop,realfonts,rabat]{prepamath}
\usepackage{rabat}
\usepackage{multirow,mathtools}
\title{Rabats pour le livre TM}
\author{Stéphane Pasquet}
\definecolor{tabularcolorline}{cmyk}{0,0.2,0.5,0}
\graphicspath{{figures/}}
\makeatletter
\let\@startpbox@action\@startpbox
\makeatother
\begin{document}

% ============================== maths expertes

\begin{colonne}

\begin{cadre}{Mathématiques expertes}
\novspace
\point{Nombres complexes}
\vspace*{-0.7em}
\begin{tabular}{|*3{Z{>{\centering\arraybackslash}m{0.29\linewidth}}|}}
\hline
\rowcolor{tabularcolorline}
Forme algébrique & Forme trigonométrique & Forme exponentielle\\
\hline
$z = a+\im b$ & $z=r\big(\cos\theta+\im\sin\theta\big)$ & $z=r\nep^{\im\theta}$\\
\hline
\end{tabular}

\vspace*{-1em}
\begin{minipage}{65mm}
\includegraphics{complexes-modarg}
\end{minipage}
\begin{minipage}{45mm}
Module: $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$

Arguments: $\begin{cases}\cos(\theta)=\dfrac{a}{|z|}\\[8pt] \sin(\theta)=\dfrac{b}{|z|}\end{cases}$

\vspace*{15mm}~
\end{minipage}

\vspace*{-20mm}
\begin{tabular}{|*2{Z{>{\centering\arraybackslash}m{0.45\linewidth}}|}}
\hline
\rowcolor{tabularcolorline}
Distance & Angle\\
\hline
\raisebox{-4pt}{$\text{AB}=|z_{\scriptscriptstyle B}-z_{\scriptscriptstyle A}|$} & $\big(\widehat{\gvec{\text{AB}},\gvec{\text{AC}}}\big)=\arg\left(\dfrac{z_{\scriptscriptstyle C}-z_{\scriptscriptstyle A}}{z_{\scriptscriptstyle B}-z_{\scriptscriptstyle A}} \right)$
\\\hline
\rowcolor{tabularcolorline}
\multicolumn{2}{|Zc|}{Formules d'Euler}\\
\hline
$\cos\theta=\dfrac{\nep^{\im\theta}+\nep^{-\im\theta}}{2}$
&
$\sin\theta=\dfrac{\nep^{\im\theta}-\nep^{-\im\theta}}{2\im}$\\
\hline
\rowcolor{tabularcolorline}
Formule de Moivre ($n\in\N$) & Racines $n$-ièmes de l'unité ($n\in\N^*$)\\
\hline
\small $\big(\cos\theta+\im\sin\theta\big)^n=\cos(n\theta)+\im\sin(n\theta)$
&
$U_n=\left\{\nep^{\frac{2\im k\pi}{n}},\ 0\leqslant k\leqslant n-1 \right\}$\\
\hline
\end{tabular}
\vspace*{-3mm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%
\point{Arithmétique}
\vspace*{-3mm}
$a\in\Z$, $b\in\N^*$, $q\in\Z$, $r\in\N$.
\Par
\begin{tabular}{|Z{>{\centering\arraybackslash}m{0.27\linewidth}}|Z{>{\centering\arraybackslash}m{0.63\linewidth}}|}
\hline
\rowcolor{tabularcolorline}
Division euclidienne & Congruence \\
\hline
$a=bq+r$, $0\leqslant r<b$ & $a\equiv r \pod{b} \Leftrightarrow b\text{ divise }a-r\Leftrightarrow \exists\; q\in\Z,\ a=r+qb$
\\
\hline
\rowcolor{tabularcolorline}
\multicolumn{2}{|Zc|}{Théorème de Bézout}\\
\hline
\multicolumn{2}{|Zc|}{$\PGCD(a;b)=1\iff\exists\;(u,v)\in\Z^2,\ au+bv=1$}
\\\hline
\rowcolor{tabularcolorline}
\multicolumn{2}{|Zc|}{Petit théorème de Fermat}\\
\hline
\multicolumn{2}{|Zc|}{$p$ premier, $a\not\equiv0\pod{p} \implies a^{p-1}\equiv1\pod{p}$}
\\
\hline
\end{tabular}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace*{-0.75em}
\point{Matrices \& graphes}
\vspace*{-0.5em}
$A=\begin{pmatrix}a & b\\c & d\end{pmatrix}$: matrice \textit{carrée} d'ordre 2.
\Par
\begin{tabular}{|Z{>{\centering\arraybackslash}m{0.35\linewidth}}|Z{>{\centering\arraybackslash}m{0.55\linewidth}}|}
\hline
\rowcolor{tabularcolorline}
Déterminant & Inverse \\
\hline
\raisebox{-4pt}{$\det(A)=\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$}
&
$\det(A)\neq0\implies A^{-1}=\dfrac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix}d & -b\\-c & a\end{pmatrix}$\\
\hline
\rowcolor{tabularcolorline}
Matrice d'adjacence & Graphe\\
\hline
\raisebox{-3mm}{$\begin{pmatrix}
{\color{DR}0} & {\color{DB}1} & {\color{DG}1}\\{\color{DO}0} & 0 & 1\\1&0&0
\end{pmatrix}$}
&
\begin{minipage}{0.55\linewidth}
\includegraphics{graphe}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
De $A$ à $A$: {\color{DR}0} arête\\
De $A$ à $B$: {\color{DB}1} arête\\
De $A$ à $C$: {\color{DG}1} arête\\
De $B$ à $A$: {\color{DO}0} arête\\
etc.
\end{minipage} 
 \\
\hline
\end{tabular}
\end{cadre}
\end{colonne}


% ================================ suites

\begin{colonne}
\begin{cadre}{Suites}
\novspace
Pour $r\in\R$, $q\in\R$ (avec $q\neq1$), on a:
\Par
{\fontsize{9.5}{9.5}\selectfont
\begin{tabular}{@{}|*2{Z{m{54mm}}|}|@{}}
\rowcolor{tabularcolorline}
\begin{center}
Suite arithmétique de raison $r$
\end{center} & 
\begin{center}Suite géométrique de raison $q$
\end{center}\\
\hline
\psline(-0.22,1.05)(11.5,1.05)
$u_{n+1}=u_n+r$
\raisebox{-2mm}{\vrule width 0mm height 5mm} 
& 
$u_{n+1}=q u_n$ 
\raisebox{-2mm}{\vrule width 0mm height 5mm}
\\
\hline
$u_n=u_0+nr$\raisebox{-2mm}{\vrule width 0mm height 5mm} & $u_n=u_0\times q^n$\raisebox{-2mm}{\vrule width 0mm height 5mm}\\
\hline
$u_0+u_1+\cdots+u_n=(n+1)\times\dfrac{u_0+u_n}{2}$ & $u_0+u_1+\cdots+u_n=u_0\times\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$\\
\hline
$1+2+3+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$ & $1+q+q^2+\cdots+q^n=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$\\
\hline
\end{tabular}}
\Par
\point{Principe de récurrence}
\vspace*{-1em}

$(\mathcal{P}_n)$ est une propriété dépendant d'un entier $n$ et $n_0$ un entier quelconque.

Si $(\mathcal{P}_{n_0})$ est vraie et si $(\mathcal{P}_k) \Rightarrow (\mathcal{P}_{k+1})$ pour  tout $k\geqslant n_0$,\\alors  $(\mathcal{P}_n)$ est vraie pour tout $n\geqslant n_0$.

\vspace*{-1.5em}
\point{Théorèmes de comparaison}
\vspace*{-1em}
Si, pour tout entier $n \geqslant n_0$, $u_n \leqslant v_n$ et $\lim\limits_{n\to+\infty} v_n=-\infty$, alors $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n=-\infty$.

Si, pour tout entier $n \geqslant n_0$, $u_n \leqslant v_n$ et $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n=+\infty$, alors $\lim\limits_{n\to+\infty} v_n=+\infty$.

\vspace*{-1.5em}
\point{Théorème des gendarmes}
\vspace*{-1em}
Si, pour tout entier $n \geqslant n_0$, $v_n \leqslant u_n \leqslant w_n$ et $\lim\limits_{n\to+\infty} v_n=\lim\limits_{n\to+\infty} w_n=\ell$,\\ alors $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n=\ell$, où $\ell$ est un réel.

\vspace*{-1em}
\point{\boldmath Limites de $q^n$}
\vspace*{-1em}

\begin{center}
\begin{tabular}{|Zc|Zc|Zc|Zc|}
\rowcolor{tabularcolorline}
$q\leqslant-1$ & $|q| < 1$ & $q=1$ & $q>1$\\
\hline
\psline(-0.22,0.9)(11.1,0.9)
$\lim\limits_{n\to+\infty} q^n$ n'existe pas
&
$\lim\limits_{n\to+\infty} q^n=0$
&
$\lim\limits_{n\to+\infty} q^n=1$
&
$\lim\limits_{n\to+\infty} q^n=+\infty$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\vspace*{-1em}
\point{Théorème de convergence}
\vspace*{-1em}

\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{70mm}
Toute suite croissante et majorée converge.

Toute suite décroissante et minorée converge.

Toute suite monotone et bornée converge.
\end{minipage}}
\end{center}
\vspace*{-5mm}
\end{cadre}
\Par	
\begin{cadre}{Limites de fonctions}
\novspace
\point{Formes indéterminées}
\vspace*{-1em}
\begin{center}
\begin{tabular}{|*4{Zc|}}
\hline
\og $\dfrac{\infty}{\infty}$ \fg
&
\og $\infty-\infty$ \fg
&
\og $0\times\infty$ \fg
&
\og $\dfrac{0}{0}$ \fg\\
\hline
\end{tabular}

\end{center}

\vspace*{-1em}
\point{Asymptotes}
\vspace*{-1em}
\begin{minipage}{50mm}
\begin{center}
\includegraphics{asymptote-1}

$\lim\limits_{x\to+\infty} f(x)= b$
\end{center}
\end{minipage}
\hspace*{5mm}
\begin{minipage}{50mm}
\begin{center}
\includegraphics{asymptote-2}

$\lim\limits_{x\to a} f(x)= +\infty$
\end{center}
\end{minipage}
\vspace*{-2mm}
\end{cadre}
\end{colonne}

% ================================ espace

\begin{colonne}
\begin{cadre}{Géométrie dans l'espace}
\novspace
\point{Combinaison linéaire de vecteurs}
\vspace*{-0.7em}
$\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont deux vecteurs non colinéaires.

$\vec{w}$ est une \textit{combinaison linéaire} de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ s'il existe deux réels $\lambda$ et $\mu$ tels que :
\[
\boxed{\vec{w}=\lambda\vec{u}+\mu\vec{v}}
\]

\vspace*{-0.7em}
\point{Représentation paramétrique d'un plan}
\vspace*{-0.7em}
$\mathcal{P}$ est un plan défini par un point $A(x_A;y_A;z_A)$ et deux vecteurs $\vec{u}(a;b;c)$ et $\vec{v}(a';b';c')$ non colinéaires et non nuls.

\[
M(x;y;z)\in\mathcal{P} \iff \gvec{AM}=k\vec{u}+t\vec{v} \iff \begin{cases}
x = x_A + ka+ta'\\
y = y_A + kb + tb'\\
z = z_A + kc + tc'
\end{cases}\hspace*{-2mm},\; k\in\R,\ t\in\R
\]
\vspace*{-0.7em}
\point{Représentation paramétrique d'une droite}
\vspace*{-0.7em}
$\mathcal{D}$ est une droite passant par $A(x_A;y_A;z_A)$ de vecteur directeur $\vec{u}(a;b;c)$ non nul.

\[
M(x;y;z)\in\mathcal{D} \iff \gvec{AM}=t\vec{u} \iff \begin{cases}
x = x_A + ta\\
y = y_A + tb\\
z = z_A + tc
\end{cases},\; t\in\R
\]

\vspace*{-0.7em}
\point{Produit scalaire de deux vecteurs}
\vspace*{-2em}
\[
\boxed{\vec{u}\cdot\vec{v}=xx'+yy'+zz'}\qquad\text{avec }\vec{u}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\text{ et }\vec{v}\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}.
\]

\vspace*{-0.7em}
\point{Vecteurs orthogonaux}
\vspace*{-1.3em}
\[
\boxed{\vec{u}\text{ et }\vec{v}\textit{ orthogonaux }\iff \vec{u}\cdot\vec{v}=0}
\]

\vspace*{-0.7em}
\point{Distance entre deux points (norme d'un vecteur)}
\vspace*{-0.7em}
$A(x_A;y_A;z_A)$ et $B(x_B;y_B;z_B)$ sont deux points de l'espace.

\[
\boxed{
AB = \left\|\gvec{AB}\right\| = \sqrt{\big(x_B-x_A\big)^2+\big(y_B-y_A\big)^2+\big(z_B-z_A\big)^2}}
\]

\vspace*{-0.7em}
\point{Vecteur normal à un plan}
\vspace*{-1.5em}
\[
\boxed{\vec{n} \text{ est \textit{normal} au plan }\mathcal{P} \iff \text{ pour tout vecteur $\vec{u}$ de }\mathcal{P},\ \vec{u}\cdot\vec{n}=0}
\]

\vspace*{-0.7em}
\point{\'Equation cartésienne d'un plan}
\vspace*{-0.7em}

$\mathcal{P}$ est un plan de vecteur normal $\vec{n}(a;b;c)$.
\[
\boxed{\text{\'Equation de }\mathcal{P}\quad:\quad ax+by+cz+d=0}
\]
\end{cadre}
\end{colonne}

% ================================ Primitive, intégration

\begin{colonne}
\begin{cadre}{Primitives et intégration}
\novspace
\point{Primitives usuelles}
\vspace*{-1em}
$f$ est une fonction, $F$ sa primitive, $a\in\R$, $n\in\N$.
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{tabularcolorline}}Z{m{13mm}}|Z{>{\centering\arraybackslash}m{8mm}}|*5{Zc|}}
\hline
$f(x)$ & $a$ & $x^n$ & $\dfrac{1}{x}$ & $\nep^x$ & $\sin x$ & $\cos x$\\
\hline
$F(x)$ & $ax$ & $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ & $\ln |x|$ & $\nep^x$ & $-\cos x$ & $\sin x$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\vspace*{-1.5em}
\point{Primitives composées}
\vspace*{-1em}
$u$ est une fonction, $u'$ est sa dérivée, $n\in\Z\setminus\{-1\}$.
\Par
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{tabularcolorline}}Zl|*5{Zc|}}
\hline
Fonction & $\dfrac{u'}{u}$, $u\neq0$ & $u'\nep^u$ & $\dfrac{u'}{u^2}$& $u'u^n$& $\dfrac{u'}{\sqrt{u}}$, $u>0$\\
\hline
Primitive & $\ln |u|$ & $\nep^u$ & $-\dfrac{1}{u}$ & $\dfrac{u^{n+1}}{n+1}$ & $2\sqrt{u}$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\Par
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\point{Lien avec les primitives}
\vspace*{-1.9em}
\[
\boxed{
\int_a^b f(x)\dd x = \big[F(x)\big]_a^b = F(b)-F(a)}
\]
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\point{Valeur moyenne d'une fonction sur [a;b]}
\vspace*{-0.8em}

$
\boxed{
\mu = \dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\dd x
}
$
\end{minipage}

\vspace*{-1em}
\point{Intégration par parties}
\vspace*{-1.9em}
\[
\boxed{
\int_a^b u'(x)v(x)\dd x = \big[u(x)v(x)\big]_a^b - \int_a^b u(x)v'(x)\dd x
}
\]
\vspace*{-2.5em}
\point{Propriétés}
\vspace*{-1em}
$f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur un intervalle $[a\,;b]$.
\Par
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{2.5}
\begin{tabular}{@{}|>{\columncolor{tabularcolorline}}Zl|Zc|@{}}
\hline
Linéarité & $\ds\int_a^b \lambda f(x) + g(x)\dd x = \lambda\int_a^b f(x)\dd x + \int_a^b g(x)\dd x$\\\hline
Conservation de l'ordre & sur $[a;b]$, $\ds f(x) \geqslant g(x) \Longrightarrow \int_a^b f(x)\dd x \geqslant \int_a^b g(x)\dd x$\\\hline
Relation de Chasles & $\ds\int_a^b f(x)\dd x = \int_a^c f(x)\dd x + \int_c^b f(x)\dd x$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\vspace*{-1.5em}
\end{cadre}

%%%%%%%%%%%%%%% Dérivées

\begin{cadre}{Dérivées}
\novspace
\point{Dérivées usuelles}
\vspace*{-1em}
$a$ est un réel et $n$ un entier naturel non nul.
\Par
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{tabularcolorline}}Z{m{14mm}}|Z{>{\centering\arraybackslash}m{6mm}}|*5{Z{>{\centering\arraybackslash}m{8mm}}|}Z{>{\centering\arraybackslash}m{10mm}}|}
\hline
$f(x)$ & $a$ & $x^n$ & $\sqrt{x}$ & $\nep^x$ & $\ln x$ & $\sin x$ & $\cos x$\\
\hline
$f'(x)$ & 0 & $nx^{n-1}$ & $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ & $\nep^x$ & $\dfrac{1}{x}$ & $\cos x$ & $-\sin x$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\vspace*{-1.5em}
\point{Opérations et dérivées}
\vspace*{-1em}
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{tabularcolorline}}Zl|*6{Zc|}}
\hline
Opération &  $u v$ & $\dfrac{u}{v}$ & $\sqrt{u}$ & $u^n$ & $\nep^u$ & $\ln(u)$\\
\hline
Dérivée &  $u'v+v'u$ & $\dfrac{u'v-v'u}{v^2}$ & $\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$ & $nu'u^{n-1}$ & $u'\nep^u$ & $\dfrac{u'}{u}$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\vspace*{-1.8em}
\end{cadre}
\end{colonne}

% ================================ Continuité / EquaDiff/ ln

\begin{colonne}

\begin{cadre}{Continuité}
\novspace
\point{Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)}
\vspace*{-1em}
Si $f$ est une fonction continue sur $[a\,;b]$ et si $k$ est une valeur comprise entre\linebreak $f(a)$ et $f(b)$, alors il existe \textit{au moins} une valeur de $x$ dans $[a\,;b]$ telle que $f(x)=k$.

\vspace*{-1em}
\point{Théorème de la bijection (corollaire du TVI)}
\vspace*{-1em}
Si $f$ est une fonction continue \textit{et strictement monotone} sur $[a\,;b]$\\
et si $k$ est une valeur comprise entre $f(a)$ et $f(b)$,\\ alors il existe \textit{une unique} valeur $c$ dans $[a\,;b]$ telle que $f(c)=k$.
\vspace*{-0.8em}
\end{cadre}
\Par
\begin{cadre}{\'Equations différentielles}
\novspace
\point{\'Equations différentielles élémentaires}
\vspace*{-0.7em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.8}
\begin{tabular}{|Zl|Zl|}
\hline\rowcolor{tabularcolorline}
\'Equation différentielle & Solutions\\
\hline
$y'=ay$ & $y(x)=C\nep^{ax},\ C\in\R,\ a\neq0$\\
\hline
$y'=ay+b$ & $y(x)=C\nep^{ax}-\dfrac{b}{a},\; C\in\R,\;a\neq0$\\
\hline
$y'=ay+f$ & $y(x)=C\nep^{ax}+u(x)$,\ $u$ solution particulière\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\vspace*{-1.5em}
\end{cadre}
\Par
\begin{cadre}{Logarithme népérien}
\novspace
\point{Propriétés et limites}
\vspace*{-1em}
La fonction $\ln$ est définie sur $]0\,;+\infty[$, $n\in\N^*$, $p\in\Z$.
\Par
\newcommand{\hauteurligne}{\rule[-2.5ex]{0pt}{5ex}}
\begin{minipage}{55mm}
\begin{tabular}{|>{\centering\arraybackslash}m{50mm}|}
\rowcolor{tabularcolorline}
\hline
Propriétés algébriques \\
\hline
\hspace*{-3mm}
\begin{tabular}{@{}>{\raggedleft\arraybackslash\hauteurligne}Z{p{22.5mm}}@{\,$=$\,}>{\hauteurligne}p{28mm}@{}}
$\ln(1)$ & 0\\\hline
$\ln(\nep)$ & $1$\\\hline
$\ln(xy)$ & $\ln(x)+\ln(y)$ \\\hline
$\ln\left(\dfrac{x}{y}\right)$ & $\ln(x)-\ln(y)$ \\\hline
$\ln\big(x^p\big)$ & $p\ln(x)$\\\hline
\end{tabular}
\end{tabular}
\end{minipage}
\hspace*{5mm}
\begin{minipage}{60mm}
\begin{tabular}{|*1{>{\centering\arraybackslash}Z{m{50mm}}|}}
\rowcolor{tabularcolorline}\hline
 Limites\\
\hline
\hauteurligne $\lim\limits_{x\to0}\ln(x) = -\infty$\\\hline
\hauteurligne $\lim\limits_{x\to+\infty}\ln(x) = +\infty$\\\hline
\hauteurligne $\lim\limits_{x\to0}x^n\ln(x) = 0$ \\\hline
\hauteurligne $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x)}{x^n} = 0$\\\hline
\hauteurligne $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\ln(1+x)}{x} = 1$\\\hline
\end{tabular}
\end{minipage}

\vspace*{-1em}
\point{Comparaison avec l'exponentielle}
\vspace*{-.7em}
\begin{minipage}{65mm}
\includegraphics{ln}
\end{minipage}
\begin{minipage}{50mm}
La courbe représentative du\linebreak logarithme népérien 
est \textit{symétrique} à celle de l'exponentielle 
par rapport à la droite d'équation $y = x$.

\vspace*{1.1cm}~
\end{minipage}
\vspace*{-.3em}
\end{cadre}

\end{colonne}

% ===================================== Dénombrement, proba.

\begin{colonne} 
\begin{cadre}{Combinatoire et dénombrement}
\vspace*{-2em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.6}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{tabularcolorline}}Zl|Zc|>{\centering\arraybackslash}Z{m{28mm}}|Z{m{3.7cm}}|}
\rowcolor{tabularcolorline}
\multicolumn{1}{c|}{\cellcolor{white}~} & 
Ordre & Modèle & \hspace*{10mm} Exemples\\
 \hline
 Permutation & \psline(-0.39,1.17)(8.3,1.17) Oui & Tirage sans remise & Anagramme $^*$ \\
 \hline
 $p$-liste & Oui & Tirage avec remise  & Digicode\\
 \hline
 Arrangement $A_n^p$ & Oui & Tirage sans remise &Podium d'une course\\
 \hline
 Combinaison $\dbinom{n}{p}$  & Non & Tirage sans remise & \mbox{Main dans un jeu de cartes}\\
 \hline
\end{tabular}
\end{center}
\Par
$^*$ Permutation des lettres d'un mot formant un mot de sens différent.
\vspace*{-0.5em}
\end{cadre}

\Par

\begin{cadre}{Probabilités}
\novspace
\point{\'Epreuve de Bernoulli}
\vspace*{-1em}
Expérience aléatoire à deux issues : \og succès \fg{} ($S$) et \og échec \fg{} ($\overline{S}$).
\begin{center}
\includegraphics{bernoulli}
\end{center}

\vspace*{-1em}
\point{Schéma de Bernoulli}
\vspace*{-1em}
Succession d'épreuves de Bernoulli indépendantes.

$X$ (nombre de succès à l'issue de cette succession) suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n\,;p)$.

\Par

$\boxed{P(X=k)=\dbinom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}}$

\Par


$\boxed{E(X)=np\strut}$
\qquad\qquad
$\boxed{V(X)=np(1-p)\strut}$
\qquad\qquad
$\boxed{\sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}\strut}$

\vspace*{-0.7em}
\point{Somme de variables aléatoires indépendantes}
\vspace*{-0.7em}
\begin{center}
$\boxed{E(aX+Y)=aE(X)+E(Y)\strut}$
\qquad
$\boxed{V(aX+Y)=a^2V(X)+V(Y)\strut}$
\end{center}

\vspace*{-0.7em}
\point{Concentration et loi des grands nombres}
\vspace*{-0.7em}

$a$ et $\delta$ sont deux réels strictement positifs.

$X_1$, ..., $X_n$ $n$ variables aléatoires indépendantes d'espérance $\mu$ et d'écart-type $\sigma$.
\Par
{\fontsize{9.5}{9.5}\selectfont
\renewcommand{\arraystretch}{3.4}
\begin{tabular}{@{}|>{\columncolor{tabularcolorline}}l|Z{>{\centering\arraybackslash}m{62mm}}|}
\hline
Inégalité de Markov& $P(X\geqslant a)\leqslant\dfrac{E(X)}{a}$,\quad $X\geqslant0$\\
\hline
Inégalité de Bienaymé-Tchebychev& $P\big( |X-E(X)| \geqslant \delta\big) \leqslant \dfrac{V(X)}{\delta^2}$\\
\hline
Inégalité de concentration& $P\left( \left| \frac{X_1+\cdots+X_n}{n}-\mu\right| \geqslant \delta\right) \leqslant \dfrac{\sigma^2}{n\delta^2}$\\
\hline
Loi faible des grands nombres& $\lim\limits_{n\to+\infty}P\left( \left| \dfrac{X_1+\cdots+X_n}{n}-\mu \right| \geqslant \delta \right)=0$\\
\hline
\end{tabular}}
\vspace*{-1em}
\end{cadre}
\end{colonne}


\end{document}
