  \begin{questions}
  \item Vrai. Il s'agit d'une propriété du cours. $g = f+\lambda$, avec
    $\lambda = -\frac{5}{3}$ a le même sens de variation que $f$.

    $f$ et $g$ sont donc toutes les deux croissantes sur $I$.
  \item Faux. Les fonctions
    \[
      \begin{array}{l}
        f: x \mapsto -x+1\\
        g: x \mapsto -x-1
      \end{array}
    \]
    sont toutes les deux décroissantes sur $[0;+\infty[$ car ce sont
    deux fonctions affines dont le coefficient directeur est
    strictement négatif.

    Leur produit est la fonction $fg: x \mapsto x^2-1$. Cette
    fonction a même sens de variation que la fonction carré sur
    $[0;+\infty[$ donc elle y est croissante.
  \item Faux. La fonction $f: x \mapsto x+1$ est strictement
    croissante sur $\R$. Pour $k = -2$, la fonction $-2f: x \mapsto
    -2x-2$ est strictement décroissante sur $\R$.

  \item Faux. Si $f$ est définie sur l'intervalle $I$, rien ne permet
    d'affirmer que $g = \sqrt{f}$ est bien définie sur $\R$ car la
    fonction $f$ peut prendre des valeurs négatives sur $I$.

    Par exemple, soit la fonction
    \[f: x \mapsto x-3\]
    définie sur $I = [0;10]$.  Alors la fonction $g = \sqrt{f}$ définie
    par
    \[g: x \mapsto \sqrt{f(x)} = \sqrt{x-3}\]
    n'est pas définie sur $I$, car pour $x \in [0;3[$, $f(x) = x-3 <
    0$.
  \end{questions}

  \begin{methode}
    Pour montrer qu'une proposition est fausse, on fournit un
    contre-exemple.
  \end{methode}
  \index{écarter}
