  La fonction produit $fg$ est définie pour tout réel $x$ par
  $(fg)(x) = f(x)g(x)$, soit
  \begin{align*}
    (fg)(x) &= \Bigl(x+|x|\Bigr)\Bigl(x-|x|\Bigr)\\
            &= x^2-\left(|x|\right)^2
  \end{align*}

  Si $x<0$, $|x| = -x$, et on a donc, $(|x|)^2 = (-x)^2 = x^2$.  Dans le cas
  contraire, si $x \geqslant 0$, on a $(|x|)^2 = (x)^2 = x^2$.

  Dans tous les cas, $(|x|)^2 = x^2$, et on en déduit donc que pour tout
  réel $x$
  \[(fg)(x) = 0\]

  \begin{Remarque}
    Cet exemple montre que, au contraire du produit de nombres réels,
    on peut avoir $fg = 0$ sans que ni $f$ ni $g$ ne soit nulle.
  \end{Remarque}
