  \begin{questions}
  \item Pour tout réel $x$, $1+x^2 > 0$, donc $f(x)$ et le terme de
    droite de l'égalité sont bien définies sur $\R$.

    En réduisant au même dénominateur, on a l'égalité
    \[
      \frac{2x^{3}+2x+1}{1+x^{2}} = ax+\frac{b}{1+x^{2}} =
      \frac{ax+ax^{3}+b}{1+x^{2}}\,.
    \]
    Par identification terme à terme, on obtient
    \[a=2 \qquad \text{et} \qquad b=1\,,\]
    donc on a
    \[
      f(x) = \frac{2x^{3}+2x+1}{1+x^{2}} = 2x+\frac{1}{1+x^{2}}, \quad
      \text{pour tout réel } x\,.
    \]

  \item Pour tout réel $x$ positif, on a
    \[\dfrac{1}{1+x^{2}} > 0\,.\]
    On a de plus $1+x^2 \geqslant 1$, d'où
    \[\frac{1}{1+x^{2}} \leqslant \frac{1}{1}\,,\]
    soit
    \[0 < \frac{1}{1+x^{2}} \leqslant 1\]
    On a enfin, en additionnant $2x$ aux trois membres de la double
    inégalité
    \[2x < \frac{1}{1+x^{2}} + 2x \leqslant 2x+1\,,\]
    soit, en réduisant au même dénominateur
    \[2x < \frac{2x^{3}+2x+1}{1+x^{2}} \leqslant 2x+1\,.\]
    c'est-à-dire l'encadrement de $f$ souhaité:
    \[2x<f(x)\leqslant2x+1\]
\end{questions}
