
  \emph{Nous justifierons ici toutes les réponses bien que cela ne
    soit pas demandé dans le cadre de l'épreuve.}
  \index{écarter}

  \begin{questions}
  \item
    \begin{questions}

    \item Vrai car $\lim_{x\to 0} f(x) = -\infty$.

    \item Faux car $\lim_{x\to +\infty} f(x) \neq 0$.

    \item Vrai car:
      \[
        \lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty}
          \underbrace{x}_{\to+\infty}
          \Biggl(
            \underbrace{2\underbrace{\dfrac{\ln{x}}{x}}_{\to 0}
              -3+\underbrace{\dfrac{5}{x}}_{\to 0}}_{\to -3}
          \Biggr)
      = -\infty.
      \]
    \end{questions}

  \item Soit $g$ une fonction strictement croissante sur $[5 \,, 7]$
    dont le tableau de variation est donné ci-dessous.
    \[
    \begin{array}{c|lcr}
      x& 5 && 7 \\
      \hline
      \text{\large\strut} &  & &1 \\
      \text{\large\strut} g(x) &  &\nearrow & \\
      \text{\large\strut} & -3 & &
    \end{array}
    \]
    \begin{questions}

    \item Vrai car la fonction $g$ peut prendre des valeurs
      strictement négatives sur $[5;7]$. Par exemple, $g(5) = -3$ et
      $\ln(-3)$ n'est pas défini.

    \item Vrai car $x \mapsto g(x)+3$ est une fonction strictement
      positive et strictement croissante sur $]5;7]$.  Donc par
      composition avec la fonction logarithme qui est strictement
      croissante sur $]0 \,,+\infty[$, $x\mapsto g(x)+3$ est
      strictement croissante sur $]5;7]$.

    \item Faux car la fonction $g$ est négative sur l'intervalle
      $[5;\alpha]$ où $\alpha$ est le zéro de $g$ ($g(\alpha) =
      0$). Or la fonction carré est strictement décroissante sur
      $]-\infty;0[$, donc par composition $x \mapsto g(x)^2$ est
      décroissante sur $[5;\alpha]$.
    \end{questions}

  \item Sachant que $\ln(0{,}3) < 0$ (car $0 < 0{,}3 < 1$) et que
    diviser les membres d'une inégalité par un nombre négatif change
    le sens de l'inégalité:
    \[
      x\ln(0{,}3)-1 \leqslant 0
      \iff x\ln(0{,}3) \leqslant 1
      \iff x \geqslant \dfrac{1}{\ln(0{,}3)}
    \]
    L'affirmation (b) est vraie et les deux autres sont fausses.

  \item On reconnaît que $h(x)$ est de la forme:
    \[
      \dfrac{1}{2}\times\dfrac{u'(x)}{u(x)}
      \ \text{ avec } \
      u(x) = x^2+2x+3 \ \text{ et } \ u'(x)= 2x+2.
    \]
    Par ailleurs $u(x)$ est strictement positif pour tout $x>0$
    (déterminant négatif).  On en déduit que $x\mapsto \ln(u(x))$ est
    une primitive de $x\mapsto \frac{u'(x)}{u(x)}$.  Donc une
    primitive de $h$ est:
    \[
      x \mapsto \dfrac{1}{2}\ln(u(x))
      \ \text{ c'est-à-dire } \
      x \mapsto \dfrac{1}{2}\ln(x^2+2x+3).
    \]
    Et toute primitive $H$ de $h$ est définie par:
    \[H(x) = \dfrac{1}{2}\ln(x^2+2x+3)+c.\]
    \begin{questions}
    \item Faux d'après ce qui précède.  Également car:
      \[H'(x) = \dfrac{2x+2}{x^2+2x+3} = 2h(x).\]

    \item Faux, car alors $H'(x) = 4h(x)$.

    \item Vrai d'après la forme des primitives de $h$ avec $c=4$.
    \end{questions}
  \end{questions}
