
  \subsubsectionnn{Partie A}

  \begin{questions}

  \item En effectuant un ajustement affine du nuage on considère que
    $y = ax+b$.  Soit deux décennies consécutives quelconques $x_i$ et
    $x_{i+1}$, l'accroissement absolu de la population est
    $y_{i+1}-y_i$. Le calcul ci-dessous prouve qu'il est constant et
    égal à $a$ :
    \index{écarter}
    \[
      x_{i+1}-x_i = 1 \ \text{ et } \
      y_{i+1}-y_i = ax_{i+1}+b-(ax_i+b) = a(x_{i+1}-x_i) = a
    \]

  \item Le point moyen $G$ du nuage a pour coordonnées $(2;3{,}74)$.

    Soit $y = ax+b$ l'équation réduite de la droite $D$ d'ajustement
    par moindres carrés. D'après la calculatrice: $ a \approx 0{,}68$.

    Sachant que $D$ passe par $G$ on a : $b = 3{,}74-0{,}68\times 2$
    donc $b \approx 2{,}38$.

    L'équation de la droite d'ajustement est donc : $y =
    0{,}68x+2{,}38$.

  \item L'an 2000 se situe 5 décennies après 1950, donc correspond au
    rang $x = 5$. La prévision de la population en 2000 est obtenue par
    :
    \[
      y = 0{,}68\times5+2{,}38 \approx 5{,}8
      \text{ millions (arrondi au dixième)}
    \]
  \end{questions}

  \subsubsectionnn{Partie B}

  \begin{questions}

  \item Les accroissements relatifs de la population d'une décennie à
    l'autre se calculent par les rapports
    \[
      \dfrac{y_{i+1}-y_i}{y_i}.
    \]
    Ils sont effectivement tous proches de $0{,}2$, soit 20\% :

    \begin{center}
      \begin{tabular}{|L|c|c|c|c|c|}
        \hline
        {\large\strut}Rang $x_i$
        &   0   & 1 &   2   &  3     &   4    \\
        \hline
        {\large\strut}Population $y_i$
        & 2{,}5 & 3 & 3{,}6 & 4{,}4  & 5{,}2  \\
        \hline
        {\large\strut}Accroissements relatifs
        & - & 0{,}2 & 0{,}2 & 0{,}22 & 0{,}18 \\
        \hline
      \end{tabular}
    \end{center}

  \item Supposer que les accroissements relatifs sont constants et
    égaux à 20\,\%, c'est supposer que la population augmente de
    20\,\% tous les dix ans :
    \[
      y_{i+1} = y_i + 0{,}2y_i = 1{,2}y_i
      \ \text{ pour tout entier naturel } i
    \]
    Dans ce cas, la suite $(y_i)$ est géométrique de raison $1{,}2$ et
    de premier terme $y_0 = 2{,}5$. On a alors $y_i =
    2{,}5\times1{,}2^{i}$ pour tout entier $i$.

    Autrement dit, la population $y$ s'exprime en fonction de $x$ par:
    \[y = 2{,}5\times 1{,}2^{x}.\]
    Ce modèle est meilleur puisqu'il donne comme valeur de la
    population en 2000 sensiblement la même qu'en réalité:
    \[y= 2{,}5\times 1{,}2^{x} = 6{,}22.\]

  \item L'an 2005 se situe 5 décennies et demi après 1950, soit
    $x=5{,}5$. Le modèle exponentiel précédent donne comme prévision
    de population:
    \[
      y = 2{,}5\times 1{,}2^{5,5} \approx 6{,}8
      \text{ millions (arrondi au dixième)}
    \]
    Avec l'ajustement affine de la partie A, on obtiendrait une
    population bien moindre :
    \[
      y' = 0{,}68\times 5{,}5+2{,}38 \approx 6{,}1
      \text{ millions (arrondi au dixième)}
    \]

    À la calculatrice :

    \T2\T.\T5\Tmul\T1\T.\T2\Tpuissance\T5\T.\T5\Tm{=}

    pour le premier résultat et

    \T.\T6\T8\Tmul\T5\T.\T5\Tplus\T2\T.\T3\T8\Texe{}

    pour obtenir le deuxième.

    \begin{Ecran}[15x4]
      \T.\T6\T8\Tmul\T5\T.\T5\Tplus\T2\T.\T3\T8\\
      \\
      \hfill 6.12
    \end{Ecran}
  \end{questions}
  \begin{attention}
    Ceci est le texte d'un environnement problematique. Il s'agit
    juste d'un test pour voir si on peut écrire plusieurs lignes et
    des mathématiques hors -texte.
    \[e=mc^2\neq\int_0^{+\infty}\nep^xdx.\]
    Qu'est-ce qu'il ne faut pas raconter comme bêtise quand même !
    \index{écarter}
  \end{attention}
