\part{Enjeux planétaires\\ contemporains : énergie, sol}
\chapter{Forces évolutives\\ et modification\\ de la biodiversité\tdmnl\\ des populations}
\makeatletter
\def\PM@chapter{Dérive génétique}%
 \makeatother
\thema{Calcul littéral, Fonction}
\section{Dérive génétique et modification aléatoire\\ de la diversité\tdmnl
  d'une population}
%\section{Dérive génétique et modification de la diversité
%  d'une population}
\index{écarter}
\begin{defin}
  La fonction racine carré\index{racine carrée} est la
  fonction\index{fonction} $f$ définie sur $[0;+\infty[$\index{infini}
  par $f(x)=\sqrt{x}$.

  La fonction valeur absolue\index{valeur absolue} est la fonction $g$
  définie sur $\R$ par l'expression
  \[ g(x)=|x|= 
    \begin{cases}
      x  &\text{si } x\geqslant 0 \\
      -x &\text{si } x< 0
    \end{cases}
  \]
\end{defin}

Voici les tableaux de variations\index{tableau de variation} de ces
deux fonctions de référence\index{fonction!de référence}.
\begin{align*}
  \begin{array}{c|ccc}
    x    &0 &         &+\infty \\\hline
         &  &                  \\[-6pt]
    f(x) &  &\nearrow          \\[-6pt]
         &0 & 
  \end{array}
  \hspace{2cm}%
  \begin{array}{c|ccccccc}
    x    &-\infty &          &0 &          & +\infty \\\hline
         &        &          &  &          &         \\[-6pt]
    g(x) &        & \searrow &  & \nearrow &         \\[-6pt]
         &        &          &0 &          &
  \end{array}
\end{align*}

Voici les représentations graphiques\index{représentation graphique}
de ces deux fonctions de référence.

\includegraphics[scale=0.6]{Figures_CourbesFonctions_RacineCarree.eps}
\hspace*{0.6cm}
\includegraphics[scale=0.6]{Figures_CourbesFonctions_VA.eps}

\section{Opérations sur les fonctions}
\begin{exointro}{\null}
  Étudier le sens de variation\index{fonction!variations} de la
  fonction $f$ définie sur $\left]0,+\infty\right[$ par %%%\Break
  \[f(x) = \frac{1}{x^2}-10\]
\end{exointro}

\subsection{Quelques définitions}
Soient $f$ et $g$ deux fonctions respectivement définies sur $D_f$ et
$D_g$ et $\lambda$ un nombre réel, alors on définit :
\[
\everymath{\displaystyle}%
\begin{array}{l@{\quad\text{par}\quad}r@{\null=\null}l@{\quad\text{pour}\quad x\in\null}l}
f+\lambda   & (f+\lambda)(x) & f(x) + \lambda      &  D_f \\
\lambda f   & (\lambda f)(x) & \lambda \times f(x) & D_f \\
f+g         & (f+g)(x)       & f(x)+g(x)           & D_f \cap D_g\\
fg          & (fg)(x)        & f(x) \times g(x)    & D_f \cap D_g\\
\frac{1}{f} & \left(\frac{1}{f}\right)(x) & \frac{1}{f(x)}
  &  D_f \text{ et } f(x) \neq 0 \\
\frac{f}{g} & \left(\frac{f}{g}\right)(x) & \frac{f(x)}{g(x)}
  &  D_f \cap D_g \text{ et } g(x) \neq 0\\
\sqrt{f}    & \left(\sqrt{f}\right)(x) & \sqrt{f(x)}
  & D_f \text{ et } f(x)\geqslant0\\
\end{array}
\]
%
\subsection{Sens de variation et opérations}\index{Sens de variation}
La fonction $f+\lambda$, où $\lambda$ est un nombre réel, a même sens
de variation que $f$.

La somme de deux fonctions croissantes (respectivement décroissantes)
sur un intervalle $I$ est une fonction croissante (respectivement
décroissante) sur $I$.

La fonction $\lambda f$ (où $\lambda$ est un réel non nul) a même sens
de variation que $f$ si $\lambda$ est strictement positif et un sens
contraire si $\lambda$ est strictement négatif.

La fonction $\frac{1}{f}$ a un sens de variation contraire à celui de
$f$.

La fonction $\sqrt{f}$ a même sens de variation que $f$.

\begin{Remarque}
  Il n'y a pas de résultat général pour la différence, le produit et
  le quotient de deux fonctions.
\end{Remarque}

%%% version 2.28 test hyperref
\newpage

\begin{solintro}
  On voit que pour $x \in \left]0, +\infty \right[$,
  %%% \Break
  \[
  f(x)=g(x)+\lambda \text{ avec } g(x)=\frac{1}{x^2} \text{ et }
  \lambda=-10
  \]

  Or $g=\frac{1}{u}$, avec $u(x)=x^2$ qui est une fonction croissante
  sur $\left]0;+\infty\right[$, et donc la fonction $g$ est
  décroissante sur $\left]0;+\infty\right[$.

  Finalement, la fonction $f=g+\lambda$ est aussi décroissante sur
  $\left]0;+\infty\right[$.

  \begin{attention}
    Ceci est le texte d'un environnement
    problematique\index{environnement!attention (problème)}. Il s'agit
    juste d'un test pour voir si on peut écrire plusieurs lignes et
    des mathématiques hors-texte.
    \[e=mc^2\neq\int_0^{+\infty}\nep^xdx.\]
    Qu'est-ce qu'il ne faut pas raconter comme bêtise quand même !
  \end{attention}
\end{solintro}

\begin{attention}
  Ceci est le texte d'un environnement
  attention\index{environnement!attention}. Il s'agit juste d'un test
  pour voir si on peut écrire plusieurs lignes et des mathématiques
  hors-texte.
  \[e=mc^2\neq\int_0^{+\infty}\nep^xdx.\]
  Qu'est-ce qu'il ne faut pas raconter comme bêtise quand même !
\end{attention}
\index{écarter}

\begin{anecdote}[avec un sous-titre]
  Ceci est le texte d'un environnement
  anecdote\index{environnement!anecdote}. Il s'agit juste d'un test
  pour voir si on peut écrire plusieurs lignes.

  Qu'est-ce qu'il ne faut pas raconter comme bêtise quand même !
\end{anecdote}

\begin{aretenir}
  Ceci est le texte d'un environnement
  aretenir\index{environnement!aretenir}. Il s'agit juste d'un test
  pour voir si on peut écrire plusieurs lignes et des mathématiques
  hors -texte.
  \[e=mc^2\neq\int_0^{+\infty}\nep^xdx.\]
  Qu'est-ce qu'il ne faut pas raconter comme bêtise quand même !
\end{aretenir}

\begin{Ecran}
4*5\\
\hfill20
\end{Ecran}

\goodbreak
\begin{plusloin}
  Ceci est le texte d'un environnement
  plusloin\index{environnement!plusloin}. Il s'agit juste d'un test
  pour voir si on peut écrire plusieurs lignes et des mathématiques
  hors-texte.
  \[e=mc^2\neq\int_0^{+\infty}\nep^xdx.\]
  Qu'est-ce qu'il ne faut pas raconter comme bêtise quand même !
\end{plusloin}

\index{tout}
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