\thumb

\begin{vf}{Fonctions}{5}
\index{écarter}
  \begin{questions}
  \item La fonction $f : x \mapsto \dfrac{1}{2x+1}$ est décroissante
    sur :\resetchoix

    \begin{tabular}{ll}
      \choix $I = \R$ & 
      \choix $J = \left]-\frac{1}{2};+\infty\right[$ \\[6pt]
      \choix $K = [-10;0[$
    \end{tabular}
  \item La fonction $f : x \mapsto x^2 - 4x + 3$ est croissante sur
    :\resetchoix

    \begin{tabular}{ll}
      \choix $I = [0;+\infty[$ & \choix $J = [2;4[$ \\[6pt]
      \choix $K = [1;4[$
    \end{tabular}
  \item La fonction $f : x\mapsto -5x^2$ est :\resetchoix

    \begin{tabular}{ll}
      \choix décroissante sur $\R$ &
      \choix constante sur $[-1;1[$\\[6pt]
      \choix croissante sur $]-\infty;0]$
    \end{tabular}
  \end{questions}
\end{vf}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item Réponse b : $f$ est définie lorsque $2x+1 \neq 0$, soit $x \neq
  -\frac{1}{2}$. $f$ est donc définie sur
  $\mathcal{D}_f=\R\setminus\left\{-\frac{1}{2}\right\}$.

  De plus, pour tout réel $x$, $f(x)=\frac{1}{u(x)}$, où $u$ est la
  fonction affine $u:x\mapsto 2x+1$.  $u$ est une fonction croissante
  sur $\R$, et donc, $f$ est décroissante sur chacun des intervalles
  de $\mathcal{D}_f$.

  En particulier $f$ est décroissante sur
  $J=\left]-\frac{1}{2};+\infty\right[$.


\item Réponse b : Pour tout réel $x$, $f(x) = (x-2)^2 - 1$.

  La fonction $f$ a le même sens de variation sur $\R$ que la
  fonction :
  \[x\mapsto (x-2)^2\,.\]

  Elle est donc décroissante sur $]-\infty ; 2]$ et croissante sur
  $[2;+\infty[$, donc en particulier sur l'intervalle $[2;4]$.
\item Réponse c : La fonction $f$ a un sens de variation contraire de
  celui de la fonction carré. Elle est donc croissante sur
  $]-\infty;0]$.

  \begin{Remarque}
    Le fait que $f(1) = f(-1) = -5$ ne permet pas de conclure que $f$
    est constante sur $[-1;1]$ !
  \end{Remarque}
\end{questions}
\end{corrige}

\begin{qcm}{Opérations et variations de $f(x)$}{10}
  Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier
  avec précision.
  \begin{questions}
  \item Si $f$ est une fonction croissante sur un intervalle $I$,
    alors la fonction $g = f-\frac{5}{3}$ est croissante sur $I$.
    \resetchoix

    \begin{tabular}{ll}
      \choix Vrai & \choix Faux
    \end{tabular}
  \item Le produit de deux fonctions décroissantes sur $I$ est une
    fonction décroissante sur $I$. \resetchoix

    \begin{tabular}{ll}
      \choix Vrai & \choix Faux
    \end{tabular}
  \item Si $f$ est croissante sur un intervalle $I$, alors, pour tout
    réel $k$, la fonction $kf$ est croissante sur $I$. \resetchoix

    \begin{tabular}{ll}
      \choix Vrai & \choix Faux
    \end{tabular}
  \item Si $f$ est une fonction croissante sur un intervalle $I$,
    alors $g = \sqrt{f}$ est croissante sur $I$. \resetchoix

    \begin{tabular}{ll}
      \choix Vrai & \choix Faux
    \end{tabular}
  \end{questions}
\end{qcm}

\begin{corrige}
  \begin{questions}
  \item Vrai. Il s'agit d'une propriété du cours. $g = f+\lambda$, avec
    $\lambda = -\frac{5}{3}$ a le même sens de variation que $f$.

    $f$ et $g$ sont donc toutes les deux croissantes sur $I$.
  \item Faux. Les fonctions
    \[
      \begin{array}{l}
        f: x \mapsto -x+1\\
        g: x \mapsto -x-1
      \end{array}
    \]
    sont toutes les deux décroissantes sur $[0;+\infty[$ car ce sont
    deux fonctions affines dont le coefficient directeur est
    strictement négatif.

    Leur produit est la fonction $fg: x \mapsto x^2-1$. Cette
    fonction a même sens de variation que la fonction carré sur
    $[0;+\infty[$ donc elle y est croissante.
  \item Faux. La fonction $f: x \mapsto x+1$ est strictement
    croissante sur $\R$. Pour $k = -2$, la fonction $-2f: x \mapsto
    -2x-2$ est strictement décroissante sur $\R$.

  \item Faux. Si $f$ est définie sur l'intervalle $I$, rien ne permet
    d'affirmer que $g = \sqrt{f}$ est bien définie sur $\R$ car la
    fonction $f$ peut prendre des valeurs négatives sur $I$.

    Par exemple, soit la fonction
    \[f: x \mapsto x-3\]
    définie sur $I = [0;10]$.  Alors la fonction $g = \sqrt{f}$ définie
    par
    \[g: x \mapsto \sqrt{f(x)} = \sqrt{x-3}\]
    n'est pas définie sur $I$, car pour $x \in [0;3[$, $f(x) = x-3 <
    0$.
  \end{questions}

  \begin{methode}
    Pour montrer qu'une proposition est fausse, on fournit un
    contre-exemple.
  \end{methode}
  \index{écarter}
\end{corrige}
%%%%%%%%%%%%%%%%%% Fin QCM %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%\begin{exo}{Produit de deux fonctions}{Lycée Odilon Redon, Pauillac}{1}{10}
\begin{exo}{Produit de deux fonctions}{\null}{1}{10}
  On considère les fonctions $f$ et $g$ définies par
  \[f(x)=x+|x|\quad \text{et}\quad g(x)=x-|x| \,.\]

  Déterminer la fonction produit $fg$.
\end{exo}

\begin{corrige}
  La fonction produit $fg$ est définie pour tout réel $x$ par
  $(fg)(x) = f(x)g(x)$, soit
  \begin{align*}
    (fg)(x) &= \Bigl(x+|x|\Bigr)\Bigl(x-|x|\Bigr)\\
            &= x^2-\left(|x|\right)^2
  \end{align*}

  Si $x<0$, $|x| = -x$, et on a donc, $(|x|)^2 = (-x)^2 = x^2$.  Dans le cas
  contraire, si $x \geqslant 0$, on a $(|x|)^2 = (x)^2 = x^2$.

  Dans tous les cas, $(|x|)^2 = x^2$, et on en déduit donc que pour tout
  réel $x$
  \[(fg)(x) = 0\]

  \begin{Remarque}
    Cet exemple montre que, au contraire du produit de nombres réels,
    on peut avoir $fg = 0$ sans que ni $f$ ni $g$ ne soit nulle.
  \end{Remarque}
\end{corrige}

\begin{exo}{Encadrement d'une fonction}{\null}{1}{25}

  On considère la fonction $f$ définie par l'expression
  \[f(x) = \frac{2x^3+2x+1}{1+x^2}\,.\]
  \begin{questions}
  \item Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que, pour tout réel $x$,
    on ait
    \[f(x) = ax+\frac{b}{1+x^2} \,.\]
  \item Prouver que, pour tout réel $x$ positif, 
    \[2x < f(x)\leqslant2x+1\,.\]
  \end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
  \begin{questions}
  \item Pour tout réel $x$, $1+x^2 > 0$, donc $f(x)$ et le terme de
    droite de l'égalité sont bien définies sur $\R$.

    En réduisant au même dénominateur, on a l'égalité
    \[
      \frac{2x^{3}+2x+1}{1+x^{2}} = ax+\frac{b}{1+x^{2}} =
      \frac{ax+ax^{3}+b}{1+x^{2}}\,.
    \]
    Par identification terme à terme, on obtient
    \[a=2 \qquad \text{et} \qquad b=1\,,\]
    donc on a 
    \[
      f(x) = \frac{2x^{3}+2x+1}{1+x^{2}} = 2x+\frac{1}{1+x^{2}}, \quad
      \text{pour tout réel } x\,.
    \]

  \item Pour tout réel $x$ positif, on a
    \[\dfrac{1}{1+x^{2}} > 0\,.\]
    On a de plus $1+x^2 \geqslant 1$, d'où 
    \[\frac{1}{1+x^{2}} \leqslant \frac{1}{1}\,,\]
    soit 
    \[0 < \frac{1}{1+x^{2}} \leqslant 1\]
    On a enfin, en additionnant $2x$ aux trois membres de la double
    inégalité
    \[2x < \frac{1}{1+x^{2}} + 2x \leqslant 2x+1\,,\]
    soit, en réduisant au même dénominateur
    \[2x < \frac{2x^{3}+2x+1}{1+x^{2}} \leqslant 2x+1\,.\]
    c'est-à-dire l'encadrement de $f$ souhaité:
    \[2x<f(x)\leqslant2x+1\]
\end{questions}
\end{corrige}

\begin{exo}{Sens de variation d'une racine carrée}{Lycée Odilon Redon,
    Pauillac}{2}{15}
  On considère la fonction $f: x \mapsto \sqrt{3x-2}$.

  \begin{questions}
  \item Déterminer l'ensemble de définition $D_f$ de la fonction $f$.

  \item
    \begin{questions}
    \item Montrer que, pour tous nombres réels $x$ et $y$ de $D_f$,
      \[f(x)-f(y) = 3\frac{x-y}{\sqrt{3x-2}+\sqrt{3y-2}}\]
    \item \label{QVariationf} En déduire le sens de variation de $f$.
    \end{questions}

  \item Retrouver le résultat de la question \ref{QVariationf} en
    considérant $f$ comme la racine carrée d'une fonction affine.
  \end{questions}
\end{exo}

\begin{corrige}
  \begin{questions}
  \item La fonction $f$ est définie pour des valeurs de $x$ telle que
      \[3x-2 \geqslant 0 \iff x \geqslant \frac{2}{3}\,.\] 
      \index{écarter}

      Ainsi, $D_f = \left[\frac{2}{3};+\infty\right[$.
    \item
      \begin{questions}
      \item Pour tous nombres réels $x$ et $y$ de $D_f$,
        \begin{align*}
          f(x)-f(y) &= \sqrt{3x-2}-\sqrt{3y-2}\\[3mm]
                    &= \frac{\left(\sqrt{3x-2}-\sqrt{3y-2}\right)
                                \left(\sqrt{3x-2}+\sqrt{3y-2}\right)}
                            {\sqrt{3x-2}+\sqrt{3y-2}}\\[3mm]
                    &= \frac{(3x-2)-(3y-2)}
                            {\sqrt{3x-2}+\sqrt{3y-2}}\\[3mm]
                    &= 3\frac{x-y}{\sqrt{3x-2}+\sqrt{3y-2}}
      \end{align*}
    \item Soit $x$ et $y$ deux nombres réels quelconques de $D_f$ tels
      que
      \[x < y \iff x-y < 0\,,\]
      alors, comme $\sqrt{3x-2}+\sqrt{3y-2} > 0$, on en déduit d'après
      le calcul précédent que $f(x)-f(y) < 0$.

      Ainsi, la fonction $f$ est croissante sur $D_f$.
    \end{questions}

  \item On peut écrire la fonction $f$ sous la forme $f = \sqrt{u}$, où
    $u$ est la fonction affine $u: x \mapsto 3x-2$.

    Les fonctions $f$ et $u$ ont le même sens de variation%
    \index{Sens de variation}, et donc, comme la fonction affine $u$ est
    croissante sur $\R$, la fonction $f$ est croissante sur
    $\mathcal{D}_f$.
  \end{questions}
\end{corrige}


\begin{exo}{Fonctions composées}{Lycée Jean Moulin, Lyon}{3}{15}
  Soit :
  \begin{align*}
    h_{1} &: x \mapsto \sqrt{x-1}\\
    h_{2} &: x \mapsto x^{2}+1
  \end{align*}
  \begin{enumerate}
  \item Donner les ensembles de définition\index{Ensemble de
      définition} de $h_{1}$ et $h_{2}$.
  \item Pour chacune des fonctions suivantes, donner son expression et
    son ensemble de définition :
    \[
      h_{2} \circ h_{1}\,,\quad
      h_{1} \circ h_{2}\,,\quad
      h_{1} \circ h_{1}\,,\quad
      h_{2} \circ h_{2}\,.
    \]
  \end{enumerate}
\end{exo}

\begin{corrige}
  \begin{questions}
  \item  On a: 
    \begin{gather*}
      h_{1} : x \mapsto \sqrt{x-1}\quad\text{et}\quad
      h_{2} : x \mapsto x^{2}+1\\
      \intertext{On a donc directement :}
      D_{h_{1}} = \left[1, +\infty\right[\quad\text{et}\quad D_{h_{2}} = \R
    \end{gather*}
  \item  On a sans difficulté :
    \begin{align*}
      D &= [ 1,+\infty [, &(h_{2} \circ h_{1})(x) &=
        \left(\sqrt{x-1}\right)^2+1\\
        && &= x\\
      D &= \R, &(h_{1} \circ h_{2})(x)&= \sqrt{(x^2+1)-1}\\
        && &= \sqrt{x^2} \\
        && &= |x|\\
      D &= [2,+\infty[, & (h_{1} \circ h_{1})(x) &= \sqrt{\sqrt{x-1}-1} \\
      D &= \R, &(h_{2} \circ h_{2})(x) &= x^{4}+2x^{2}+2 
    \end{align*}
    \begin{problematique}
      Ceci est le texte d'un environnement problematique. Il s'agit
      juste d'un test pour voir si on peut écrire plusieurs lignes et
      des mathématiques hors -texte.
      \[e = mc^2\neq\int_0^{+\infty}\nep^xdx.\]
      Qu'est-ce qu'il ne faut pas raconter comme bêtise quand même !
    \end{problematique} 
  \end{questions}
\end{corrige}
%%%%%%%%%%%%%%%%%% Fin exercices %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%% Affichage corrigés %%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\AfficheCorrige
