\thumb

\begin{qcm}{Dérivées}{5}
  \begin{questions}
  \item La dérivée de la fonction $f : x \mapsto -4x+5$ est
    :\resetchoix
    \index{écarter}

    \begin{tabular}{lll}
      \choix $f'(x) = -4x^2+5x$ & 
      \choix $f'(x) = -4x$ &
      \choix $f'(x) = -4$
    \end{tabular}
  \item La dérivée de la fonction $f(x)=x^5$ est :\resetchoix

    \begin{tabular}{llll}
      \choix $f'(x) = x^4$ &
      \choix $f'(x) = 5x^4$ &
      \choix $f'(x) = 5x^5$ &
      \choix $f'(x) = x^5$
    \end{tabular}
  \end{questions}
\end{qcm}

\begin{corrige}
\begin{questions}
\item \choix[c]. On se sert de la formule $(ax+b)' = a$ où $a = -4$
  et $b = 5$.
  \index{écarter}

\item \choix[b]. On se sert de la formule $(x^n)' = nx^{n-1}$ avec
  $n = 5$.

  \begin{Remarque}
    La dérivée d'une fonction polynôme de degré $n$ est une fonction
    polynôme de degré $n-1$.
  \end{Remarque}
\end{questions}
\end{corrige}

\begin{qcm}{Primitives}{10}
  Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier
  avec précision.
  \begin{questions}
  \item Les primitives de $f(x) = x^2$ sont $F(x) = x^3+C$:
    \resetchoix

    \begin{tabular}{ll}
      \choix Vrai & \choix Faux
    \end{tabular}
  \item  $F(x) = x^2+x+\pi$ est une primitive de $f(x) = 2x+1$:
    \resetchoix

    \begin{tabular}{ll}
      \choix Vrai & \choix Faux
    \end{tabular}
  \end{questions}
\end{qcm}

\begin{corrige}
  \begin{questions}
  \item Faux. Les primitives de $f(x) = x^2$ sont
    $F(x) = \dfrac{1}{3}x^3+C$.
  \item Vrai.
  \end{questions}

  \begin{methode}
    Si $F$ est un primitive de $f$ alors $F'=f$.
  \end{methode}
\end{corrige}

%%%%%%%%%%%%%%%%%% Fin QCM %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exo}{Dérivée d'un produit}{Lycée Gauss, Berlin}{2}{15}
  \begin{enumerate}
  \item On considère les fonctions $f$ et $g$ définies par
    \[f(x) = x^2+3x-2 \text{\quad et\quad} g(x) = \sin x.\]

    Déterminer la dérivée du produit $fg$.
  \item On considère 3 fonctions quelconques $u$, $v$ et $w$. Donner
    la formule générale de la dérivée de $uvw$.
  \end{enumerate}
\end{exo}

\begin{corrige}
  \begin{enumerate}
  \item On a $(fg)' = f'g+fg'$. On calcule séparément les dérivées de
    $f$ et $g$ :
    \begin{itemize}
    \item $f'(x) = 2x+3$.
    \item $g'(x) = \cos x$
    \end{itemize}
    On a donc : $(fg)'(x) = (2x+3)\cos x+(x^2+3x-2)\sin x$
    
    \begin{Remarque}
      Il faut bien faire attention à ce que la dérivée d'un produit
      n'est pas le produit des dérivées.
    \end{Remarque}
  \item On peut considérer le produit $uvw$ comme le produit de la
    fonction $uv$ avec la fonction $w$. On a alors :
    \[(uvw)' = (uv)'w+(uv)w'.\]
    Comme $(uv)' = u'v+uv'$, on aboutit alors à :
    \[(uvw)' = (u'v+uv')w+uvw' = u'vw+uv'w+uvw'.\]

    \begin{Remarque}
      On pourrait démontrer de la même façon que
      \[
        (u_1u_2u_3u_4)' =
        u_1'u_2u_3u_4+u_1u_2'u_3u_4+u_1u_2u_3'u_4+u_1u_2u_3u_4'.
      \]
    \end{Remarque}
  \end{enumerate}
\end{corrige}

\begin{exo}{Coniques}{Externat Euler, Bâle}{1}{10}
  On  considère la courbe d'équation $4x^2+y^2 = 4$.
  \begin{enumerate}
  \item Quel est le type de cette courbe ?
  \item Tracer cette courbe dans un repère orthonormal dont on
    choisira les unités.
  \end{enumerate}
\end{exo}

\begin{corrige}
  \begin{enumerate}
  \item De $4x^2+y^2 = 4$, on tire successivement $x^2+\dfrac{y^2}{4}
    = 1$ puis $\dfrac{x^2}{1}+\dfrac{y^2}{4}-1 = 0$.

    On a donc une ellipse avec $a = 1$ et $b = 2$, c'est-à-dire une
    ellipse de centre $O$, de demi-axe horizontal égal à~$1$ et de
    demi-axe vertical égal à~$2$.
  \item Pour tracer cette ellipse, on commence par tracer les
    demi-axes. On pourra placer des points particuliers en remarquant
    que :
    \index{écarter}
    \begin{align*}
      4x^2+y^2 = 4 &\iff y^2 = 4-4x^2 \\
        &\iff y = \pm\sqrt{4-4x^2}
    \end{align*}
    \begin{center}
      \begin{tabular}{|*{4}{Zl|}}
        \hline
        $x$ & $0$    & $\pm1$ & $\pm\dfrac{1}{2}$ \\\hline
        $y$ & $\pm2$ & $0$    & $\pm\sqrt{3} \approx \pm1{,}732$ \\\hline
      \end{tabular}
    \end{center}
    On a alors le résultat :
    \begin{center}
      \psset{unit=2cm}
      \begin{pspicture}(-1.5,-2.5)(1.5,2.5)
        \psaxes{->}(0,0)(-1.5,-2.5)(1.5,2.5)
        % façon fonctionnelle de tracer une ellipse
        \psplot[algebraic=true, linewidth=1pt]
               {-1}{1}{sqrt(4-4*x^2)}
        \psplot[algebraic=true, linewidth=1pt]
               {-1}{1}{-sqrt(4-4*x^2)}
        % Points particuliers
        \psdots(0,2)(0,-2)(-1,0)(1,0)
               (-0.5,-1.732)(0.5,-1.732)(-0.5,1.732)(0.5,1.732)
      \end{pspicture}
    \end{center}
  \end{enumerate}
\end{corrige}

\begin{exo}{Triangle de Pascal}{Établissement Abel, Oslo}{3}{10}
  \begin{itemize}
  \item Démontrer la formule du cours
    $\binom{p}{n} = \binom{p-1}{n-1}+\binom{p}{n-1}$.
  \item Montrer que $\sum_{p=0}^n \binom{p}{n} = 2^n$.
  \item Montrer que $\sum_{p=0}^n (-1)^p\binom{p}{n} = 0$.
  \end{itemize}
\end{exo}
\begin{corrige}
  \begin{itemize}
  \item On a :
    \begin{align*}
      \binom{p-1}{n-1}+\binom{p}{n-1}
      &= \frac{(n-1)!}{(p-1)!\bigl((n-1)-(p-1)\bigr)!}
         +\frac{(n-1)!}{p!\bigl((n-1)-p\bigr)!} \\
      &= \frac{(n-1)!}{(p-1)!(n-p)!}+\frac{(n-1)!}{p!(n-p-1)!} \\
      &= \frac{p(n-1)!}{p(p-1)!(n-p)!}+\frac{(n-p)(n-1)!}{p!(n-p)(n-p-1)!} \\
      &= \frac{p(n-1)!}{p!(n-p)!}+\frac{(n-p)(n-1)!}{p!(n-p)!} \\
      &= \frac{p(n-1)!+(n-p)(n-1)!}{p!(n-p)!} \\
      &= \frac{(p+n-p)(n-1)!}{p!(n-p)!} \\
      &= \frac{n(n-1)!}{p!(n-p)!} \\
      &= \frac{n!}{p!(n-p)!} = \binom{p}{n}\\
    \end{align*}
  \item Il suffit d'appliquer la formule du binôme pour $a=b=1$.
    \index{écarter}
  \item Il suffit d'appliquer la formule du binôme pour $a=1$ et
    $b=-1$.
  \end{itemize}
\end{corrige}
%%%%%%%%%%%%%%%%%% Fin exercices %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%% Affiche corrigés %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\AfficheCorrige
