\devoirsynthese{Bac blanc}{Baccalauréat 2008, académie de Toulouse}

\begin{exobb}{Exercice 1 -- 4 points}{Pour tous les candidats}{1}{30}

  \emph{À chaque question trois affirmations sont proposées. Pour
    chacune d'entre elles, dire si elle est vraie ou fausse. Répondre
    sans donner aucune justification.}

  \begin{questions}
    \index{écarter}
  \item Soit $f$ la fonction définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x) =
    2\ln x-3x+5$.\par Soit $\Gamma$ la courbe représentative de $f$
    dans un repère du plan.
    \begin{questions}
    \item La courbe $\Gamma$ admet comme asymptote l'axe des
      ordonnées.

    \item La courbe $\Gamma$ admet comme asymptote l'axe des
      abscisses.

    \item $\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty$.
    \end{questions}

  \item Soit $g$ une fonction strictement croissante sur $[5 \,, 7]$
    dont le tableau de variation est~:
    \[
    \begin{array}{c|ccc|}
      x& 5 && 7 \\ 
      \hline 
      \text{\large\strut}g(x) & -3 &\nearrow &1
    \end{array}
    \]
    \begin{questions}
    \item La fonction $\ln(g)$ n'est pas définie sur $[5;7]$.

    \item La fonction $x\mapsto \ln(g(x)+3)$ est strictement
      croissante sur $]5;7]$.

    \item La fonction $x\mapsto (g(x))^2$ est strictement croissante
      sur $[5;7]$.
    \end{questions}

  \item L'ensemble des solutions de l'inéquation $x\ln(0{,}3)-1 \leqslant
    0$ est:
    \[\text{(a)} \ \left]-\infty;\dfrac{1}{\ln(0{,}3)}\right] 
    \qquad 
    \text{(b)} \ \left]\dfrac{1}{\ln(0{,}3)};+\infty \right] 
    \qquad 
    \text{(c)} \ \left]0;\dfrac{1}{\ln(0{,}3)}\right]
    \]

  \item $h$ est la fonction définie sur $\R$ par
    \[h(x) = \dfrac{x+1}{x^2+2x+3}.\]
    Une primitive $H$ de $h$ sur $\R$ est définie par :
    \begin{questions}
    \item $H(x) = \ln(x^2+2x+3) $.
    \item $H(x) = 2\ln(x^2+2x+3) $.
    \item $H(x) = \frac{1}{2}\ln(x^2+2x+3) + 4$.
    \end{questions}
  \end{questions}
\end{exobb}

\newpage

\begin{corrigebb}

  \emph{Nous justifierons ici toutes les réponses bien que cela ne
    soit pas demandé dans le cadre de l'épreuve.}
  \index{écarter}

  \begin{questions}
  \item
    \begin{questions}

    \item Vrai car $\lim_{x\to 0} f(x) = -\infty$.

    \item Faux car $\lim_{x\to +\infty} f(x) \neq 0$.

    \item Vrai car:
      \[
        \lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty}
          \underbrace{x}_{\to+\infty}
          \Biggl(
            \underbrace{2\underbrace{\dfrac{\ln{x}}{x}}_{\to 0}
              -3+\underbrace{\dfrac{5}{x}}_{\to 0}}_{\to -3}
          \Biggr)
      = -\infty.
      \]
    \end{questions}

  \item Soit $g$ une fonction strictement croissante sur $[5 \,, 7]$
    dont le tableau de variation est donné ci-dessous.
    \[
    \begin{array}{c|lcr}
      x& 5 && 7 \\ 
      \hline 
      \text{\large\strut} &  & &1 \\ 
      \text{\large\strut} g(x) &  &\nearrow & \\ 
      \text{\large\strut} & -3 & &
    \end{array}
    \]
    \begin{questions}

    \item Vrai car la fonction $g$ peut prendre des valeurs
      strictement négatives sur $[5;7]$. Par exemple, $g(5) = -3$ et
      $\ln(-3)$ n'est pas défini.

    \item Vrai car $x \mapsto g(x)+3$ est une fonction strictement
      positive et strictement croissante sur $]5;7]$.  Donc par
      composition avec la fonction logarithme qui est strictement
      croissante sur $]0 \,,+\infty[$, $x\mapsto g(x)+3$ est
      strictement croissante sur $]5;7]$.

    \item Faux car la fonction $g$ est négative sur l'intervalle
      $[5;\alpha]$ où $\alpha$ est le zéro de $g$ ($g(\alpha) =
      0$). Or la fonction carré est strictement décroissante sur
      $]-\infty;0[$, donc par composition $x \mapsto g(x)^2$ est
      décroissante sur $[5;\alpha]$.
    \end{questions}

  \item Sachant que $\ln(0{,}3) < 0$ (car $0 < 0{,}3 < 1$) et que
    diviser les membres d'une inégalité par un nombre négatif change
    le sens de l'inégalité:
    \[
      x\ln(0{,}3)-1 \leqslant 0
      \iff x\ln(0{,}3) \leqslant 1
      \iff x \geqslant \dfrac{1}{\ln(0{,}3)}
    \]
    L'affirmation (b) est vraie et les deux autres sont fausses.

  \item On reconnaît que $h(x)$ est de la forme:
    \[
      \dfrac{1}{2}\times\dfrac{u'(x)}{u(x)}
      \ \text{ avec } \
      u(x) = x^2+2x+3 \ \text{ et } \ u'(x)= 2x+2.
    \]
    Par ailleurs $u(x)$ est strictement positif pour tout $x>0$
    (déterminant négatif).  On en déduit que $x\mapsto \ln(u(x))$ est
    une primitive de $x\mapsto \frac{u'(x)}{u(x)}$.  Donc une
    primitive de $h$ est:
    \[
      x \mapsto \dfrac{1}{2}\ln(u(x))
      \ \text{ c'est-à-dire } \
      x \mapsto \dfrac{1}{2}\ln(x^2+2x+3).
    \]
    Et toute primitive $H$ de $h$ est définie par:
    \[H(x) = \dfrac{1}{2}\ln(x^2+2x+3)+c.\]
    \begin{questions}
    \item Faux d'après ce qui précède.  Également car:
      \[H'(x) = \dfrac{2x+2}{x^2+2x+3} = 2h(x).\]

    \item Faux, car alors $H'(x) = 4h(x)$.

    \item Vrai d'après la forme des primitives de $h$ avec $c=4$.
    \end{questions}
  \end{questions}
\end{corrigebb}

\begin{exobb}{Exercice 2 -- 4 points}{}{3}{45}

  L'évolution de la population d'une région entre 1950 et 1990 a
  permis de construire le tableau suivant :
  \index{écarter}
  \begin{center}
    \begin{tabular}{|L|c|c|c|c|c|}
      \hline
      \tabulartitle {\large\strut}Année 
      $X_i$ & 1950 & 1960 & 1970 & 1980 & 1990 \\
      \hline  
      {\large\strut}Rang $x_i$  & 0 &  1  & 2 & 3 & 4 \\
      \hline 
      {\large\strut}Population en millions  
      $y_i$ & 2{,}5 & 3 & 3{,}6 & 4{,}4 & 5{,}2\\
      \hline 
    \end{tabular}
  \end{center}

  Si $X_i$ désigne le numéro d'une année, $x_i$ représente le nombre
  de décennies écoulées de 1950 à $X_i$, c'est-à-dire
  \[
    x_i= \dfrac{X_i-1950}{10}.
  \]
  Le nuage de points de coordonnées $(x_i,y_i)$ est représenté
  ci-dessous.

  \begin{center}
    \includegraphics{13_stat_1}
  \end{center}

  \subsubsectionnn{Partie A}

  En première approximation, on peut envisager de représenter la
  population $y$ comme une fonction affine du rang $x$.
  \begin{questions}
  \item Expliquer pourquoi les \emph{accroissements absolus} devraient
    être constants tous les 10~ans.

  \item Déterminer l'équation de la droite d'ajustement obtenue par la
    méthode des moindres carrés (arrondir les coefficients au
    centième).

  \item Quelle prévision ferait-on avec cet ajustement pour la
    population de la région en l'an 2000 (donner un résultat arrondi
    au dixième de millions)?
  \end{questions}

  \subsubsectionnn{Partie B}
 
  En 2000, la population de la région a été en réalité de $6{,}2$
  millions. Les démographes intéressés par l'évolution de cette
  population ont alors modifié l'ajustement du nuage en tenant compte
  du fait que l'\emph{accroissement relatif} de cette population est
  presque constant d'une décennie à l'autre.
  \begin{questions}
  \item Vérifier que pour les valeurs données cet accroissement est
    voisin de 20\%.
 
  \item Expliquer pourquoi la fonction $f: x \mapsto
    2{,}5\times1{,}2^x$ peut être utilisée pour modéliser plus
    précisément l'évolution de la population étudiée.

  \item En utilisant cette modélisation, quelle prévision peut-on
    faire pour la population en 2005 ? Quelle aurait été la prévision
    faite à l'aide du premier ajustement ? (Donner les résultats
    arrondis au dixième de millions).
    \index{écarter}
  \end{questions}
\end{exobb}

\begin{corrigebb}

  \subsubsectionnn{Partie A}

  \begin{questions}

  \item En effectuant un ajustement affine du nuage on considère que
    $y = ax+b$.  Soit deux décennies consécutives quelconques $x_i$ et
    $x_{i+1}$, l'accroissement absolu de la population est
    $y_{i+1}-y_i$. Le calcul ci-dessous prouve qu'il est constant et
    égal à $a$ :
    \index{écarter}
    \[
      x_{i+1}-x_i = 1 \ \text{ et } \
      y_{i+1}-y_i = ax_{i+1}+b-(ax_i+b) = a(x_{i+1}-x_i) = a
    \]

  \item Le point moyen $G$ du nuage a pour coordonnées $(2;3{,}74)$.

    Soit $y = ax+b$ l'équation réduite de la droite $D$ d'ajustement
    par moindres carrés. D'après la calculatrice: $ a \approx 0{,}68$.

    Sachant que $D$ passe par $G$ on a : $b = 3{,}74-0{,}68\times 2$
    donc $b \approx 2{,}38$.

    L'équation de la droite d'ajustement est donc : $y =
    0{,}68x+2{,}38$.

  \item L'an 2000 se situe 5 décennies après 1950, donc correspond au
    rang $x = 5$. La prévision de la population en 2000 est obtenue par
    :
    \[
      y = 0{,}68\times5+2{,}38 \approx 5{,}8
      \text{ millions (arrondi au dixième)}
    \]
  \end{questions}

  \subsubsectionnn{Partie B}

  \begin{questions}

  \item Les accroissements relatifs de la population d'une décennie à
    l'autre se calculent par les rapports
    \[
      \dfrac{y_{i+1}-y_i}{y_i}.
    \]
    Ils sont effectivement tous proches de $0{,}2$, soit 20\% :

    \begin{center}
      \begin{tabular}{|L|c|c|c|c|c|}
        \hline  
        {\large\strut}Rang $x_i$  
        &   0   & 1 &   2   &  3     &   4    \\
        \hline 
        {\large\strut}Population $y_i$  
        & 2{,}5 & 3 & 3{,}6 & 4{,}4  & 5{,}2  \\
        \hline 
        {\large\strut}Accroissements relatifs
        & - & 0{,}2 & 0{,}2 & 0{,}22 & 0{,}18 \\ 
        \hline
      \end{tabular} 
    \end{center}
    
  \item Supposer que les accroissements relatifs sont constants et
    égaux à 20\,\%, c'est supposer que la population augmente de
    20\,\% tous les dix ans :
    \[
      y_{i+1} = y_i + 0{,}2y_i = 1{,2}y_i
      \ \text{ pour tout entier naturel } i
    \]
    Dans ce cas, la suite $(y_i)$ est géométrique de raison $1{,}2$ et
    de premier terme $y_0 = 2{,}5$. On a alors $y_i =
    2{,}5\times1{,}2^{i}$ pour tout entier $i$.

    Autrement dit, la population $y$ s'exprime en fonction de $x$ par:
    \[y = 2{,}5\times 1{,}2^{x}.\]
    Ce modèle est meilleur puisqu'il donne comme valeur de la
    population en 2000 sensiblement la même qu'en réalité:
    \[y= 2{,}5\times 1{,}2^{x} = 6{,}22.\]

  \item L'an 2005 se situe 5 décennies et demi après 1950, soit
    $x=5{,}5$. Le modèle exponentiel précédent donne comme prévision
    de population:
    \[
      y = 2{,}5\times 1{,}2^{5,5} \approx 6{,}8
      \text{ millions (arrondi au dixième)}
    \]
    Avec l'ajustement affine de la partie A, on obtiendrait une
    population bien moindre :
    \[
      y' = 0{,}68\times 5{,}5+2{,}38 \approx 6{,}1
      \text{ millions (arrondi au dixième)}
    \]

    À la calculatrice :

    \T2\T.\T5\Tmul\T1\T.\T2\Tpuissance\T5\T.\T5\Tm{=}

    pour le premier résultat et

    \T.\T6\T8\Tmul\T5\T.\T5\Tplus\T2\T.\T3\T8\Texe{}
    
    pour obtenir le deuxième.

    \begin{Ecran}[15x4]
      \T.\T6\T8\Tmul\T5\T.\T5\Tplus\T2\T.\T3\T8\\
      \\
      \hfill 6.12
    \end{Ecran}
  \end{questions}
  \begin{attention}
    Ceci est le texte d'un environnement problematique. Il s'agit
    juste d'un test pour voir si on peut écrire plusieurs lignes et
    des mathématiques hors -texte.
    \[e=mc^2\neq\int_0^{+\infty}\nep^xdx.\]
    Qu'est-ce qu'il ne faut pas raconter comme bêtise quand même !
    \index{écarter}
  \end{attention} 
\end{corrigebb}

%%%%%%%%%% Affichage corrigés %%%%%%%%%%
\onglet
\AfficheCorrigeBB
