
\begin{enumerate}
\item
\begin{itemize}
\item Le premier jour, le débit était de 15 litres/min, donc le temps nécessaire pour remplir un récipient de 100 litres était:
\[
\dfrac{100}{15}=\dfrac{20}{3}=6+\frac{2}{3}=6\text{ min }40\text{s}.
\]

\item Le deuxième jour, le temps était:
\[
\dfrac{100}{18}=\dfrac{50}{9}\text{ min}.
\]

\item Le troisième jour, le temps était:
\[
\frac{100}{20}=5\text{ min}.
\]

\item Le quatrième jour, le temps était:
\[
\frac{100}{16}=\dfrac{25}{4}.
\]
\end{itemize}

\item Le temps total est donc:
\[
T = 100\left(\frac{1}{15}+\frac{1}{18}+\frac{1}{20}+\frac{1}{16}\right)=\frac{845}{36}\text{ min}.
\]

\item La moyenne harmonique des débits est telle que:
\[
\frac{4}{\bar{h}} = \frac{1}{15}+\frac{1}{18}+\frac{1}{20}+\frac{1}{16}
\]
soit:
\[
\frac{4}{\bar{h}}=\frac{169}{720}.
\]
Donc:
\[
\bar{h}=4\times\frac{720}{169}=\dfrac{\numprint{2880}}{169}\text{ litres/min}.
\]

\item Si le robinet avait eu un débit constant de $\dfrac{\numprint{2880}}{169}\text{ litres/min}.$ tous les jours, le temps total de remplissage aurait été:
\[
T' = 4 \text{ jours } \times \dfrac{100}{\tfrac{2880}{169}}=\frac{845}{6}=T.
\]
On peut alors conclure que le débit moyen est bien la moyenne harmonique des débits.
\end{enumerate}
