
On a :
\begin{align*}
150 \times \left( 1 + \frac{t}{100} \right)^{5} \approx 173,89
 & \iff \left( 1 + \frac{t}{100} \right)^{5} \approx \frac{173,89}{150}\\
& \iff \left( 1 + \frac{t}{100} \right)^{5} \approx 1,159267\\
& \iff  1 + \frac{t}{100} \approx \sqrt[5]{1,159267}\\
& \iff  1 + \frac{t}{100} \approx 1,03\\
& \iff t = 3\text{ (on sait que $t$ est un entier naturel)}.
\end{align*}

\begin{rem}
On a dû ici résoudre une équation de la forme $X^5 = a$. Au même titre que l'équation $x^2=a$, $a>0$, admet pour solutions $x=\sqrt{a}$ et $x=-\sqrt{a}$, que l'équation $x^3=a$ admet pour solution la \og racine cubique \fg{} de $a$ ($x=\sqrt[3]{a}$, l'équation $x^5=a$ admet pour solution la \og racine cinquième \fg{} de $a$: $x=\sqrt[5]{a}$. C'est le nombre tel quel $\big(\sqrt[5]{a}\big)^5=a$.

En supposant que $\sqrt[5]{a}$ s'écrive sous la forme $a^q$, on a:
\begin{align*}
\big( a^q \big)^5 = a & \iff a^{5q} = a^1\\
& \iff 5q = 1\\
& \iff q = \frac{1}{5}.
\end{align*}
On peut donc écrire:
\[
\sqrt[5]{a}=a^{\frac{1}{5}}.
\]
Mais on n'a pas besoin de cette écriture pour calculer sa valeur; en effet, sur les calculatrices, il y a toujours une touche : $\boxed{ \sqrt[\tikz\draw (0,0) rectangle+(0.2,0.2);]{x}}$ ou $\boxed{\sqrt[x]{~}}$
\end{rem}
