
Dans le triangle ACH rectangle en H:
\[
b^2=h^2+x^2.
\]
Dans le triangle BCH rectangle en H:
\[
c^2=h^2+y^2.
\]
Dans le triangle ABC rectangle en C:
\begin{align*}
(x+y)^2=b^2+c^2 & \iff x^2+y^2+2xy=h^2+x^2+h^2+y^2\\
& \iff xy = h^2\\
& \iff h = \sqrt{xy}.
\end{align*}
$h$ est donc bien la moyenne géométrique de $x$ et $y$.
