\chapter{Les barycentres}

\newpage\pagestyle{main}

\section{Systèmes pondérés}

\subsection{Systèmes pondérés de points}

\begin{defin}
Un \textit{système pondéré de points} est un ensemble formé de plusieurs couples \coord{A_i}{n_i}, où les $A_i$ sont des points (du plan ou de l'espace) et où les $n_i$ sont des nombres, nommés \textit{pondérations}.
\end{defin}

\begin{exemple}[dans le plan]
On considère les points A\coord{-2}{-3}, B\coord{1}{5} et C\coord{5}{1}.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\shade[draw=orange!50!black,fill=orange!20,opacity=0.5] (-2,-3) -- (1,5) -- (5,1) -- cycle;
\rep{-3}{-4}{6}{6}
\draw[draw=orange!50!black] (-2,-3) node[left] {A} -- (1,5) node[above] {B} -- (5,1) node[above right] {C} -- cycle;
\end{tikzpicture}
\end{center}
Le triangle ABC représente une plaque de métal. 
\begin{itemize}
\item Au sommet A, on suspend une masse de 5 grammes;
\item au sommet B, on suspend une masse de 7 grammes;
\item au sommet C, on suspend une masse de 10 grammes.  
\end{itemize}
Cette plaque peut ainsi être représentée par le système pondéré :
\[
\{ \coord{A}{5}, \coord{B}{7}, \coord{C}{10} \}
\]
\end{exemple}

\newpage

\begin{exemple}[dans l'espace]
Le tableau suivant donne les masses (en kg) de quelques planètes de notre système solaire:
\begin{center}
\begin{tabular}{|*6{Sc|}}
\hline
Terre & Mars & Mercure & Vénus & Lune & Soleil  \\
\hline
$5,972 \times 10^{24}$ & $6,39 \times 10^{23}$ & $3,285 × 10^{23}$ & $4,867 \times 10^{24}$ & $7,6\times10^{22}$ & $1,989\times10^{30}$  \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
% definition de partial ellipse
\tikzset{partial ellipse/.style args =
  {#1:#2:#3}{insert path={+ (#1:#3) arc (#1:#2:#3)}}}
  \begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex]
  %  ellipses
  \draw [fill=white!90!red]    (3,-1.8) ellipse    (4cm and 1 cm);
  \draw [fill=yellow!90!green] (3,-1.8) ellipse (3cm and 0.75 cm);
  \draw [fill=white!90!green]  (3,-1.8) ellipse  (2cm and 0.5 cm);

  % -- Soleil
  \shade [ball color=gray!10!yellow] (3,-1.8) circle (1);
  \node (soleil) at (3,-1.8) {\bf Soleil};
  % partial ellipse pour tracé devant le Soleil
  \draw (3,-1.8) [partial ellipse=220:320:2cm and 0.5cm]
        (3,-1.8) [partial ellipse=220:320:3cm and 0.75cm];

  % Venus
  \shade [ball color=gray!10!orange] (1.6,-1.8) circle (.2);
  \node (venus) at (1.5,-1.45) {Venus}; 

  % ombre de Venus
  \draw[color=white!70!black,fill=white!70!black]
    (1.6,-2.3) ellipse (2mm and 0.5mm);

  % Mercure
  \shade [ball color=gray!10!orange] (5,-1.225) circle (.25);
  \node (mercure) at (5,-0.8) {Mercure}; 

  % Earth
  \shade [ball color=white!50!blue] (5.75,-2.5) circle (.33);
  \node (terre) at (6.6,-2.6) {\bf Terre};

  % Lune
  \shade [ball color=yellow] (5.25,-2.8) circle (.1);
  \node (lune) at (5.25,-3) {Lune};
     
  % Mars
  \draw (3,-1.8) [partial ellipse=45:120:9cm and 2.5cm];
  \shade [ball color=black!50!red] (5,0.66) circle (.15);
  \node (mars) at (5,1) {\bf Mars};    
\end{tikzpicture}
\end{center}
Ce tableau est un système pondéré.
\end{exemple}

\subsection{Système pondéré de nombres}

\begin{defin}
Un \textit{système pondéré de nombres} est un ensemble formé de plusieurs couples \coord{x_i}{n_i}, où les $x_i$ sont des nombres et où les $n_i$ sont des nombres, nommés \textit{pondérations} ou \textit{coefficients}.
\end{defin}

\begin{exemple}[statistiques]
Le tableau suivant récapitule le nombre d'enfants par famille en France en 2018 (source : INSEE - \url{https://www.insee.fr/fr/statistiques/2381506}).
\begin{center}
\begin{tabular}{|Sl|*4{Sc|}}
\hline
Nombre d'enfants & 1 & 2 & 3 & 4 et plus\\
\hline
Nombre de familles (en milliers) & \numprint{3 590,3} & \numprint{3097,6} & \numprint{1006,5} & \numprint{311,9}\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

Ce tableau est un système pondéré.
\end{exemple}

\newpage

\section{Barycentre d'un système pondéré}

\subsection{Systèmes pondérés de points}

\subsubsection{Notion de vecteurs}

\begin{defin}
Soient deux points A et B (du plan ou de l'espace).

On définit le \og vecteur AB \fg, et on note $\vv{AB}$, comme étant le déplacement de A vers B. Il est donc défini par:
\begin{itemize}
\item sa \textbf{direction}: la droite (AB);
\item son \textbf{sens}: de A vers B;
\item sa \textbf{norme}: la longueur AB.
\end{itemize} 
\end{defin}

Un vecteur représente donc un déplacement. On le représente géométriquement par une flèche.

\begin{exemple}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\rep{-1}{-1}{5}{3}
\draw[very thick,->,>=latex,exemple] (2,1) node[below left] {A} -- (4,2) node[above right] {B} node[midway,above,rotate=27] {$\vv{AB}$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{exemple}

\subsubsection{Opérations sur les vecteurs}

\begin{prop}
On peut:
\begin{itemize}
\item additionner deux vecteurs;

\item multiplier un vecteur par un nombre.
\end{itemize}
\end{prop}

\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\begin{exemple}[addition]
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\rep{-1}{-1}{4}{3}
\draw[very thick,->,>=latex,exemple] (1,-1) node[above left] {A} -- (3,1) node[above right] {B} node[midway,below,rotate=45] {$\vv{AB}$};
\draw[very thick,->,>=latex,prop] (3,1) -- (2,2) node[above right] {C} node[midway,above,rotate=-45] {$\vv{BC}$};
\draw[very thick,->,>=latex,red] (1,-1) -- (2,2) node[midway,above,rotate=71] {$\vv{AB}+\vv{BC}$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{exemple}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\begin{exemple}[multiplication]
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\rep{-1}{-1}{4}{3}
\draw[very thick,->,>=latex,exemple] (0,-1) node[above left] {A} -- (2,0) node[above right] {B} node[midway,below,rotate=18] {$\vv{AB}$};
\draw[very thick,->,>=latex,red] (0,0)  -- (4,2) node[midway,below,rotate=18] {$2\vv{AB}$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{exemple}
\end{minipage}

\subsubsection{Barycentre}

\begin{defin}
Soit le système pondéré de points $\{ \coord{A_i}{k_i} \}$ pour $1 \leqslant i \leqslant n$, tel que $k_1+k_2+\cdots+k_n\neq0$.

On définit son barycentre comme étant le point G tel que:
\[
k_1\vv{GA_1} + k_2\vv{GA_2} + \cdots + k_n\vv{GA_n} = \vv{0}.
\]
On note alors:
\[
G = \text{bar}\{ \coord{A_i}{k_i} \}_{1\leqslant i\leqslant n}.
\]
\end{defin}

\begin{exemple}[placer un barycentre de deux points]
On considère le système $\{ \coord{A}{3} , \coord{B}{2} \}$. On note $G$ son barycentre.

Par définition,
\[
3\vv{GA}+2\vv{GB}=\vv{0}.
\]
Donc:
\[
3\vv{GA} + 2\big(\vv{GA} + \vv{AB} \big) = \vv{0}\qquad\text{soit:}\qquad 5\vv{GA}+\vv{2AB}=\vv{0}.
\]
On peut aussi écrire:
\[
5\vv{GA}=-2\vv{AB}\qquad\text{soit:}\qquad 5\vv{AG}=2\vv{AB}\text{ car }\vv{GA}=-\vv{AG}.
\]
On en déduit alors que:
\[
\vv{AG}=\dfrac{2}{5}\vv{AB}.
\]
On peut ainsi construire G à partir de A:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) node[below] {A} -- (10,0) node[below] {B};
\foreach\x in {0,2,4,6,8,10} { \draw (\x,0.1) -- (\x,-0.1); }
\draw[thick,red,->,>=latex] (0,0) -- (4,0) node[below] {G} node[midway,below] {$\dfrac{2}{5}\vv{AB}$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{exemple}

\begin{prop}
Soit le système pondéré de points $\{ \coord{A_i}{k_i} \}$ pour $1 \leqslant i \leqslant n$, tel que $k_1+k_2+\cdots+k_n\neq0$. 

On note G son barycentre. Alors, 
\[
\vv{A_1G} = \frac{k_2}{k_1+\cdots+k_n}\vv{A_1A_2} + \frac{k_3}{k_1+\cdots+k_n}\vv{A_1A_3} + \cdots + \frac{k_n}{k_1+\cdots+k_n}\vv{A_1A_n}
\]
que l'on peut aussi écrire:
\[
\vv{A_iG} = \sum_{\substack{j\neq i\\1\leqslant j \leqslant n}} \dfrac{k_j}{k_1+\cdots+k_n}\vv{A_iA_j}.
\]
\end{prop}

\newpage

\begin{prop}[alignement]
Si $G=\text{bar}\{\coord{A}{\alpha},\coord{B}{\beta}\}$ alors A, B et G sont alignés.
\end{prop}

\begin{rem}
Cette propriété peut être utilisée pour démontrer que trois points sont alignés.
\end{rem}


\begin{prop}[homogénéité]
Si $G=\text{bar}\{\coord{A}{\alpha},\coord{B}{\beta}\}$ alors, tout tout réel non nul $k$, $G=\text{bar}\{\coord{A}{k\alpha},\coord{B}{k\beta}\}$.
\end{prop}

\begin{prop}[réduction]
Si $G=\text{bar}\{\coord{A}{\alpha},\coord{B}{\beta}\}$ alors pour tout point $M$,
\[
\alpha \vv{MA} + \beta \vv{MB} = (\alpha + \beta)\vv{MG}.
\]
\end{prop}

\begin{rem}
Cette dernière propriété permet de positionner le point G dans un repère, en prenant M = O (origine du repère). On trouve alors:
\[
x_G = \dfrac{\alpha x_A + \beta x_B}{\alpha+\beta}
\qquad\text{et}\qquad
y_G = \dfrac{\alpha y_A + \beta y_B}{\alpha+\beta}.
\]
\end{rem}

\begin{prop}[associativité]
Soit $G = \text{bar}\{ \coord{A}{\alpha}, \coord{B}{\beta} , \coord{C}{\gamma}\}$.

Soit $H = \text{bar}\{ \coord{A}{\alpha}, \coord{B}{\beta} \}$.

\medskip

Alors, $G = \text{bar}\{ \coord{H}{\alpha+\beta} , \coord{C}{\gamma} \}$.
\end{prop}

\subsubsection{Isobarycentre}

\begin{defin}
Dans un un système pondéré où toutes les pondérations sont égales, le barycentre est appelé \textit{isobarycentre} (\og iso \fg{} = \og même \fg).
\end{defin}

\begin{rem}
Dans un triangle, l'isobarycentre est le \textit{centre de gravité}: le point d'intersection des médianes.
\end{rem}

\newpage

\subsubsection{À quoi sert le barycentre géométrique ?}

\begin{itemize}
\item Il sert à trouver le centre d'équilibre d'un objet;
\item En astrophysique, il peut servir à savoir où se trouve le point autour duquel les objets (planètes, satellites, ...) tournent. On arrive par exemple à démontrer grâce à cela, que le centre de gravité de notre système solaire est à \numprint{750000} kilomètres du milieu du Soleil, juste à proximité de sa surface, et non au centre du Soleil comment on le pensait avant 2020).
\begin{flushright}
Source : \textit{The Astrophysical Journal}, 30 juin 2020.
\end{flushright}
\end{itemize}


\subsection{Systèmes pondérés de nombres}

\begin{defin}
Soit $\{ \coord{x_i}{k_i} \}$ un système pondéré de $n$ nombres $x_i$, où $k_1+k_2+\cdots+k_n\neq0$. Son barycentre est défini comme étant le nombre noté $\bar{x}$ tel que:
\[
\bar{x}=\dfrac{k_1 \times x_1 + k_2 \times x_2 + \cdots + k_n \times x_n}{k_1+k_2+\cdots+k_n}.
\]
\end{defin}

\begin{rem}
Dans la remarque \ref{rem:2}, les coordonnées du barycentre sont des barycentres des systèmes pondérés formés par les abscisses et les ordonnées:
\[
x_G = \text{bar}\{ \coord{x_A}{\alpha},\coord{x_B}{\beta} \}\quad\text{et}\quad
y_G = \text{bar}\{ \coord{y_A}{\alpha},\coord{y_B}{\beta} \}.
\]
\end{rem}

\begin{exemple}
Au cours d'un trimestre, Alix a eu les notes suivantes en mathématiques:
\begin{itemize}
\item 15, coefficient 2;
\item 18, coefficient 0,5;
\item 14, coefficient 3.
\end{itemize}
Ces notes, munies d'un coefficient, forment un système pondéré de nombres: chaque note \og ne compte pas \fg{} de la même façon.

Sa moyenne trimestrielle de maths est donc:
\[
\bar{x} = \dfrac{15\times2 + 18\times0,5 + 14\times3}{2+0,5+3}\approx 14,72.
\]
\end{exemple}

%\subsubsection*{Utilisation de Xcas}

Xcas est un logiciel gratuit de calculs formels.

Il est téléchargeable ici: \url{https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/\~parisse/giac\_fr.html}

On peut l'utiliser notamment pour calculer un barycentre de système pondéré de nombre. Sur l'exemple précédent, cela donne:

\hrulefill

{\ttfamily
moyenne([15,18,14],[2,0.5,3])

\begin{center}
14.7272727273
\end{center}
}
\hrulefill

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%% EXERCICES
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\exercices

\subsection*{Barycentre de deux points}

\begin{exocor}{}
On considère le système pondéré : \{ \coord{A}{6} , \coord{B}{4} \}.

Construire le barycentre de ce système sur la figure suivante:

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw[thick] (0,0) node[below] {A} -- (10,0) node[below] {B};
\foreach \x in {0,1,...,10} { \draw[thick] (\x,0.1)--(\x,-0.1); }
\end{tikzpicture}
\end{center}

\tcblower

Notons $G$ le barycentre de \{ \coord{A}{6} , \coord{B}{4} \}.

Alors,
\[
\vv{AG} = \dfrac{4}{6+4}\vv{AB} \text{(voir exemple du cours, section II.1.c)}
\]
Donc:
\[
\vv{AG} = \dfrac{2}{5}\vv{AB}.
\]
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw[thick] (0,0) node[below] {A} -- (10,0) node[below] {B};
\foreach \x in {0,1,...,10} { \draw[thick] (\x,0.1)--(\x,-0.1); }
\draw[red,very thick,->,>=latex] (0,0) -- (4,0) node[below] {G};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{exocor}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exocor}{}
On considère le système pondéré : \{ \coord{A}{3} , \coord{B}{7} \}.

Construire le barycentre de ce système sur la figure suivante:

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw[thick] (0,0) node[below] {A} -- (10,0) node[below] {B};
\foreach \x in {0,1,...,10} { \draw[thick] (\x,0.1)--(\x,-0.1); }
\end{tikzpicture}
\end{center}

\tcblower

Notons $G$ le barycentre de \{ \coord{A}{3} , \coord{B}{7} \}.

Alors,
\[
\vv{AG} = \dfrac{7}{3+7}\vv{AB} \text{(voir exemple du cours, section II.1.c)}
\]
Donc:
\[
\vv{AG} = \dfrac{7}{10}\vv{AB}.
\]
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw[thick] (0,0) node[below] {A} -- (10,0) node[below] {B};
\foreach \x in {0,1,...,10} { \draw[thick] (\x,0.1)--(\x,-0.1); }
\draw[red,very thick,->,>=latex] (0,0) -- (7,0) node[below] {G};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{exocor}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exocor}{}
On considère le système pondéré : \{ \coord{A}{-3} , \coord{B}{4} \}.

Construire le barycentre de ce système sur la figure suivante:

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw[thick] (0,0) node[below] {A} -- (8,0);
\foreach \x in {0,1,...,8} { \draw[thick] (\x,0.1)--(\x,-0.1); }
\node[below] at (2,0) {B};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\tcblower

Notons $G$ le barycentre de \{ \coord{A}{-3} , \coord{B}{4} \}.

Alors,
\[
\vv{AG} = \dfrac{4}{-3+4}\vv{AB} \text{(voir exemple du cours, section II.1.c)}
\]
Donc:
\[
\vv{AG} = 4\vv{AB}.
\]
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw[thick] (0,0) node[below] {A} -- (8,0);
\foreach \x in {0,1,...,8} { \draw[thick] (\x,0.1)--(\x,-0.1); }
\node[below] at (2,0) {B};
\draw[red,very thick,->,>=latex] (0,0) -- (8,0) node[below] {G};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{exocor}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exocor}{}
On considère le système pondéré : \{ \coord{A}{5} , \coord{B}{-4} \}.

Construire le barycentre de ce système sur la figure suivante:

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw[thick] (0,0) -- (10,0) node[below] {B};
\foreach \x in {0,1,...,10} { \draw[thick] (\x,0.1)--(\x,-0.1); }
\node[below] at (9,0) {A};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\tcblower

Notons $G$ le barycentre de \{ \coord{A}{5} , \coord{B}{-4} \}.

Alors,
\[
\vv{AG} = \dfrac{-4}{5-4}\vv{AB} \text{(voir exemple du cours, section II.1.c)}
\]
Donc:
\[
\vv{AG} = -4\vv{AB}.
\]
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw[thick] (0,0) -- (10,0) node[below] {B};
\foreach \x in {0,1,...,10} { \draw[thick] (\x,0.1)--(\x,-0.1); }
\node[below] at (9,0) {A};
\draw[red,very thick,->,>=latex] (9,0) -- (5,0) node[below] {G};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{exocor}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage

\subsection*{Barycentre de trois points}

\begin{exocor}{dans un triangle hors repère}
On considère le triangle $ABC$ ci-dessous, où les sommets forment le système pondéré : \{ \coord{A}{1} , \coord{B}{2} , \coord{C}{3} \}.

Placer le barycentre de ce système.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw[dotted] (0,0) grid (10,10);
\draw[red,thick] (1,1) -- (4,8) -- (9,3) -- cycle;
\fill (1,1) circle (2pt) node[below left] {A};
\fill (4,8) circle (2pt) node[above] {B};
\fill (9,3) circle (2pt) node[right] {C};
\draw[red] (1,1) -- (4,8) -- (9,3) -- cycle;
\end{tikzpicture}
\end{center}

\tcblower

On peut utiliser ici l'associativité du barycentre pour construire le barycentre du triangle ABC.

\begin{itemize}
\item Notons $H = \text{bar}\{ \coord{A}{1} , \coord{B}{2} \}$.

Alors, $\vv{AH} = \dfrac{2}{3}\vv{AB}$.

On peut ainsi construire le point $H$.

\item $G = \text{bar}\{ \coord{H}{1+2} , \coord{C}{3} \} = \text{bar}\{ \coord{H}{3} , \coord{C}{3} \}$.

$G$ est donc le milieu du segment $[HC]$ car c'est l'isobarycentre du système.
\end{itemize}
Ce qui donne:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw[dotted] (0,0) grid (10,10);
\draw[red,thick] (1,1) -- (4,8) -- (9,3) -- cycle;
\fill (1,1) circle (2pt) node[below left] {A};
\fill (4,8) circle (2pt) node[above] {B};
\fill (9,3) circle (2pt) node[right] {C};
\draw[red] (1,1) -- (4,8) -- (9,3) -- cycle;
\fill (2,3.333) circle (2pt);
\fill (3,5.666) circle (2pt);
\draw[blue,->,>=latex] (1,1) -- (3,5.66) node[above left] {$H$};
\draw[green!50!black] (3,5.666) -- (9,3);
\fill[green!50!black] (6,4.333) circle (2pt) node[below] {$G$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

On aurait aussi pu introduire un repère orthonormé \Rij tel que A\coord{1}{1}, B\coord{4}{8} et C\coord{9}{3}, et ensuite calculer les coordonnées de $G$:

\[
x_G = \dfrac{1x_A+2x_B+3x_C}{1+2+3}=\dfrac{36}{6}=6
\]

et

\[
y_G=\dfrac{1+16+9}{6}=\dfrac{13}{3}.
\]

On peut d'ailleurs vérifier sur la construction précédente, avec le quadrillage, que ces coordonnées coïncident avec la position du point $G$ trouvé.
\end{exocor}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\subsection*{Barycentre de systèmes de nombres}

\begin{exocor}{}
Voici les notes de Kévin en classe de Seconde:
\begin{itemize}
\item Trimestre 1:
\begin{itemize}
\item 7/20, coefficient 1
\item 13/20, coefficient 3
\item 15/20, coefficient 2
\end{itemize}

\item Trimestre 2:
\begin{itemize}
\item 18,5/20, coefficient 0,5
\item 15/20, coefficient 2
\item 13/20, coefficient 3
\item 14/20, coefficient 2
\end{itemize}

\item Trimestre 3:
\begin{itemize}
\item 19/20, coefficient 0,5
\item 16/20, coefficient 1
\item 14,5/20, coefficient 3
\end{itemize}
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item On note $\bar{x_i}$ la moyenne pondérée de Kévin au trimestre $i$, $1 \leqslant i\leqslant 3$.

Calculer ces valeurs.

\item Calculer la moyenne pondérée de Kévin en Seconde.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item 
\begin{itemize}
\item Trimestre 1 : $\bar{x_1} = \dfrac{1\times7 + 3\times13 + 15\times2}{1+3+2}=\dfrac{38}{3}\approx12,67$.

\item Trimestre 2 : $\bar{x_2} = \dfrac{0,5\times18,5 + 15\times2 + 13\times3 + 14\times2}{0,5+2+3+2}=\dfrac{132}{9}\approx14,17$.

\item Trimestre 3 : $\bar{x_3}=\dfrac{19\times0,5+16\times1+14,5\times3}{0,5+1+3}=\dfrac{46}{3}\approx15,33$.
\end{itemize}

\item La moyenne pondérée $\bar{x}$ de Kévin en Seconde est le barycentre du système $\{ \coord{\bar{x_1}}{6}, \coord{\bar{x_2}}{7,5}, \coord{\bar{x_3}}{4,5} \}$. Donc:
\[
\bar{x} = \dfrac{\frac{38}{3}\times6 + \frac{132}{9}\times7,5 + \frac{46}{3}\times4,5}{6+7,5+4,5} = \dfrac{85}{6} \approx 14,17.
\]
\begin{rem}
Si on avait effectué les calculs sur les valeurs approchées des trois moyennes trimestrielles (12.67, 14.17 et 15.33), on aurait obtenu une moyenne annuelle de 13,96, donc inférieure à la vraie moyenne... d'où l'importance de garder les valeurs exactes (valeurs fractionnaires) jusqu'au bout !
\end{rem}
\end{enumerate}
\end{exocor}

\corriges
