\chapter{Les pourcentages}

\newpage\pagestyle{main}

\section{Définition}

\begin{defin}
Un pourcentage est la proportion d'une partie par rapport à un tout, proportion ramenée à une valeur égale à 100.
\end{defin}

\begin{exemple}
Dans un groupe de \numprint{700} personnes, 35 mesurent moins d'1m60.
\begin{itemize}
\item La proportion de personnes mesurant moins d'1m60 dans ce groupe est :
\[
\dfrac{35}{700}=\dfrac{35\times1}{35\times20}=\dfrac{1}{20}.
\]
\item Le pourcentage correspondant à cette proportion est:
\[
\dfrac{1}{20}\times100=\dfrac{100}{20}=5\%.
\]
\end{itemize}
\end{exemple}

\begin{prop}
Il y a proportionnalité entre la partie et le pourcentage. Le tableau suivant est donc un tableau de proportionnalité:
\begin{center}
\begin{tabular}{|Sc|Sc|}
\hline
Le tout & La partie\\
\hline
100 & Le pourcentage\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{prop}

\section{Différents calculs}

À l'aide du tableau de la propriété précédente, et d'un produit en croix, on peut effectuer les calculs suivants.

\subsection{Retrouver le tout}

\begin{prop}
\[
\text{Le tout} = \dfrac{100 \times \text{La partie}}{\text{Le pourcentage}}.
\]
\end{prop}

\newpage

\begin{exemple}
Dans un groupe de personnes, \pourcent{45} sont bons en maths, ce qui représente 540 personnes.

Il y a donc dans ce groupe:
\[
\dfrac{100 \times 540}{45} = \numprint{1200}\text{ personnes.}
\]
\end{exemple}

\subsection{Retrouver la partie}

\begin{prop}
\[
\text{La partie} = \dfrac{\text{Le pourcentage} \times \text{Le tout}}{\text{100}}.
\]
\end{prop}

\begin{exemple}
Dans un groupe de \numprint{1200} personnes, \pourcent{30} aiment la programmation. Cela représente:
\[
\dfrac{30 \times \numprint{1200}}{100} = 360\text{ personnes.}
\]
\end{exemple}

\section{Évolutions simples}

\subsection{Introduction}

\begin{defin}
Une \textit{évolution} est une \textbf{augmentation} ou une \textbf{réduction}.

On la quantifie souvent en pourcentage (par rapport à la première valeur).
\end{defin}

\begin{exemple}
\begin{itemize}
\item Un article est vendu normalement 120 \euro. Il est soldé à $-20$\%. 

Cela signifie que le prix final sera égal à 120 \euro{} auxquels on a enlevé \pourcent{20} de 120:
\[
120-\dfrac{20}{100}\times120=120-24=96.
\]
Le prix après réduction est donc égal à 96 \euro.

\item Un article est vendu normalement 120 \euro. Son prix augmente de \pourcent{5}.

Cela signifie que le prix final sera égal à 120 \euro{} auxquels on a ajouté \pourcent{5} de 120:
\[
120+\dfrac{5}{100}\times120=120+6=126.
\]
Le prix final sera donc égal à 126 \euro.
\end{itemize}
\end{exemple}

\newpage

\begin{prop}
\begin{itemize}
\item Augmenter un nombre de \pourcent{t} revient à multiplier ce nombre par $\left(1+\dfrac{t}{100}\right)$.
\item Réduire un nombre de \pourcent{t} revient à multiplier ce nombre par $\left(1-\dfrac{t}{100}\right)$.
\end{itemize}
\end{prop}

\begin{exemple}
\begin{itemize}
\item L'article qui vaut 120 \euro{} et qui est soldé à $-20$\% vaut, après réduction:
\[
120 \times \left(1-\frac{20}{100}\right) = 120 \times (1-0,2) = 120 \times 0,8 = 96\text{ \euro}.
\]
\item L'article qui vaut 120 \euro{} et dont le prix augmente de \pourcent{5}vaut, après augmentation:
\[
120 \times \left(1+\frac{5}{100}\right) = 120 \times (1+0,05) = 120 \times 1,05 = 126\text{ \euro}.
\]
\end{itemize}
\end{exemple}

\begin{defin}
Le nombre $\left(1-\dfrac{t}{100}\right)$ ou $\left(1+\dfrac{t}{100}\right)$ est appelé le \textit{coefficient multiplicateur} de l'évolution.
\end{defin}

\begin{rem}
Si le coefficient multiplicateur d'évolution est compris entre 0 et 1, l'évolution est une réduction.
Si le coefficient multiplicateur d'évolution est supérieur à 1, l'évolution est une augmentation.
\end{rem}

\subsection{Retrouver le pourcentage d'évolution}

\begin{prop}
Soit $x$ un nombre ayant subit une évolution. Soit $y$ le résultat après évolution.

Le pourcentage d'évolution est donné par la formule:
\[
t = \dfrac{y-x}{x}\times100.
\]
\end{prop}

\begin{demo}
Notons $t$ le pourcentage d'évolution, positif ou négatif. Alors,
\[
y = \left(1+\dfrac{t}{100}\right)x.
\]
Donc, en divisant par $x$, on a:
\[
\dfrac{y}{x}=1+\dfrac{t}{100}
\]
et donc:
\[
\dfrac{y}{x}-1=\dfrac{t}{100}.
\]
En multipliant par 100, on obtient la valeur de $t$:
\[
t = 100\left(\dfrac{y}{x}-1\right).
\]
En réduisant au même dénominateur dans les parenthèses, on arrive à:
\[
t = 100\left(\dfrac{y}{x}-\dfrac{x}{x}\right)
\]
soit:
\[
t = 100\left(\dfrac{y-x}{x}\right)
\]
que l'on peut aussi écrire sous la forme:
\[
t = \dfrac{y-x}{x}\times100.
\]
\end{demo}

\begin{exemple}
Le prix d'un article passe de 120 \euro{} à 135 \euro. Le pourcentage d'augmentation est:
\[
\dfrac{135-120}{120}\times100=12,5.
\]
L'augmentation a donc été de \pourcent{12,5}.
\end{exemple}

\subsection{Retrouver la valeur initiale}

\begin{prop}
Après évolution de \pourcent{t}, une valeur $x$ est passée à $y$. Alors, 
\[
x = \dfrac{y}{1+\frac{t}{100}} = \dfrac{100y}{100+t}.
\]
\end{prop}

\begin{exemple}
Après réduction de \pourcent{15}, un article vaut 212,50 \euro.

Son prix initial était donc:
\[
x = \dfrac{100 \times 212,5}{100-15} = 250\text{ \euro}.
\]
\end{exemple}

\newpage

\section{Évolutions successives}

\begin{defin}
On appelle \textit{évolutions successives} plusieurs évolutions à la suite d'un même nombre.
\end{defin}

\begin{exemple}
Le prix d'un article augmente de \pourcent{5} en un an, puis de \pourcent{7} l'année suivante.

Il y a eu ici deux augmentations successives.
\end{exemple}

\begin{prop}
Un nombre évolue de \pourcent{t_1}, puis de \pourcent{t_2}.

Alors, il est multiplié par
\[
\left(1+\dfrac{t_1}{100}\right)\left(1+\dfrac{t_2}{100}\right).
\]
\end{prop}

\begin{exemple}
\begin{itemize}
\item Un article, valant 140 \euro, augmente de \pourcent{5} en un an, puis de \pourcent{7} l'année suivante.

Au final, son prix sera :
\[
140 \times 1,05 \times 1,07 = 157,29\text{ \euro}.
\]

\item Une compagnie d'énergie annonce que le prix de l'électricité va augmenté de \pourcent{6} par an pendant 5 ans.

Ainsi, dans 5 ans, le prix de l'électricité sera multiplié par :
\[
\left(1+\dfrac{6}{100}\right)^6 \approx 1,338.
\]
L'augmentation par rapport au prix actuel sera alors égal à:
\[
(1,338-1)\times100\approx33,4\%.
\]
\end{itemize}
\end{exemple}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%% EXERCICES

\exercices

\subsection*{Calculer un pourcentage}

\begin{exocor}{}
Dans un troupeau de 153 zèbres, 9 ont des pois blancs à la place de rayures.

Quel pourcentage (arrondi au centième) cela représente-t-il ?

\tcblower

Il y a 9 zèbres à pois sur 153; cela représente un pourcentage de:
\[
\dfrac{9}{153}\times100\approx5,88\%.
\]
\end{exocor}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exocor}{}
Les élections des délégués ont eu lieu.
\begin{itemize}
\item Dans la classe A, Eymeric a eu 21 voix sur les 37 votes exprimés.
\item Dans la classe B, Inès a eu 22 voix sur les 38 votes exprimés.
\end{itemize}
Qui a obtenu le meilleur pourcentage de votes ?

\tcblower

\begin{itemize}
\item Dans la classe A, Eymeric a obtenu 21 voix sur 37, soit un pourcentage de $\dfrac{21}{37}\times100\approx56,76\%$.
\item Dans la classe B, Inès a obtenu 22 voix sur 38, soit un pourcentage de $\dfrac{22}{38}\times100\approx57,89\%$.
\end{itemize}
Inès a donc eu le meilleur score.
\end{exocor}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\subsection*{Calculer à partir d'un pourcentage}

\begin{exocor}{}
Sur les \numprint{1575} élèves d'un établissement, \pourcent{20} viennent à vélo.

Combien d'élèves viennent à vélo ?

\tcblower

On calcule \pourcent{20} de \numprint{1575}:
\[
\dfrac{20}{100}\times\numprint{1575}=\numprint{315}.
\]
Il y a donc 315 élèves qui viennent à vélo.
\end{exocor}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exocor}{}
Parmi les \numprint{343980} domiciles d'une ville, \pourcent{1,6687} ne disposent pas de la fibre optique chez eux.

Quel nombre de domiciles cela représente-t-il ?

\tcblower

On calcule \pourcent{1,6687} de \numprint{343980}:
\[
\dfrac{1,6687}{100}\times\numprint{343980}=\numprint{5739,99426}.
\]
Il y a donc \numprint{5740} domiciles qui ne disposent pas de la fibre optique dans cette ville.
\end{exocor}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exocor}{}
\begin{minipage}{5cm}
\includegraphics[width=5cm]{pourcentages-panneau-pente.png}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-5.5cm}
Le panneau ci-contre signifie que si l'on avance à l'horizontale de 100 mètres, la dénivellation vers le bas est de 18 mètres.

Quel ange fait cette pente avec l'horizontale ?
\end{minipage}

\tcblower

On nous demande de calculer la mesure de l'angle marqué sur la figure ci-dessous:

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) -- (10,0) -- (0,1.8) -- cycle;
\draw (0,0.3) -- (0.3,0.3) -- (0.3,0);
\fill[red] (10,0) -- ({10+cos(170)},{sin(170)}) arc (170:180:1cm) -- cycle;
\node[red,left] at ({10+1.5*cos(175)},{1.5*sin(175)}) {$\alpha$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
Pour cela, on calcule sa tangente: $\tan\alpha=\dfrac{18}{100}=0,18$, puis on calcule l'arc-tangente: $\alpha=\arctan(0,18)\approx10^\circ$.

\vspace*{1cm}~
\end{exocor}

\newpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exocor}{}
Dans un groupe de personnes, 27 sont daltoniens, ce qui représente \pourcent{15} du groupe.

Combien de personne y a-t-il dans ce groupe ?

\tcblower

On calcule:
\[
\dfrac{27\times100}{15}=180.
\]
Il y a donc 180 personnes dans ce groupe.
\end{exocor}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exocor}{}
\pourcent{32} des électeurs d'un village ont voté pour l'actuel maire  au premier tour des élections municipales, soit 256 personnes.

Combien de personnes sont inscrites sur les listes électorales de ce village ?

\tcblower

On calcule:
\[
\dfrac{256\times100}{32}=800.
\]
Il y a donc 800 personnes inscrites sur les listes électorales de ce village.
\end{exocor}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exocor}{}
Dans un village de \numprint{3725} habitants, \pourcent{97,1275} des personnes de plus de 18 ans sont inscrits sur les listes électorales.

Aux dernières élections, le maire a été élu avec \pourcent{82,31} des voix. 

Tous les habitants inscrits sur les listes électorales ont voté aux dernières élections.

Combien de personnes ont voté pour le maire ?

\tcblower

\pourcent{82,31} des \pourcent{97,1275} ont voté pour le maire. Cela représente:
\[
\underbrace{\dfrac{82,31}{100}}_{\substack{\text{votes pour}\\\text{le maire}}}\times\underbrace{\dfrac{97,1275}{100}}_{\substack{\text{habitants}\\\text{inscrits}}}\times\numprint{3725}\approx\numprint{2978}\text{ habitants}.
\]
\end{exocor}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exocor}{}
Dans une ville, \pourcent{41,57} des habitants ne paient pas d'impôts. Parmi ces personnes \pourcent{8,12} vivent en dessous du seuil de pauvreté.

Quel pourcentage d'habitants de cette ville vivent en dessous du seuil de pauvreté ?

\tcblower

On calcule:
\[
\dfrac{8,12}{100} \times \dfrac{41,57}{100} \times 100 \approx \pourcent{3,38}.
\]
Il y a donc environ \pourcent{3,38} des habitants de cette ville qui vivent en dessous du seuil de\linebreak pauvreté.
\end{exocor}

\begin{exocor}{}
Un jeu télévisé culturel se déroule en cinq manches:
\begin{itemize}
\item à l'issue de la première manche, \pourcent{30} des candidats sont éliminés;
\item à l'issue de la deuxième manche, \pourcent{20} des candidats restants sont éliminés;
\item à l'issue de la troisième manche, \pourcent{50} des candidats restants sont éliminés;
\item à l'issue de la quatrième manche, \pourcent{75} des candidats restants sont éliminés.
\end{itemize}
Au début du jeu, 300 candidat·e·s sont présents.

Combien de candidat·e·s participent à la dernière manche de ce jeu ?

\tcblower

Regardons manche après manche ce qui se passe:
\begin{itemize}
\item à l'issue de la première manche, \pourcent{30} des candidats sont éliminés, donc \pourcent{70} restent;
\item à l'issue de la deuxième manche, \pourcent{20} des candidats restants sont éliminés, donc \pourcent{80} des \pourcent{70} restent;
\item à l'issue de la troisième manche, \pourcent{50} des candidats restants sont éliminés, donc \pourcent{50} des \pourcent{80} des \pourcent{70} restent;
\item à l'issue de la quatrième manche, \pourcent{75} des candidats restants sont éliminés, donc \pourcent{25} des \pourcent{50} des \pourcent{80} des \pourcent{70} restent.
\end{itemize}
Pour trouver le nombre de candidat·e·s qui participent à la dernière manche, on peut alors calculer:
\[
300 \times \dfrac{25}{100} \times \dfrac{50}{100} \times \dfrac{80}{100}\times\dfrac{70}{100}=21.
\]
Il reste donc 21 candidats pour la dernière manche.


Bien entendu, on peut multiplier les pourcentages dans l'ordre inverse, pour les prendre dans le même sens que dans l'énoncé:
\[
300 \times \dfrac{70}{100} \times \dfrac{80}{100}\times\dfrac{50}{100}\times\dfrac{25}{100}=21.
\]
\end{exocor}


\subsection*{Évolutions}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exocor}{}
Un récipient est rempli aux trois quarts d'eau.

On souhaite augmenter le volume d'eau de \pourcent{30}. 

Est-ce possible ? Est-ce que cela va déborder ?

\tcblower

Le récipient est rempli aux trois quarts, donc à \pourcent{75}. Si on note $C$ la contenance du récipient, en litres, cela signifie qu'il y a $0,75C$ litre(s) d'eau.

Augmenter le volume d'eau de \pourcent{30} revient à multiplier par $1+\frac{30}{100}=1,3$.

Le nouveau volume d'eau serait alors égal à:
\[
0,75 \times 1,3 \times C = 0,975C.
\]

Le coefficient de $C$ étant inférieur à 1, le nouveau volume d'eau est inférieur à la contenance du récipient.

On peut donc augmenter le volume d'eau de \pourcent{30}.
\end{exocor}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exocor}{}
Un récipient est rempli au cinquième d'eau.

Un jeu, auquel seules deux personnes peuvent participer, consiste à remplir à tour de rôle ce récipient de sorte à ajouter exactement un quart du volume d'eau déjà dans le récipient. Ainsi,
\begin{itemize}
\item le joueur 1 ajoute le quart du volume d'eau déjà présent;
\item le joueur 2 ajoute le quart du nouveau volume;
\item le joueur 1 ajoute le quart du nouveau volume ainsi obtenu;
\item etc.
\end{itemize}
Le perdant est le joueur qui fait déborder le récipient.

\medskip

Si le joueur 1 commence, qui sera le perdant ?

\tcblower

On peut bien entendu faire les calculs petit à petit, mais on peut aussi se dire que répondre à la question revient à trouver le premier entier $n$ pour lequel $0,2 \times (1+0,25)^n > 1$.

Ici, \og 0,2 \fg{} représente la fraction d'eau déjà présente dans le récipient (à savoir le cinquième), et $(1+0,25)$ est le coefficient d'augmentation, qui est toujours le même. 

À l'aide du programme python suivant:

\medskip

\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\begin{python}
n = 1

while 0.2*1.25**n <= 1:
    print(n,0.2*1.25**n)
    n += 1
    
print(n,0.2*1.25**n)
\end{python}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\begin{console}
1 0.25
2 0.3125
3 0.390625
4 0.48828125
5 0.6103515625
6 0.762939453125
7 0.95367431640625
8 1.1920928955078125
\end{console}
\end{minipage}

\medskip

on s'aperçoit que c'est au huitième tour que l'on fait déborder le récipient.

Le perdant est donc le joueur 2.
\end{exocor}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exocor}{}
La masse d'un corps céleste est de $5,6\times 10^{24}$ kg.

Quelle évolution (en pourcentage) doit subir cette masse pour atteindre $6,5 \times  10^{25}$ kg ?

\tcblower

On cherche le pourcentage $t$ tel que $5,6\times 10^{24} \times \left(1+\dfrac{t}{100}\right) = 6,5 \times  10^{25}$.

On résout alors l'équation d'inconnue $t$:
\begin{align*}
5,6\times 10^{24} \times \left(1+\frac{t}{100}\right) = 6,5 \times  10^{25} & \iff  1+\frac{t}{100} = \frac{6,5 \times  10^{25}}{5,6\times 10^{24}}\\
& \iff 1+\frac{t}{100} \approx 11,6071\\\\
& \iff \frac{t}{100}\approx10,6071\\
& \iff t \approx \numprint{1060,71}
\end{align*}

L'augmentation est donc d'environ \pourcent{\numprint{1061}}.
\end{exocor}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\subsection*{\'Evolutions successives}

\begin{exocor}{}
Le volume $V_0$ d'un nuage céleste est augmenté de \pourcent{7}, pour donner un volume $V_1$, puis réduit de \pourcent{7} pour donner un volume $V_2$.

Quelle est l'évolution globale entre $V_0$ et $V_2$ ?

\tcblower

L'évolution globale est donnée par l'égalité :
\[
V_2 = \left(1-\frac{7}{100}\right)\left(1+\frac{7}{100}\right)V_0
\]
soit:
\[
V_2=\left(1-\frac{49}{\numprint{10000}}\right)V_0
\]
que l'on peut aussi écrire:
\[
V_2=\left(1-\frac{0,49}{100}\right)V_0
\]
L'évolution globale de $V_0$ à $V_2$ est donc $-\pourcent{0,79}$.

\begin{rem}
Dans un cas général, quand il y a une augmentation de \pourcent{t} suivie d'une diminution de \pourcent{t} (dans un sens ou dans l'autre), l'évolution est donnée par l'égalité:
\begin{align*}
V_2 & = \left(1-\frac{t}{100}\right)\left(1+\frac{t}{100}\right)V_0\\
& = \left( 1 - \frac{t^2}{100^2} \right)V_0\\
& = \left(1 - \dfrac{\tfrac{t^2}{100}}{100}\right)V_0.
\end{align*}
L'évolution est donc toujours une réduction de $\dfrac{t^2}{100}$\%.
\end{rem}
\end{exocor}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exocor}{}
Une valeur égale à $150$ augmente 10 fois de suite de \pourcent{1,5}.

À combien est-elle égale après toutes ces augmentations ?

\tcblower

On effectue le calcul:
\[
150 \times \left( 1 + \frac{1,5}{100} \right)^{10} \approx 174,08.
\]

Ainsi, après 10 augmentations de \pourcent{1,5}, la valeur 150 devient 174,08.
\end{exocor}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newpage

\begin{exocor}{}
Une valeur égale à 150 est passée à environ 173,89 après cinq augmentations identiques successives de \pourcent{t}, $t$ étant un entier naturel.

Que vaut $t$ ?

\tcblower

On a :
\begin{align*}
150 \times \left( 1 + \frac{t}{100} \right)^{5} \approx 173,89
 & \iff \left( 1 + \frac{t}{100} \right)^{5} \approx \frac{173,89}{150}\\
& \iff \left( 1 + \frac{t}{100} \right)^{5} \approx 1,159267\\
& \iff  1 + \frac{t}{100} \approx \sqrt[5]{1,159267}\\
& \iff  1 + \frac{t}{100} \approx 1,03\\
& \iff t = 3\text{ (on sait que $t$ est un entier naturel)}.
\end{align*}

\begin{rem}
On a dû ici résoudre une équation de la forme $X^5 = a$. Au même titre que l'équation $x^2=a$, $a>0$, admet pour solutions $x=\sqrt{a}$ et $x=-\sqrt{a}$, que l'équation $x^3=a$ admet pour solution la \og racine cubique \fg{} de $a$ ($x=\sqrt[3]{a}$, l'équation $x^5=a$ admet pour solution la \og racine cinquième \fg{} de $a$: $x=\sqrt[5]{a}$. C'est le nombre tel quel $\big(\sqrt[5]{a}\big)^5=a$.  

En supposant que $\sqrt[5]{a}$ s'écrive sous la forme $a^q$, on a:
\begin{align*}
\big( a^q \big)^5 = a & \iff a^{5q} = a^1\\
& \iff 5q = 1\\
& \iff q = \frac{1}{5}.
\end{align*}
On peut donc écrire:
\[
\sqrt[5]{a}=a^{\frac{1}{5}}.
\]
Mais on n'a pas besoin de cette écriture pour calculer sa valeur; en effet, sur les calculatrices, il y a toujours une touche  qui ressemble à $\boxed{ \sqrt[\tikz\draw (0,0) rectangle+(0.2,0.2);]{x}}$ ou $\boxed{\sqrt[x]{~}}$.
\end{rem}
\end{exocor}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exocor}{}

\end{exocor}

\corriges
