\chapter{Les différentes moyennes}

\newpage\pagestyle{main}

\section{Moyenne arithmétique}

\begin{defin}
La moyenne arithmétique de $n$ valeurs $x_1$, $x_2$, ..., $x_n$ est la valeur $\bar{a}$ telle que, si l'on ajoute $n$ fois $\bar{a}$, on obtient la somme des $n$ valeurs :
\[
n \times \bar{a} = \sum_{k=1}^n x_k = x_1+x_2+\cdots+x_n.
\]
\end{defin}

\begin{prop}
La moyenne arithmétique de $n$ valeurs $x_1$, $x_2$, ..., $x_n$ est:
\[
\bar{a} = \dfrac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}.
\]
\end{prop}

\begin{exemple}
Pendant l'année 2022, Louis a eu de l'argent de poche :
\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\columncolor{exemple}\color{white}}Sc||*{12}{Sc|}}
\hline
Initiales (mois) & 
J & F & M & A & M & J & J & A & S & O & N & D\\
\hline
Montants (en \euro) & 
15  & 20  & 7  & 13  & 25  & 10  & 30  & 50  & 15  & 20  & 15  & 50 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
L'argent de poche mensuel moyen est:
\[
\bar{a} = \dfrac{15+20+7+13+25+10+30+50+15+20+15+50}{12}=22,5.
\]
Cela signifie que s'il avait eu 22,50 \euro{} tous les mois, il aurait eu la même somme d'argent à la fin de l'année.
\end{exemple}

\begin{prop}
La moyenne arithmétique de $n$ valeurs est l'isobarycentre du système formé par ces $n$ valeurs.
\end{prop}

\section{Moyenne pondérée}

\begin{defin}
La moyenne pondérée de $n$ valeurs $x_1$, $x_2$, ..., $x_n$, affectées des coefficients $k_1$, $k_2$, ..., $k_n$, est le barycentre du système pondéré formé par ces valeurs. 
\end{defin}

\newpage

\begin{prop}
La moyenne pondérée de $n$ valeurs $x_1$, $x_2$, ..., $x_n$, affectées des coefficients $k_1$, $k_2$, ..., $k_n$, est la valeur $\bar{x}$ telle que:
\[
\bar{x} = \dfrac{k_1x_1+k_2x_2+\cdots+k_nx_n}{k_1+k_2+\cdots+k_n}.
\]
\end{prop}

\begin{rem}
La moyenne pondérée est une généralisation de la moyenne arithmétique.

En effet, si la valeur $x_1$ est comptée $k_1$ fois, c'est comme si on l'ajoutait $k_1$ fois; plutôt que d'écrire \og $\underbrace{x_1+x_1+\cdots+x_1}_{k_1\text{ fois}}$ \fg, on écrit \og $k_1x_1$ \fg.
\end{rem}

\begin{exemple}
Lucie a eu trois notes au premier trimestre de son années scolaire:
\begin{itemize}
\item 18/20, coefficient 3;
\item 15/20, coefficient 1;
\item 16/20, coefficient 2.
\end{itemize}
Sa moyenne trimestrielle est donc:
\[
\bar{x} = \dfrac{3 \times 18  +  1\times15 + 2\times16}{3+1+2}\approx16,8.
\]
\end{exemple}


\section{Moyenne géométrique}

\begin{defin}
La moyenne géométrique de $n$ valeurs $x_1$, $x_2$, ..., $x_n$ est le nombre $\bar{g}$ tel que :
\[
(\bar{g})^n = x_1 \times x_2 \times \cdots \times x_n.
\]
On a aussi:
\[
\bar{g} = \sqrt[n]{x_1 \times x_2 \times \cdots \times x_n}.
\]
\end{defin}

\begin{exemple}
La moyenne géométrique des nombres 5, 6 et 7 est:
\[
\bar{g} = \sqrt[3]{5\times6\times7}\approx5,94.
\]
\end{exemple}

\section{Moyenne harmonique}

\begin{defin}
La moyenne harmonique de $n$ valeurs $x_1$, $x_2$, ..., $x_n$ est le nombre $\bar{h}$ tel que :
\[
\dfrac{n}{\bar{h}} = \dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} + \cdots + \frac{1}{x_n}.
\]
\end{defin}

\begin{rem}
Si on note $\bar{H}=\dfrac{1}{\bar{h}}$ et $X_i = \dfrac{1}{x_i}$, pour $1 \leqslant i \leqslant n$, alors:
\[
n \bar{H} = X_1+X_2+\cdots + X_n
\]
On voit alors que $\bar{H}$ est la moyenne arithmétique des $X_i$.
\end{rem}

\begin{exemple}
La moyenne harmonique des nombres 6, 7 et 8 est telle que:
\[
\frac{3}{\bar{h}}=\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}=\frac{73}{168}
\]
donc:
\[
\bar{h}=3\times\frac{168}{73}=\frac{504}{73}\approx6,904.
\]
\end{exemple}

\section{Moyenne quadratique}

\begin{defin}
Le carré de la moyenne quadratique $\bar{q}$ de $n$ valeurs $x_1$, $x_2$, ..., $x_n$ est la moyenne arithmétique des $x_i^2$.
\[
\bar{q}^2 = \dfrac{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2}{n}.
\]
\end{defin}

\begin{prop}
La moyenne quadratique $\bar{q}$ de $n$ valeurs $x_1$, $x_2$, ..., $x_n$ est :
\[
\bar{q} = \sqrt{\dfrac{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2}{n}}.
\]
\end{prop}

\newpage

\begin{exemple}
La moyenne quadratique des nombres 6, 7 et 8 est:
\[
\bar{q}=\sqrt{\dfrac{6^2+7^2+8^2}{3}}\approx7,724.
\]
\end{exemple}

\section{À quoi servent ces moyennes ?}

\begin{itemize}
\item Les moyennes arithmétique et pondérée servent à connaître la moyenne de nombres comme les notes d'un contrôle, des montants, des mesures de longueurs, d'aires ou de volumes.

\medskip

\item La moyenne géométrique peut servir à trouver le coefficient multiplicateur moyen sur plusieurs évolutions successives.

\medskip

\item La moyenne harmonique peut servir à trouver une moyenne de vitesses (à ne pas confondre avec une \textit{vitesse moyenne} sur un parcourt) ou plus généralement, une moyenne de grandeurs-quotients (comme les vitesses ou les débits).

\medskip

\item La moyenne quadratique peut servir à trouver l'écart-type  d'une plage de données (en statistique).
\end{itemize}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% EXERCICES

\exercices


\subsection*{Moyenne harmonique}

\begin{exocor}{}
Un robinet a un débit qui a différé au court des quatre derniers jours:
\begin{itemize}
\item le premier jour, le débit était de 15 litres/min;
\item le deuxième jour, il était de 18 litres/min;
\item le troisième jour, il était de 20 litres/min;
\item le quatrième jour, il était de 16 litres/min.
\end{itemize}
On appelle $t_i$ le temps nécessaire à ce robinet pour remplir un même récipient le jour $i$, pour $1 \leqslant i \leqslant 4$. On note:
\[
T = t_1+t_2+t_3+t_4.
\]
Le débit moyen du robinet sur ces quatre jours est le nombre $D$ tel que, si le robinet avait eu un même débit $D$ durant ces quatre jours, le temps total de remplissage du récipient aurait été égal à $D$.

\begin{enumerate}
\item Calculer le temps nécessaire à ce robinet pour remplir un récipient de 100 litres au cours de ces quatre jours.
\item En déduire le temps total $T$.
\item Calculer la moyenne harmonique $\bar{h}$ des quatre débits.
\item Si le robinet avait eu un débit égal à $\bar{h}$ litre/minute durant ces quatre jours, quel aurait été le temps total de remplissage du récipient de 100 litres ?

Quelle conclusion peut-on alors faire ?
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item 
\begin{itemize}
\item Le premier jour, le débit était de 15 litres/min, donc le temps nécessaire pour remplir un récipient de 100 litres était:
\[
\dfrac{100}{15}=\dfrac{20}{3}=6+\frac{2}{3}=6\text{ min }40\text{s}.
\]

\item Le deuxième jour, le temps était:
\[
\dfrac{100}{18}=\dfrac{50}{9}\text{ min}.
\]

\item Le troisième jour, le temps était:
\[
\frac{100}{20}=5\text{ min}.
\]

\item Le quatrième jour, le temps était:
\[
\frac{100}{16}=\dfrac{25}{4}.
\]
\end{itemize}

\item Le temps total est donc:
\[
T = 100\left(\frac{1}{15}+\frac{1}{18}+\frac{1}{20}+\frac{1}{16}\right)=\frac{845}{36}\text{ min}.
\]

\item La moyenne harmonique des débits est telle que:
\[
\frac{4}{\bar{h}} = \frac{1}{15}+\frac{1}{18}+\frac{1}{20}+\frac{1}{16}
\]
soit:
\[
\frac{4}{\bar{h}}=\frac{169}{720}.
\]
Donc:
\[
\bar{h}=4\times\frac{720}{169}=\dfrac{\numprint{2880}}{169}\text{ litres/min}.
\]

\item Si le robinet avait eu un débit constant de $\dfrac{\numprint{2880}}{169}\text{ litres/min}.$ tous les jours, le temps total de remplissage aurait été:
\[
T' = 4 \text{ jours } \times \dfrac{100}{\tfrac{2880}{169}}=\frac{845}{6}=T.
\]
On peut alors conclure que le débit moyen est bien la moyenne harmonique des débits.
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exocor}{}
Pierre décide de s'entraîner à vélo. Il effectue tous les jours le même trajet de 50 kilomètres.
\begin{itemize}
\item Le premier jour, sa vitesse est de 20 km/h;
\item le deuxième jour, sa vitesse est de 25 km/h;
\item le troisième jour, sa vitesse est de 27 km/h;
\item le quatrième jour, sa vitesse est de 28 km/h;
\item le cinquième jour, sa vitesse est de 30 km/h.
\end{itemize}

Quelle a été sa vitesse moyenne sur ces cinq jours ?

\tcblower

\begin{attention}
On est peut-être tenté d'utiliser la moyenne arithmétique mais il ne faut pas car les vitesses sont des grandeurs-quotients. On va donc utiliser la moyenne harmonique.
\end{attention}

La vitesse moyenne $\bar{v}$ sur ces cinq jours est telle que:
\[
\frac{5}{\bar{v}} = \frac{1}{20}+\frac{1}{25}+\frac{1}{27}+\frac{1}{28}+\frac{1}{30}
\]
soit:
\[
\frac{5}{\bar{v}}=\dfrac{\numprint{1853}}{\numprint{9450}}.
\]
Donc:
\[
\bar{v}=5\times\dfrac{\numprint{9450}}{\numprint{1853}}=\dfrac{\numprint{47250}}{\numprint{1853}}\approx25,5\text{ km/h}.
\]

\begin{rem}
La vitesse moyenne est la vitesse telle que, si Louis avait adopté cette vitesse tous les jours, le temps cumulé de ses entraînements aurait été le même que celui réellement obtenu.

On peut donc calculer le temps de chaque entraînement, puis ajouter tous les résultats et vérifier que l'on obtient le même temps que si la vitesse avait été constamment égale à 25,5 km/h.
\end{rem}
\end{exocor}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\begin{exocor}{}
Une entreprise décide d'augmenter ces tarifs:
\begin{itemize}
\item de \pourcent{3} la première année,
\item de \pourcent{4} la deuxième année,
\item de \pourcent{5} la troisième année,
\item de \pourcent{7} la quatrième année.
\end{itemize}

Quel est le pourcentage moyen d'augmentation au cours de ces quatre années ?

\tcblower

Faisons un graphique:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node (a) at (0,0) {Année 0};
\node (b) at (2,0) {Année 1};
\node (c) at (4,0) {Année 2};
\node (d) at (6,0) {Année 3};
\node (e) at (8,0) {Année 4};
\draw[->>=latex] (a.south) to[bend right=30] (b.south);
\draw[->>=latex] (b.south) to[bend right=30] (c.south);
\draw[->>=latex] (c.south) to[bend right=30] (d.south);
\draw[->>=latex] (d.south) to[bend right=30] (e.south);
\node at ($0.5*(a)+0.5*(b)+(0,-1)$) {$\times1,03$};
\node at ($0.5*(b)+0.5*(c)+(0,-1)$) {$\times1,04$};
\node at ($0.5*(c)+0.5*(d)+(0,-1)$) {$\times1,05$};
\node at ($0.5*(d)+0.5*(e)+(0,-1)$) {$\times1,07$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
Le coefficient multiplicateur global sur les quatre années est donc:
\[
CMG = 1,03 \times 1,04 \times 1,05 \times 1,07 = 1,2034932.
\]
Le coefficient multiplicateur moyen est la moyenne géométrique des coefficients multiplicateurs, soit:
\[
\sqrt[4]{1,2034932}\approx1,04739599805 \approx 1+\frac{4,74}{100}.
\]
Le pourcentage annuel moyen d'augmentation est donc environ \pourcent{4,74}.
\begin{rem}
On peut aussi résoudre l'équation suivante pour trouver ce pourcentage:
\[
\left(1+\frac{t}{100}\right)^4 = \left(1+\frac{3}{100}\right)\left(1+\frac{4}{100}\right)\left(1+\frac{5}{100}\right)\left(1+\frac{7}{100}\right).
\]
\end{rem}
\end{exocor}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exocor}{}
En 1990, la France comptait 58,24 millions d'habitants.

En 2000, la France comptait 60,91 millions d'habitants.

En 2020, elle en comptait 67,39 millions (source: INSEE).

Quel a été le pourcentage annuel moyen d'augmentation de la population française entre 1990 et 2000 ? 2000 et 2020 ?

\tcblower

\begin{itemize}
\item Le coefficient multiplicateur entre 58,24 et 60,91 est $\dfrac{60,91}{58,24}\approx1,04584478022$.

Il y a eu 10 années entre 1990 et 2000.
\[
\sqrt[10]{1,04584478022}\approx1,00449255751\approx1+\frac{0,46}{100}.
\]
Ainsi, le taux annuel moyen d'accroissement de la population française entre 1990 et 2000 a été d'environ \pourcent{0,46}.

\item Le coefficient multiplicateur entre 60,91 et 67,39 est $\dfrac{67,39}{60,91}\approx1,10638647184$.

Il y a eu 20 années entre 2000 et 2020.
\[
\sqrt[20]{1,10638647184}\approx1,00506776159\approx1+\frac{0,5}{100}.
\]
Ainsi, le taux annuel moyen d'accroissement de la population française entre 2000 et 2020 a été d'environ \pourcent{0,5}.
\end{itemize}
\end{exocor}


\subsection*{Moyenne géométrique}

%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exocor}{hauteur dans un triangle rectangle}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) node[left] {A} -- (5,0) node[right] {B} -- (1,2) node[midway,above right] {$c$} node[above] {C} -- (0,0) node[midway,left] {$b$};
\draw (1,2) -- (1,0) node[midway,right] {$h$} node[below] {H};
\node[below] at (.5,0) {$x$};
\node[below] at (3,0) {$y$};
\begin{scope}[shift={(1,2)},rotate=-26]
\draw (0,-.25) -- (.25,-.25) -- (.25,0);
\end{scope}
\end{tikzpicture}
\end{center}
Montrer que $h$ est la moyenne géométrique de $x$ et $y$.

\tcblower

Dans le triangle ACH rectangle en H:
\[
b^2=h^2+x^2.
\]
Dans le triangle BCH rectangle en H:
\[
c^2=h^2+y^2.
\]
Dans le triangle ABC rectangle en C:
\begin{align*}
(x+y)^2=b^2+c^2 & \iff x^2+y^2+2xy=h^2+x^2+h^2+y^2\\
& \iff xy = h^2\\
& \iff h = \sqrt{xy}.
\end{align*}
$h$ est donc bien la moyenne géométrique de $x$ et $y$.
\end{exocor}
\corriges
