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AVANT PROPOS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
AUTRES OUVRAGES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv
1 Généralités sur les fonctions  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

� 19 exercices entièrement corrigés

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Le programme de mathématiques de Seconde offre une certaine liberté aux enseignants quant à la façon dont ils abordent les notions. C’est la raison pour laquelle le plan de ce livre ne coïncidera pas nécessairement avec celui de votre professeur.

J’ai toutefois tenté de le structurer de la manière la plus pratique possible. Bien entendu, toute remarque constructive est bonne à prendre donc il ne faudra pas hésiter à laisser vos commentaires sur le site https://www.mathweb.fr, seul site sur lequel est vendu ce livre au prix de 10 .

Les exercices ne sont pas classés par niveau de difficultés. Chaque exercice a son importance : certains sont des applications directes du cours, d’autres sont des exercices de réflexion. Certains sont faciles, d’autres sont très compliqués (et destinés aux élèves qui veulent aller plus loin que le programme). Il y en aura donc pour tout le monde!

Protection du livre : ce livre est vendu uniquement sur le site mathweb.fr. Il ne peut en aucun cas être disponible ailleurs. Si vous avec acquis ce document ailleurs, merci de me le signaler via le formulaire de contact du site mathweb.fr.

Très bon travail!

Stéphane Pasquet.

Date d’édition : 22 avril 2025.

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Aussi disponibles sur https://mathweb.fr

1  Généralités sur les fonctions

Plan du chapitre

I  Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Définition mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
II Ensemble de définition et ensemble image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1 Ensemble de définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Ensemble image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
III Représentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1 Tableau de valeurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Courbe représentative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3 Ce que fait votre calculatrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
IV Variations d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1 Sens de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Tableau de variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3 Minimum et maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
V Fonctions paires, fonctions impaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1 Fonctions paires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Fonctions impaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Enoncés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Corrigés des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

I - Définition

I • 1 - Introduction

On considère le programme de calcul suivant :

• Choisir un nombre • l’élever au carré • soustraire 7

Si on note le nombre choisi au départ, ce programme donne à la fin le nombre ^{2} 7. Si on décide de noter ( ) le résultat (dépendant du nombre de départ ) alors :

( ) ^{2} 7

Si on avait noté le nombre de départ et ( ) le nombre final obtenu (dépendant de ), alors on aurait noté :

( ) ^{2} 7

Ce qui compte est l’expression qui permet d’obtenir le nombre final en fonction du nombre de départ.

On dit qu’à tout nombre réel , ce programme associe le nombre ^{2} 7, et on note :

2 7

Il y a donc deux notations pour désigner le fait qu’un nombre est transformé en un autre.

Cette transformation est appelée une fonction.

I • 2 - Définition mathématique

Définition 1 Soit un nombre réel. On appelle fonction toute opération sur qui le transforme en un autre nombre.

Si on note cette fonction alors le nombre final est noté ( ). est appelé un antécédent de ( ). ( ) est appelé l’image de par la fonction . On note alors :

: ( )

II - Ensemble de définition et ensemble image

II • 1 - Ensemble de définition

Définition 2 Soit une fonction. L’ensemble de définition de (aussi appelé domaine de définition) est l’ensemble de toutes les valeurs de pour lesquelles ( ) existe. On le note en général _{}.

Exemple 1 1 Si : ^{2} 7 alors _{}� car on peut calculer ^{2} 7 pour toutes les valeurs réelles

de .

2 Si : \frac{1}{1} alors _{}� 1 car on peut toujours calculer \frac{1}{1} sauf si 1 (car il est impossible de diviser par 0)

II • 2 - Ensemble image

Définition 3 Soit une fonction dont le domaine de définition est _{}. On appelle ensemble image de l’ensemble de toutes les valeurs que prend ( ) pour .

Exemple 2 Soit : ^{2} 7. On sait que pour tout réel, ^{2} ⩾ 0 donc ^{2} 7 ⩾ 7. De plus, pouvant prendre des valeurs de plus en plus grandes, ^{2} peut aussi prendre des valeurs de plus en plus grandes, donc il n’y a pas de limite supérieure à ^{2}, donc à ^{2} 7 (on dit que ^{2} 7 tend vers quand tend vers et quand tend vers . Ainsi, l’ensemble image de est [ 7; [ .

Remarque 1 Trouver l’ensemble image d’une fonction n’est pas immédiat. Il sera très souvent nécessaire d’étudier la fonction. C’est l’objet du reste de ce chapitre.

III - Représentation graphique

III • 1 - Tableau de valeurs

Définition 4 On considère une fonction définie sur un intervalle [ ; ] de �. On appelle tableau de valeurs de un tableau constitué de deux lignes :

• sur la 1^{re}, sont reportées plusieurs valeurs de comprises entre et ;

• sur la 2^{e}, sont reportées les images des valeurs de de la 1^{re} ligne.

Remarque 2 Le pas des valeurs de , c’est-à-dire la différence entre chaque valeur de , est arbitraire : c’est nous qui le choisissons selon le contexte dans lequel nous sommes.

Exemple 3 Soit : ^{2} 7. Un tableau de valeurs de sur [ 5;5] est :

\begin{matrix} & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ ( ) & 18 & 9 & 2 & 3 & 6 & 7 & 6 & 3 & 2 & 9 & 18 \end{matrix}

Ici, j’ai pris la décision (ça n’a pas été simple, mais j’y suis tout de même arrivé...) de prendre un pas égal à 1 pour les valeurs de , c’est-à-dire que je suis parti de la plus petite valeur de permise (donc 5 car la fonction est définie sur [ 5;5]) et j’ai avancé en ajoutant 1 à chaque fois, jusqu’à arriver à la plus grande valeur de permise, donc jusqu’à 5. Pour chaque valeur de , j’ai calculé ( ) (donc ( 5), ( 4), ( 3), ... jusqu’à (5)).

III • 2 - Courbe représentative

Définition 5 Soit une fonction définie sur son domaine de définition _{}. On appelle courbe représentative de dans un repère cartésien l’ensemble de tous les points de coordonnées ; ( ) , pour _{}.

Exemple 4 (courbe représentative)

On a représenté ci-contre la courbe représentative de la fonction : ^{2} 7. Pour tracer cette courbe, on s’aide du tableau de valeurs établi précédemment en mettant dans le repère les points de coordonnées ( 5;18), ( 4;9), ..., (5;18).

On les relie ensuite de sorte à ce que la courbe finale ne soit pas trop rectiligne.

Remarque 3 La définition de la courbe représentative d’une fonction est très importante. En effet, elle nous permet de savoir l’ordonnée d’un de ses points si on en connaît l’abscisse. Par exemple, sur la fonction : ^{2} 7, on sait que le point de la courbe représentative de d’abscisse 2 5 a pour ordonnée (2 5) 2 5^{2} 7 0 75.

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Attention 1 La courbe représentative d’une fonction ne « retourne pas en arrière »; autrement dit, pour un donné, il n’y a qu’un seul point sur la courbe dont l’abscisse vaut . Par exemple, le cercle suivant n’est pas la courbe représentative d’une fonction car pour l’abscisse indiquée, il y a deux points sur le cercle dont l’abscisse est :

\begin{matrix}�� \\ \end{matrix} ; \begin{matrix}�� \\ \end{matrix} ; O ;

III • 3 - Ce que fait votre calculatrice

Les captures d’écran ci-dessous sont issues du manuel d’utilisation de la CASIO GRAPH90+. Pour tracer une courbe sur une calculatrice,

1 il faut avant tout entrer l’expression de la fonction en accédant à un écran ressemblant à celui-ci :

2 il faut ensuite entrer les paramètres d’affichage en accédant à une fenêtre comme celle-ci :

Ici, Xmin représente la plus petite valeur de du domaine de définition sur lequel on souhaite tracer la courbe. Quant à Xmax, cela représente la plus grande valeur de . Ainsi, pour une fonction définie sur [ 5;5], on entrera Xmin=-5 et Xmax=5. Il va de soit que Ymin et Ymax jouent le même rôle, mais pour les valeurs des images. Sur l’exemple précédent, d’après le tableau de valeurs, on pourra prendre Ymin=-7 et Ymax=18.

Le paramètre scale représente l’échelle des graduations.

Sur la TI89, un paramètre xres est présent : pour un tracé très précis, ce paramètre doit valoir 1. Pour un tracé rapide mais moins précis, on peut entrer une valeur de 2 à 10 (si « 10 » est entré, cela sous-entend que la calculatrice prendra 1 pixel sur 10, calculera son image, et tracera une segment de cette image à la suivante).

Votre calculatrice peut aussi construire un tableau de valeurs. Par exemple, sur la CASIO GRAPH90+, après avoir entrée l’expression de la fonction, on devra définir les paramètres du tableau de valeurs :

Ici, le paramètre step informe le pas entre chaque valeurs de (sur cet exemple, step=1 stipule que les valeurs de vont être : 3, 2, 1, 0, 1, 2 et 3).

Voici ci-dessous un extrait du manuel d’utilisation de la CASIO GRAPH90+ permettant de voir

comment générer un tableau de valeurs pour trois fonctions ( 3 ^{2} 2,  4 et  ^{2}).

IV - Variations d’une fonction

IV • 1 - Sens de variation

Définition 6 Soit une fonction définie sur un intervalle de �. On considère deux nombres et quelconques dans tels que .

• On dit que est strictement croissante sur I si ( ) ( ).

• On dit que est strictement décroissante sur I si ( ) ( ).

• On dit que est constante sur I si ( ) ( ).

( )

( )

( ) ( ) est strictement croissante ( )

( )

( ) ( )

est strictement décroissante

Remarque 4 • Si est strictement croissante sur un intervalle alors les images sont rangées dans le

même ordre que les antécédents.

• Si est strictement décroissante sur un intervalle alors les images sont rangées dans l’ordre inverse des antécédents.

• Une fonction constante sur un intervalle sera représentée par une droite (ou segment si l’intervalle est fini) horizontal.e. :

\begin{matrix} \\ \\ ( ) ( ) \end{matrix}

IV • 2 - Tableau de variations

Définition 7 Soit une fonction définie sur un domaine de définition _{}. Le tableau de variations de sur _{}est un tableau comportant deux lignes :

• sur la 1^{re} sont reportées toutes les valeurs de importantes (bornes du domaine de définition, valeurs interdites de la fonction, valeurs de où la fonction change de sens de variation);

• sur la 2^{e} sont représentées les variations de (une flèche montante quand est croissante, une flèche descendante quand est décroissante), ainsi éventuellement que la donnée de certaines images.

Exemple 5 D’après la courbe représentative de la fonction : ^{2} 7 donnée dans l’exemple 4, ainsi que du tableau de valeurs de cette fonction, on peut dresser le tableau de variations suivant :

Variations ; de ( )

5 0 5 18 18 7 7 18

18

IV • 3 - Minimum et maximum

Définition 8 Soit une fonction définie sur un intervalle de �.

• On appelle minimum de sur la plus petite valeur atteinte par ( ) pour .

• On appelle maximum de sur la plus grande valeur atteinte par ( ) pour .

Exemple 6 D’après le tableau de variations précédent,

• le minimum de la fonction : ^{2} 7 sur [ 5;5] est 7;

• le maximum de la fonction : ^{2} 7 sur [ 5;5] est 18.

V - Fonctions paires, fonctions impaires

V • 1 - Fonctions paires

Définition 9 Soit une fonction définie sur _{}. On dit que est paire si :

• _{}_{};

• ( ) ( ).

Exemple 7 La fonction : ^{2} 7 est paire car son domaine de définition est � (donc pour tout �, �) et :

( ) ( )^{2} 7 ^{2} 7 ( )

Propriété 1 Si une fonction est paire alors, dans un repère orthogonal, sa courbe représentative est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. En effet, on a la situation suivante :

\begin{matrix}_{1} \\ _{1} \end{matrix} ; \begin{matrix}_{2} \\ _{2} \end{matrix} ; \begin{matrix}_{3} \\ _{3} \end{matrix}

est paire donc ( _{1}) ( _{1}), ( _{2}) ( _{2}), ( _{3}) ( _{3}), etc. Les points sont symétriques par rapport à l’axe des ordonnées

V • 2 - Fonctions impaires

Définition 10 Soit une fonction définie sur _{}. On dit que est impaire si :

• _{}_{};

• ( ) ( ).

Exemple 8 La fonction : ^{3} est impaire car son domaine de définition est � (donc pour tout �, �) et :

( ) ( )^{3} ( ) ^{3} ( ^{3} ) ( )

Propriété 2 Si une fonction est impaire alors, dans un repère orthogonal, sa courbe représentative est symétrique par rapport à l’origine.

\begin{matrix}_{1} \\ _{1} \end{matrix} ; \begin{matrix}_{2} \\ _{2} \end{matrix} ; \begin{matrix}_{3} \\ _{3} \end{matrix}

est impaire donc ( _{1}) ( _{1}), ( _{2}) ( _{2}), ( _{3}) ( _{3}), etc. Les points sont symétriques par rapport à l’origine du repère.

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Notion de fonctions

� Exercice 1.1 (fonction ou pas fonction ?) mathweb.fr Pour chaque courbe dessinée ci-dessous, dire si elle représente une fonction en justifiant.

\begin{matrix}1 & \begin{matrix}�� \\  \end{matrix} ; \begin{matrix}�� \\  \end{matrix} ; O \\ 2 & \begin{matrix}�� \\  \end{matrix} ; \begin{matrix}�� \\  \end{matrix} ; O \\ 3 & \begin{matrix}�� \\  \end{matrix} ; \begin{matrix}�� \\  \end{matrix} ; O \end{matrix}  \begin{matrix}4 & \begin{matrix}�� \\  \end{matrix} ; \begin{matrix}�� \\  \end{matrix} ; O \\ 5 & \begin{matrix}�� \\  \end{matrix} ; \begin{matrix}�� \\  \end{matrix} ; O \\ 6 & \begin{matrix}�� \\  \end{matrix} ; \begin{matrix}�� \\  \end{matrix} ; O \end{matrix}

Solution page 21

� Exercice 1.2 (associer une fonction à une notion) mathweb.fr Dans chacune des situations suivantes, donner l’expression de la fonction associée.

1 Soit ABCD un carré de côté . est la fonction qui à associe le périmètre de ABCD. 2 Soit ABCD un carré de côté . est la fonction qui à associe l’aire de ABCD. 3 Soit ABC un triangle rectangle en A tel que 10 et . est la fonction qui à

associe d’aire de ABC. 4 Soit ABC un triangle rectangle en A tel que 10 et . est la fonction qui à

associe la longueur BC.

Solution page 21 {� \atop �} Exercice 1.3 (établir une expression d’une fonction)

mathweb.fr Pour chacune des questions suivantes, exprimer ( ) sous sa forme la plus simple, puis donner son domaine de définition.

1 Un complexe sportif est composé de plusieurs activités. Pour pouvoir y avoir accès, on doit payer un droit d’entrée de 5 puis payer 2 par heure. ( ) représente le prix à payer pour heures.

2 ( ) représente l’aire hachurée dans le carré ABCD suivant :

A B C D ; M N O ; 3 ; ; ;

3 ( ) représente l’aire du triangle ABC inscrit dans le cercle de diamètre [AB] :

A B 5 C ;

4 On choisit un nombre . ( ) représente alors la différence entre le carré de son pré-

cédent et celui de son suivant. 5 ( ) représente l’aire du domaine blanc de la figure suivante, où O est le centre du

cercle de rayon 3 et A le centre du cercle de rayon :

O 3 ; \begin{matrix}A \\ \end{matrix}

Solution page 22 � � � Exercice 1.4 (fonction impaire)

mathweb.fr Soit une fonction impaire telle que (0) existe. Montrer que (0) 0.

Solution page 23

Domaine de définition et tableau de valeurs

� Exercice 1.5 (domaine de définition) mathweb.fr Pour chacune des fonctions suivantes, trouver leur domaine de définition.

1 _{1} :  \frac{1}{8} ; 2 _{2} :  \frac{1}{^{2} 4} ; 3 _{3} :  \overline{7}  4 _{4} :  \overline{^{2} 1} ; 5 _{5} :  ^{2} 5 1 ; 6 _{6} :  \overline{\frac{8}{1}}

Solution page 23

� Exercice 1.6 (loi d’Ohm) mathweb.fr En sciences physiques, la loi d’Ohm dit que la tension (en volts) entre les bornes d’un résistor de résistance est égale au produit de l’intensité du courant électrique (en ampères) et de la valeur de : .

1 Si l’intensité reste constamment égale à 5 ampères, quelle est la fonction ( ) donnant

la tension en fonction de la résistance? 2 Construire un tableau de valeurs de la fonction sur [1;10]avec un pas de 1. 3 Construire la courbe représentative de dans un repère orthonormé.

Solution page 24

� Exercice 1.7 (tableau de valeurs à la calculatrice) mathweb.fr À l’aide de votre calculatrice, compléter le tableau de valeurs donné pour chaque fonction.

1 ( ) ^{2} 3 6.

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5

( )

2 ( ) \frac{1}{3} .

1 0 1 2 2,25 2,5 2,75 3,25 3,5 3,75 4 5 6

( )

3 ( ) \overline{4 ^{2}} .

2 1 5 1 0 5 0 0,5 1 1,5 2

( )

Solution page 25 � Exercice 1.8 (appartenance de points à une courbe) mathweb.fr Soit une fonction et soit _{}sa courbe représentative dans un repère. Pour chacune des fonctions suivantes, dire si le point A (dont les coordonnées sont données à chaque fois) appartient ou non à _{}.

1 ( ) 5 2, A( 1;7).

2 ( ) ^{2} 1, A( 2;3).

3 ( ) \frac{1}{^{2} 1} , A(2;0 25).

4 ( ) \overline{^{2} 1} , A \overline{2}; \overline{3} .

Solution page 25

{� \atop �} Exercice 1.9 (images et antécédents)

mathweb.fr 1 Soit ( ) 3 2.

a. Donner l’image des nombres 1, 0 et \overline{2}par la fonction . b. 1 est-il un antécédent de 1 par la fonction ? c. Trouver tous les antécédents de 3 par la fonction .

2 Soit ( ) ^{2} 5 2.

a. Donner l’image des nombres 1, 1 et \overline{2}par la fonction . b. 2 est-il un antécédent de 1 par la fonction ? c. Donner tous les antécédents de 2 par la fonction .

Solution page 26

{� \atop �} Exercice 1.10 mathweb.fr Soit la fonction définie par :

( ) \frac{3 2}{4}

On appelle sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1 Quel est l’ensemble de définition de ? Justifier votre réponse.

2 Calculer l’image de 2 par , puis l’image de 1 par .

3 Les points suivants sont-ils situés sur ? Justifier votre réponse.

0; \frac{1}{2}  ;  (15;4 27) ;  \frac{1}{3}; \frac{9}{11}

Solution page 27

Tableau de variations

� Exercice 1.11 (tableau de variations avec valeur interdite) mathweb.fr On considère la fonction définie sur � par :

( ) \frac{1}{1}

dont la courbe représentative dans un repère orthonormé (dessinée à l’aide d’un logiciel de tracé de courbes) est donnée ci-dessous.

Construire le tableau de variations de sur �.

O 1 1 Solution page 27

� Exercice 1.12 (lecture d’un tableau de variations) mathweb.fr On considère la fonction définie sur [ 6;5] dont le tableau de variations est le suivant :

\begin{aligned}& \\ & ( ) \\ 6 \\ 3 \\ 0 \\ 1 \\ 5 \\ 2 \\ 2 \\ 5 \\ 5 \\ 3 \\ 3 \\ 0 \\ 0 \\ 4 \\ 4 \end{aligned}

1 Quel est le maximum de la fonction sur [ 6;5]?

2 Quel est le minimum de la fonction sur [ 6;5]?

3 Comparer ( 5) et ( 4). Justifier.

4 Peut-on comparer ( 5) et (3)? Justifier.

5 Peut-on comparer ( 1) et (4)? Justifier. Solution page 28 � Exercice 1.13 (lecture d’un tableau de variations) mathweb.fr Le tableau de variations d’une fonction est donnée ci-dessous.

\begin{aligned}& \\ & ( ) \\ 5 \\ 2 \\ 0 \\ 3 \\ 5 \\ 4 \\ 4 \\ 5 \\ 5 \\ 6 \\ 6 \\ 0 \\ 0 \\ 4 \\ 4 \end{aligned}

1 Déterminer le maximum et le minimum de ainsi que les valeurs pour lesquelles ils

sont atteints. 2 Quel est le nombre de solutions de l’équation ( ) 4. Justifier votre réponse. 3 Compléter par , , ou ? si on ne peut pas savoir en justifiant votre réponse :

(1) (2) ;  ( 1) ( 2) ;  ( 1) (4) ;  (4) ( 3)

Solution page 28

� Exercice 1.14 (tableau de variations) mathweb.fr On considère la fonction définie sur [ 6;3] par :

( ) \overline{\frac{1}{3} ^{3} 2 ^{2} 1}

dont la courbe représentative dans un repère orthonormé est donnée page suivante.

O 1 1

Construire le tableau de variations de sur [ 6;3] en précisant les valeurs des extrema locaux (maximum et minimum dans cet intervalle).

Solution page 29

Résolution graphique d’équations et d’inéquations

� Exercice 1.15 mathweb.fr On considère la fonction définie sur [ 2;2] représentée par la courbe ci-dessous :

-2 -1 1 2 -2 -1 1 2 3 O À l’aide du graphique, répondre aux questions suivantes.

1 Résoudre l’équation : ( ) 1 sur [ 2;2]. 2 Résoudre l’inéquation : ( ) ⩾ 1 sur [ 2;2]. 3 Résoudre l’inéquation : ( ) 2 sur [ 2;2].

Solution page 29

� Exercice 1.16 mathweb.fr On considère la fonction définie sur [ 3;3] représentée par la courbe ci-dessous :

À l’aide du graphique, répondre aux questions suivantes.

1 Résoudre l’équation : ( ) 0 sur [ 3;3].

2 Résoudre l’inéquation : ( ) ⩽ 3 sur [ 3;3].

3 Résoudre l’inéquation : ( ) 0 sur [ 3;3].

-2 -1 1 2 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 O

Solution page 30 {� \atop �} Exercice 1.17 mathweb.fr On considère deux fonctions et définies sur [ 5;5] dont les courbes représentatives sont dessinées ci-dessous :

\begin{matrix}-4 \\ -4 \\ -3 \\ -3 \\ -2 \\ -2 \\ -1 \\ -1 \\ 1 \\ 1 \\ 2 \\ 2 \\ 3 \\ 3 \\ 4 \\ 4 \\ _{} \\ _{} \\ O \end{matrix}

À l’aide du graphique, répondre aux questions suivantes.

1 Résoudre l’équation : ( ) ( ) sur [ 5;5]. 2 Résoudre l’inéquation : ( ) ⩽ ( ) sur [ 5;5]. 3 Combien l’équation ( ) 3 possède-t-elle de solution(s)? 4 Dresser le tableau de variation de la fonction sur [ 5;5]. 5 Dresser un tableau de signes de la fonction sur [ 5;5].

Solution page 31 {� \atop �} Exercice 1.18 (Python)

mathweb.fr Soit la fonction définie par ( ) \frac{1}{5} ^{3} 3 ^{2} \frac{12}{5} 1 sur �. Sa courbe représentative sur [ 3;15] est donnée ci-dessous :

\begin{matrix}3 \\ 2 \\ 1 \\ 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \\ 5 \\ 6 \\ 7 \\ 8 \\ 9 \\ 10 \\ 11 \\ 12 \\ 13 \\ 14 \\ 15 \end{matrix}

Compléter le programme suivant, écrit en Python, afin qu’il calcule l’image de toutes les valeurs de pour [0;1]avec un pas de 0,01 et d’afficher le maximum de sur cet intervalle ainsi que l’abscisse de ce maximum.

                                                   Code Python 1-1

1 M = 0
2 xmax = 0
3 x = 0
4 while x <= ...:
5  if 0.2*x*x*x-3*x*x+2.4*x+1 > ...:
6  M = 0.2*x*x*x-3*x*x+2.4*x+1
7  xmax = ...
8  x = x + 0.01
9 print(xmax,M)

Solution page 33 � � � Exercice 1.19 mathweb.fr On donne la représentation graphique d’une fonction sur [ 1;3] :

O 1 1

1 Par lectures graphiques, donner : a. l’image de 1 par la fonction ; b. un antécédent entier de 2 par la fonction ; c. le nombre de solutions à l’équation ( ) 0

2 On donne : ( ) ^{3} 3 ^{2} 2.

a. Montrer que ( ) ( 2) \frac{1 \overline{5}}{2} \frac{1 \overline{5}}{2}

b. En déduire les valeurs exactes des solutions de l’équation ( ) 0. c. Dresser alors le tableau de signes de sur [ 1;3].

Solution page 33

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mathweb.fr Corrigé de l’exercice 1.1 page 11

1 La courbe représente bien une fonction malgré la singularité au point d’abscisse 1 (regardez bien ce qui se passe au point de coordonnées ( 1;1) : la courbe se « brise » mais ce n’est pas vraiment grave...). En effet, chaque valeur de dans [ 5;5] n’admet qu’une image ( ) : si on prend une valeur de quelconque dans [ 5;5], on ne peut trouver qu’un seul point de la courbe qui a pour abscisse .

2 La courbe ne représente pas une fonction car il existe au moins un pour lequel deux images par existent. Par exemple, pour 1, les points de coordonnées (1;0 5)et (1; 4) sont sur cette courbe.

3 Cette courbe ne représente pas une fonction car on voit qu’il existe plusieurs points de cette courbe dont l’abscisse vaut 2.

4 La courbe représente bien une fonction car sur [ 5;5], chaque valeur de admet une unique image.

5 Cette courbe représente bien une fonction malgré le fait qu’elle possède un « trou » sur [1;2]. En effet, chaque valeur de dans [ 5;1] possède une unique image et il en est de même pour chaque valeur de dans [2;5].

6 Cette courbe n’est pas représentative d’une fonction car il existe au moins une valeur de qui possède deux images. Par exemple, pour 0, il y a deux images : 3 et 1 5.

mathweb.fr Corrigé de l’exercice 1.2 page 11

1 Le périmètre d’un carré de côté est égal à 4 . Donc :

:  4  ou  ( ) 4

2 L’aire d’un carré de côté est égale à ^{2}. Donc :

:  ^{2} ou  ( ) ^{2}

3 L’aire de ABC est égale à \frac{}{2} car il est rectangle en A.

\frac{}{2} \frac{10}{2} 5

Donc :

:  5  ou  ( ) 5

4 D’après le théorème de Pythagore,

\overline{^{2}  ^{2}}  \overline{10^{2} ^{2}}  \overline{100 ^{2}}

Donc :

:  \overline{100 ^{2}}  ou  ( ) \overline{100 ^{2}}

mathweb.fr Corrigé de l’exercice 1.3 page 12

1 ( ) 5 2 . Son domaine de définition est [0; [ car ne peut pas être négatif (vu

que représente un nombre d’heures). 2 • L’aire du carré ABCD est : 9.

• L’aire des triangles MBO et NCO est : \frac{(3 )}{2} .

• L’aire du trapèze AMND est la somme des aires des figures violette et verte :

3 \frac{3(3 2 )}{2} \frac{6 9 6}{2} \frac{9}{2}

(soit la moitié de l’aire du carré ABCD... coïncidence? Je ne crois pas...)

A B C D ; M N O ; 3 ; ; ;

L’aire du triangle MON est donc :

( ) 9 \frac{9}{2} 2 \frac{(3 )}{2} \frac{9}{2} (3 ) ^{2} 3 \frac{9}{2}

Son domaine de définition est [0;3]car ne peut pas être négatif ni plus grand que la mesure d’un côté de ABCD.

3 Le triangle ABC est rectangle en C donc :

cos \frac{}{5} ; sin \frac{}{5}

donc 5cos et 5sin .

L’aire de ABC est donc ( ) \frac{}{2} \frac{25}{2}sin cos .

étant un angle aigu, le domaine de définition de est [0;90[, si est exprimé en degrés.

4 Le carré du précédent de est ( 1)^{2}.

Le carré du suivant de est ( 1)^{2}. Ainsi, ( ) ( 1)^{2} ( 1)^{2} 4 . C’est une fonction linéaire dont le domaine de définition est �.

5 L’aire du disque de rayon 3 est : 9 (formule : ^{2}).

L’aire du disque de rayon est : ^{2}. L’aire du « petit disque » est : (3 )^{2} . mathweb.fr Ainsi, l’aire blanche est :

9  ^{2} (3 )^{2}  9 ^{2} (9 6 ^{2})
(6 2 ^{2})

( ) 2 (3 )

Le domaine de définition de est [0;3].

mathweb.fr Corrigé de l’exercice 1.4 page 13

est impaire donc pour tout de son domaine de définition, ( ) ( ).

(0) existe donc, en remplaçant par 0 dans l’égalité ( ) ( ), on a les équivalences page suivante.

( 0) (0)  (0) (0)

(0) (0) 0 2 (0) 0

\frac{2 (0)}{2} \frac{0}{2}

\underline{(0) 0}

mathweb.fr Corrigé de l’exercice 1.5 page 13

1 _{1} : \frac{1}{8} est définie pour toutes les valeurs de sauf quand 8 0 car le dénominateur d’une fraction ne peut pas être égal à 0. Or 8 0 0; donc il faut enlever « 8 » à l’ensemble des nombre réels pour que _{1}( ) existe. \underline{Donc _{_{1}} � 8 .}

2 _{2} : \frac{1}{^{2} 4} est définie pour toutes les valeurs de sauf pour les valeurs telles que 2 4 0. Or, ^{2} 4 0 ( 2)( 2) 0 2 ou 2. On doit donc enlever à � les valeurs 2 et 2.

\underline{Donc _{_{2}} � 2 ;2 .}

3 _{3} : \overline{7} est définie uniquement si 7 ⩾ 0, donc si ⩾ 7.

\underline{Ainsi, _{_{3}} [7; [ .}

4 _{4} : \overline{^{2} 1} est définie uniquement si ^{2} 1 ⩾ 0. Or, pour toutes les valeurs de réelles, ^{2} ⩾ 0 donc ^{2} 1 ⩾ 1. Donc _{4}( ) existe toujours, quelle que soit la valeur de .

\underline{Donc _{_{4}} �.} mathweb.fr 5 _{5} : ^{2} 5 1 est définie pour toutes les valeurs que peut prendre car on peut

toujours calculer ^{2} 5 1.

\underline{Donc _{_{5}} �.}

6 _{6} : \overline{\frac{8}{1}} est définies uniquement si \frac{8}{1} ⩾ 0 et si 1 0, c’est-à-dire si 1 0, soit 1. \underline{Donc _{_{6}} ] ;1[ .}

mathweb.fr Corrigé de l’exercice 1.6 page 13

1 ( ) 5 d’après la loi d’Ohm. 2 Tableau de valeurs de la fonction sur [1;10]avec un pas de 1 :

\begin{matrix} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ ( ) & 5 & 10 & 15 & 20 & 25 & 30 & 35 & 40 & 45 & 50 \end{matrix}

Remarque 10

C’est un tableau de proportionnalité de coefficient de proportionnalité égale à 5.

3 Courbe représentative de dans un repère orthonormé :

R U 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

Remarque 11 On reconnaît ici la représentation d’une fonction linéaire : c’est une droite qui passe par l’origine du repère. mathweb.fr Corrigé de l’exercice 1.7 page 13

Sur CASIO, appuyer sur la touche [MENU], puis appuyer sur la touche [7] (ou sélectionner [TABLE]). Ensuite, entrer l’expression de chaque fonction en Y1, Y2 et Y3. Noter que la touche [X, , , ] est à utiliser pour la variable X. Valider en appuyant sur la touche [EXE]. Pour construire le tableau de valeurs d’une fonction, positionnez-vous sur la ligne correspondant à la fonction souhaitée, puis appuyer sur la touche [F5] (SET) pour paramétrer la valeur initiale et la valeur finale de , en précisant le pas (Step).

Sur TI, appuyer sur la touche [ ( )] pour rentrer l’expression des fonctions en Y1, Y2 et Y3. Noter que la touche [X, , , ] est à utiliser pour la variable X. Valider en appuyant sur la touche [ENTRER]. Pour paramétrer le tableau de valeurs, appuyer sur [2nd]+[F4] (afin de sélectionner "TblSet").

1 Ici, pour la CASIO, on entrera : • Start : 5

• End : 5

• Step : 1 Pour la T.I., on entrera :

• TblStart : 5

• tbl : 1

On obtient :

\begin{matrix} & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ ( ) & 46 & 34 & 24 & 16 & 10 & 6 & 4 & 4 & 6 & 10 & 16 \end{matrix}

2 Ici, pour la CASIO, on entrera : • Start : 1

• End : 6

• Step : 0.25 Pour la T.I., on entrera :

• TblStart : 1

• tbl : 0.25

On obtient :

\begin{matrix} & 1 & 0 & 1 & 2 & 2,25 & 2,5 & 2,75 & 3,25 & 3,5 & 3,75 & 4 & 5 & 6 \\ ( ) & 0 25 & 0 333 & 0 5 & 1 & 1 333 & 2 & 4 & 4 & 2 & 1,333 & 1 & 0,5 & 0,333 \end{matrix}

3 Ici, pour la CASIO, on entrera : • Start : 2

• End : 2

• Step : 0.5 Pour la T.I., on entrera :

• TblStart : 2

• tbl : 0.5

On obtient :

\begin{matrix} & 2 & 1 5 & 1 & 0 5 & 0 & 0,5 & 1 & 1,5 & 2 \\ ( ) & 0 & 1,323 & 1,732 & 1,936 & 2 & 1,936 & 1,732 & 1,323 & 0 \end{matrix}

mathweb.fr Corrigé de l’exercice 1.8 page 14 mathweb.fr Remarque 12 Pour voir si un point appartient à la courbe représentative d’une fonction , on doit vérifier si son ordonnée est égale à l’image de son abscisse par la fonction ; autrement dit,

; _{}( )

1 ( ) 5 2, A( 1;7).

( 1) 5 ( 1) 2 5 2 7 _{}. Donc \underline{A _{}.} 2 ( ) ^{2} 1, A( 2;3).

( 2) ( 2)^{2} ( 2) 1 4 2 1 2 1 3 _{}donc \underline{A _{}.}

3 ( ) \frac{1}{^{2} 1} , A(2;0 25).

(2) \frac{1}{2^{2} 1} \frac{1}{4 1} \frac{1}{5} 0 2 _{}. Donc \underline{A _{}.}

4 ( ) \overline{^{2} 1} , A \overline{2}; \overline{3} .

\overline{2} \overline{\overline{2}^{2} 1} \overline{2 1} \overline{3} _{}donc \underline{A _{}.}

mathweb.fr Corrigé de l’exercice 1.9 page 14

1 Soit ( ) 3 2.

a. Donner l’image des nombres 1, 0 et \overline{2}par la fonction .

( 1) 3 ( 1) 2 5 ; (0) 3 0 2 2 ; \underline{\overline{2} 3 \overline{2} 2}

b. 1 est-il un antécédent de 1 par la fonction ? ( 1) 3 ( 1) 2 3 2 5 1. 1 n’est donc pas un antécédent de 1 par la fonction . c. Trouver tous les antécédents de 3 par la fonction .

Rechercher les antécédents de 3 par revient à trouver toutes les valeurs de telles que ( ) 3. Il faut donc résoudre cette équation.

( ) 3 3 2 3

3 5

\frac{5}{3}

Ainsi, le seul antécédent de 3 par est \frac{5}{3}.

2 ( ) ^{2} 5 2.

a. Donner l’image des nombres 1, 1 et \overline{2}par la fonction . ( 1) ( 1)^{2} 5( 1) 2 8 ; (1) 1^{2} 5 1 2 2 ;

\overline{2} \overline{2}^{2} 5 \overline{2} 2 \underline{4 5 \overline{2}}

mathweb.fr b. 2 est-il un antécédent de 1 par la fonction ?

( 2) ( 2)^{2} 5( 2) 2 4 10 2 16 1. 2 n’est donc pas un antécédent de 1 par .

c. Donner tous les antécédents de 2 par la fonction .

( ) 2 ^{2} 5 2 2

2 5 0 ( 5) 0 0 ou 5

Les antécédents de 2 par sont donc 0 et 5.

mathweb.fr Corrigé de l’exercice 1.10 page 14

1 Le nombre ( ) est défini quand son dénominateur n’est pas égal à zéro. Or, 4 0 4. Donc la fonction admet une valeur interdite : 4. Par conséquent, le domaine de définition de est : � 4 .

2 L’image de 2 par la fonction est :

(2) \frac{3 2 2}{2 4} \frac{8}{2} 4

L’image de 1 par la fonction est :

( 1) \frac{3( 1) 2}{1 4} \frac{1}{5} \frac{1}{5}

3 Un point de coordonnées ; appartient à quand ( ).

• (0) \frac{3 0 2}{0 4} \frac{2}{4} \frac{1}{2}, donc 0; \frac{1}{2} .

• (15) \frac{3 15 2}{15 4} \frac{47}{11} 4 272727 4 27, donc (15;4 27) .

�

Attention 3 Il faut que l’ordonnée du point soit exactement égale à l’image de son abscisse pour que le point appartienne à la courbe. Ici, l’image de 15 n’est pas exactement égale à 4,27, donc le point ne sera pas exactement sur la courbe, mais « juste à côté ».

• \frac{1}{3} \frac{3 \frac{1}{3} 2}{\frac{1}{3} 4} \frac{3}{\frac{11}{3}} \frac{9}{11}, donc \frac{1}{3}; \frac{9}{11} .

mathweb.fr Corrigé de l’exercice 1.11 page 15 Avant de construire le tableau de variations de , remarquons qu’il a été tracée une droite verticale en 1. Cette droite ne fait pas partie de la courbe mais a été tracée par le logiciel automatiquement pour signifier qu’en 1, il y a une valeur interdite. En effet, l’expression mathweb.fr de la fonction montre que l’on divise par 1 et que ce n’est pas possible de le faire quand 1 0, soit quand 1.

De plus, il semblerait que la courbe se rapproche de l’axe des abscisses aux infinis, donc que ( ) se rapproche de 0 aux infinis. Le tableau de variations de est donc le suivant :

\begin{aligned}& \\ & ( ) \\ \\ 1 \\ \\ 0 \\ 0 \\ \\ \\ 0 \\ 0 \end{aligned}

mathweb.fr Corrigé de l’exercice 1.12 page 15

1 Le maximum de la fonction sur [ 6;5] est 5; il est atteint pour 3. 2 Le minimum de la fonction sur [ 6;5] est 4; il est atteint pour 5. 3 6 5 4 3. De plus, sur [ 6; 3] , est strictement croissante donc

( 6) ( 5) ( 4) ( 3) (les images sont rangées dans le même ordre que les antécédents quand la fonction est strictement croissante). \underline{Ainsi, ( 5) ( 4).}

4 6 5 3 et est strictement croissante sur [ 6; 3] donc ( 6) ( 5) ( 3), soit 2 ( 5) 5. De plus, 1 3 5 et est strictement décroissante sur [1;5]donc (1) (3) (5), soit 0 (3) 4, que l’on peut aussi écrire : (3) 0. Donc (3) est négatif et ( 5) est positif. \underline{Ainsi, ( 5) (3).}

5 De la même manière, 3 ( 1) 5 et 4 (4) 0. On ne peut donc pas comparer ( 1) et (4) car les intervalles sur lesquels ils sont (à savoir ] 3;5[ et ] 4;0[) ne sont pas disjoints, c’est-à-dire que leur réunion n’est pas vide.

mathweb.fr Corrigé de l’exercice 1.13 page 16

1 • Le maximum de est 6; il est atteint pour 0.

• Le minimum de est 5; il est atteint pour 2. 2 L’équation ( ) 4 admet exactement 3 solutions. En effet,

• Sur [ 5; 2] , ( ) passe de 4 à 5, donc ne passe pas par 4;

• sur [ 2;0], ( ) passe de 5 à 6, donc passe par 4 une fois;

• sur [0;3], ( ) passe de 6 à 0, donc passe par 4 une fois;

• sur [3;5], ( ) passe de 0 à 4, donc passe par 4 une fois (à la fin). 3 • Sur [0;3], est strictement décroissante, donc :

1 2 (1) (2) mathweb.fr • Sur [ 2;0], est strictement croissante, donc :

1 2 ( 1) ( 2)

• Sur [ 1;4], n’est pas monotone et les valeurs de (0) et (3) ne peuvent pas nous permettre d’ordonner ( 1) et (4) donc :

( 1) ? (4)

• Sur [ 3;4], n’est pas monotone mais, d’après les valeurs des images mises dans le tableau de variations, ( 3) 0 et (4) 0. Donc :

(4) ( 3)

mathweb.fr Corrigé de l’exercice 1.14 page 16 Avant de construire le tableau de variations de , calculons la valeur du minimum et du maximum :

• il y a un maximum pour 4, et :

( 4) \overline{\frac{1}{3} ( 4)^{3} 2 ( 4)^{2} 1}  \overline{\frac{64}{3} 32 1}  \overline{\frac{35}{3}}

• il y a un minimum pour 0 et (0) 1.

• ( 6) 1.

• (3) 2 \overline{7}.

Le tableau de variations de est donc le suivant :

( ) 6 4 0 3 1 1 \overline{\frac{35}{3}} \overline{\frac{35}{3}} 1 1 2 \overline{7} 2 \overline{7}

mathweb.fr Corrigé de l’exercice 1.15 page 17

1 La droite horizontale passant par 1 coupe la courbe en 3 points d’abscisses respectives 1, 0 et 1. Ainsi, l’équation ( ) 1 admet pour ensemble solution :

1 ;0 ;1

2 Les parties de la courbe se trouvant au-dessus de la droite horizontale passant par 1 (ou sur cette droite) se trouvent respectivement sur [ 2; 1] , [1;2]et au point d’abscisse 0. L’inéquation ( ) ⩾ 1 admet donc pour ensemble solution :

[ 2; 1] 0 [1;2] mathweb.fr 3 La courbe n’est jamais sous de la droite horizontale passant par 2 donc l’inéqua-

tion ( ) 2 admet pour ensemble solution :

∅ (ensemble vide)

mathweb.fr Corrigé de l’exercice 1.16 page 17

1 La courbe semble couper l’axe des abscisses en 1 5 \frac{3}{2}. Ainsi, ( ) 0 admet pour ensemble solution :

\frac{3}{2}

. 2 Les solutions de l’inéquation ( ) ⩽ 3 sont les valeurs de pour lesquelles les points

de la courbe d’abscisse sont sous la droite horizontale passant par 3, donc sur les parties en rouge page suivante.

-2 -1 1 2 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 O

Ces parties sont sur les intervalles [ 3; 2] et [0;1]donc l’ensemble solution de l’inéquation ( ) ⩽ 3 est :

[ 3; 2] [0;1] mathweb.fr 3 Les solutions de l’inéquation ( ) 0 sont les valeurs de pour lesquelles les points

de la courbe d’abscisse sont au-dessus de l’axe des abscisses, donc sur la branche rouge ci-dessous :

-2 -1 1 2 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 O

Donc l’ensemble solution de l’inéquation ( ) 0 sur [ 3;3] est :

\frac{3}{2};3

mathweb.fr Corrigé de l’exercice 1.17 page 18

1 Les solutions de l’équation ( ) ( ) sont les abscisses des points d’intersection de et _{}. Il y a deux points d’intersection (en rouge page suivante).

\begin{matrix}-4 \\ -4 \\ -3 \\ -3 \\ -2 \\ -2 \\ -1 \\ -1 \\ 1 \\ 1 \\ 2 \\ 2 \\ 3 \\ 3 \\ 4 \\ 4 \\ _{} \\ _{} \\ O \end{matrix}

Les solutions à l’équation ( ) ( ) sont donc 0 et 3 5.

2 Repassons en rouge la partie de la courbe _{}sous _{}: mathweb.fr

\begin{matrix}-4 \\ -4 \\ -3 \\ -3 \\ -2 \\ -2 \\ -1 \\ -1 \\ 1 \\ 1 \\ 2 \\ 2 \\ 3 \\ 3 \\ 4 \\ 4 \\ _{} \\ _{} \\ O \end{matrix}

La partie repassée en rouge correspond aux images des compris entre 0 à 3,5. Donc, l’inéquation a pour solution l’intervalle [0;3 5].

3 Pour savoir combien l’équation ( ) 3 admet de solution(s), on regarde combien il y a de points d’intersection entre la droite d’équation 3 et _{}:

\begin{matrix}-4 \\ -4 \\ -3 \\ -3 \\ -2 \\ -2 \\ -1 \\ -1 \\ 1 \\ 1 \\ 2 \\ 2 \\ 3 \\ 3 \\ 4 \\ 4 \\ _{} \\ _{} \\ O \end{matrix}

Il n’y a qu’un seul point d’intersection donc \underline{il n’y a qu’une solution à l’équation ( ) 3.}

4 Le tableau de variations de la fonction est :

\begin{matrix} \\ ( ) \\ 5 \\ 0 5 \\ 3 1 \\ 5 \\ 3 2 \\ 3 2 \\ 2 2 \\ 2 2 \\ 4 2 \\ 4 2 \end{matrix}

5 Le tableau de signes de la fonction est :

\begin{matrix} \\ ( ) \\ 5 \\ 1 9 \\ 1,5 \\ 4,4 \\ 5 \\ \\ 0 \\ \\ 0 \\ \\ 0 \\ \end{matrix}

Remarque 13 Les valeurs mises pour les deux dernières réponses sont approximatives. mathweb.fr Corrigé de l’exercice 1.18 page 19 Le programme Python complété est le suivant.

                                                   Code Python 1-3

1 M, xmax, x = 0,0,0
2 while x <= 1:
3  if 0.2*x*x*x-3*x*x+2.4*x+1 > M:
4  M = 0.2*x*x*x-3*x*x+2.4*x+1
5  xmax = x
6  x = x + 0.01
7 print(xmax,M)

Explications :

• while x <= 1 : les instructions dans la boucle « while » sont exécutées tant que la valeur de x est inférieure ou égale à 1. En effet, on veut les images des qui sont dans [0;1].

• if 0.2*x*x*x-3*x*x+2.4*x+1 > M : si ( ) c’est que n’est pas le maximum de la fonction , donc il faut remplacer la valeur mise dans M par ( ) : M = 0.2*x*x*x-3*x*x+2.4*x+1. Dans ce cas, xmax représente la valeur de pour laquelle on atteint ce maximum, donc la valeur du x sur laquelle on est actuellement dans la boucle « while ».

Le programme affiche alors xmax=0,42 et M=1,4936176.

Remarque 14 Si vous suivez l’enseignement de spécialité en 1^{re}, vous saurez démontrer qu’en fait, l’abscisse du maximum est 5 \overline{21} 0 4174.

mathweb.fr Corrigé de l’exercice 1.19 page 20

1 Par lectures graphiques, a. l’image de 1 par la fonction est 3; b. un antécédent entier de 2 par la fonction est 0 car (0) 2; c. le nombre de solutions à l’équation ( ) 0 est 3 car la courbe coupe trois fois

l’axe des abscisses. mathweb.fr 2 a. Développons :

( 2) \frac{1 \overline{5}}{2} \frac{1 \overline{5}}{2}

( 2) ^{2} \frac{1 \overline{5}}{2} \frac{1 \overline{5}}{2} \frac{1 \overline{5}}{2} \frac{1 \overline{5}}{2}

( 2) ^{2} \frac{1}{2} \frac{\overline{5}}{2} \frac{1}{2} \frac{\overline{5}}{2} \frac{1 \overline{5}}{2} \frac{1 \overline{5}}{2}

( 2) ^{2}  \frac{1^{2} \overline{5}^{2}}{4}
( 2)( ^{2} 1)
3 ^{2} 2 ^{2} 2 2
3 3 ^{2} 2
( )

b. ( ) 0 ( 2) \frac{1 \overline{5}}{2}  \frac{1 \overline{5}}{2} 0

2 0 ou \frac{1 \overline{5}}{2} 0 ou \frac{1 \overline{5}}{2} 0

2 ou \frac{1 \overline{5}}{2} ou \frac{1 \overline{5}}{2}

L’ensemble solutions de l’équation ( ) 0 est donc :

2; \frac{1 \overline{5}}{2} ; \frac{1 \overline{5}}{2}

c. Le tableau de signes de peut être obtenu à partir de sa représentation graphique :

( ) 3 \frac{1 \overline{5}}{2} \frac{1 \overline{5}}{2} 2 3 0 0 0