
\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
Z & = \dfrac{[x-2+\i(y+1)](x-(y+2)\i)}{(x+(y+2)\i)(x-(y+2)\i)}\\
& = \dfrac{x(x-2)+(y+1)(y+2)+\i[x(y+1)-(x-2)(y+2)]}{x^2-(y-2)^2}
\end{aligned}$

Donc $\text{Re}(Z)=\dfrac{x^2+y^2-2x+3y+2}{x^2-(y-2)^2}$ et $\text{Im}(Z)=\dfrac{-x+2y+4}{x^2-(y-2)^2}$.
\begin{enumerate}
\item $Z\in\R\iff\text{Im}(Z)=0\Rightarrow-x+2y+4=0$.

\uline{Ainsi, $\mathcal{E}$ est la droite d'équation cartésienne $-x+2y+4=0$.}

\item $Z=k\i,\ k\in\R\Rightarrow\text{Re}(Z)=0\Rightarrow (x-1)^2+\left(y+\frac{3}{2}\right)^2=\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2$.

\underline{$\mathcal{F}$ est donc le cercle de centre d'affixe $1-\frac{3}{2}\i$ et de rayon $\frac{\sqrt{5}}{2}$.}

\item $|Z|=1\Rightarrow|z-z_A|=|z-z_B|$.

\uline{$\mathcal{G}$ est donc la médiatrice de $[AB]$.}
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item $\arg(Z)=\angleor{BM}{AM}$. $Z\in\R\Rightarrow\arg(Z)=0\mod\pi\Rightarrow\angleor{BM}{AM}=0\mod\pi$.

\uline{Donc, $A$, $B$ et $M$ sont alignés. $\mathcal{E}$ est donc la droite $(AB)$.}

\item $Z=k\i,\ k\in\R\Rightarrow\arg(Z)=\frac{\pi}{2}\mod\pi\Rightarrow\angleor{BM}{AM}=\frac{\pi}{2}\mod\pi$.

\uline{Ainsi, $BAM$ est un triangle rectangle en $M$. Donc $\mathcal{F}$ est le cercle de diamètre $[AB]$.}

\item $|Z|=1\Rightarrow|z-z_A|=|z-z_B|$.

\uline{$\mathcal{G}$ est donc la médiatrice de $[AB]$.}
\end{enumerate}

\item $Z-1=\dfrac{z-2+\i-z-2\i}{z+2\i}=\dfrac{-2-\i}{z+2\i}$ donc $|Z-1|\times|z+2\i|=|-2-\i|=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$.

Si $M\in\mathcal{C}_{\left(B,\sqrt{5}\right)}$, alors $z=z_B+\sqrt{5}\e^{\i\theta}$ et donc $|z+2\i|=|\sqrt{5}\e^{\i\theta}|=\sqrt{5}$.

Ainsi, $|Z-1|=1$. Donc $M'$ sera sur le cercle de centre d'affixe 1 et de rayon 1.
\end{enumerate}
