
\begin{align}
3n+1 & = 2n+(n+1)\qquad,\qquad n+1<2n\text{ donc }n>1\\
2n   & = 1\times(n+1)+(n-1)\qquad,\qquad n-1<n+1\text{(toujours vrai)}\\
n+1  & = 1\times(n-1) + 2\qquad,\qquad2<n-1\text{ donc }n>3.\label{eqexspear17}
\end{align}

Deux cas se présentent pour $n>3$ :

\begin{itemize}
\item $n\in2\N \iff n=2k$, $k\in\N$. Alors, l'égalité \ref{eqexspear17} donne :
\begin{align*}
2k+1 & = (2k-1)+2\\
2k-1 & = k + (k-1)\\
k & = (k-1)+\pmb{1}
\end{align*}
Dans ce cas, $\pgcd{a_n}{b_n}=1$.

\item $n\notin2\N \iff n=2k+1$, $k\in\N$. Alors, l'égalité \ref{eqexspear17} donne :
\begin{align*}
(2k+1)+1 & = (2k+1-1)+\pmb{2}\\
2k & = 2k+0
\end{align*}

Dans ce cas, $\pgcd{a_n}{b_n}=2$.
\end{itemize}

De plus,
\begin{itemize}
\item Pour $n=1$ : $a_1=2$ et $b_1=4$ donc $\pgcd{a_1}{b_1}=2$.
\item Pour $n=2$ : $a_2=4$ et $b_2=7$ donc $\pgcd{a_2}{b_2}=1$.
\item Pour $n=3$ : $a_3=6$ et $b_3=10$ donc $\pgcd{a_3}{b_3}=2$.
\end{itemize}

On a donc bien :
\[
\pgcd{a_n}{b_n}=1 \iff n\in2\N*.
\]
