
Nous savons que $32=4\times7+4$ donc $32\equiv4\mod7$.

Ainsi, $32^{45}\equiv4^{45}\mod7$.

Or, $4^2=16\equiv2\mod7$ et $4^3=64\equiv1\mod7$.

On peut donc écrire :

\begin{align*}
32^{45} & \equiv4^{3\times15}\mod7\\
        & \equiv\big(4^3\big)^{15}\mod7\\
        & \equiv1^{15}\mod7\\
        & \equiv1\mod7.
\end{align*}

\underline{Le reste de la division euclidienne de $32^{45}$ par 7 est donc 1.}
