
Posons:
\[
{\cal P}_n \quad : \quad (n+1)(n+2)\cdots(2n-1)\times2n\equiv0\mod 2^n.
\]

Notons:
\[
A_n=(n+1)(n+2)\cdots(2n-1)\times2n.
\]

Montrons par récurrence que ${\cal P}_n$ est vraie pour tout entier naturel $n$.

\begin{itemize}
\item Initialisation : ${\cal P}_0$ est vraie car $A_0=1$ et $2^0=1$. On a donc bien $A_0\equiv0\mod1$.

\bigskip

\item Supposons que pour un entier $n$ fixé, ${\cal P}_n$ est vraie, donc que $A_n=2^nB_n$.

\medskip

$\begin{aligned}[t]
A_{n+1} & = A_n\times(2n+1)(2n+2)\\[8pt]
				& = 2^nB_n\times2(2n+1)(n+1)\\[8pt]
				& = 2^{n+1}B_n(2n+1)(n+1).
\end{aligned}$

\medskip

Ainsi, $A_{n+1}$ est divisible par $2^{n+1}$. L'hérédité est alors vérifiée.
\end{itemize}

\bigskip

\uline{Ainsi, ${\cal P}_n$ est vraie pour tout entier naturel $n$.}

\bigskip

$A_n=\dfrac{(2n)!}{n!}$ donc $\dfrac{A_n}{2^n}=\dfrac{(2n)!}{2^n(n!)}=1\times3\times5\times\cdots\times(2n-1)$.

\medskip

Le quotient de $A_n$ par $2^n$ est donc égal à $\displaystyle\prod_{k=0}^{n-1}(2k+1)$.
