
Remarquons que :
\[
\fact{\numprint{1000}}=(1\times2\times3\times\cdots\times10)\times(11\times\cdots\times20)\times\cdots\times(991\times\cdots\times\numprint{1000})\;.
\]

Combien de multiples de 3 avons-nous ici ? Il y en a 333 ($999\div3$).

On peut donc factoriser ainsi :
\begin{align*}
\fact{\numprint{1000}} & =3^{333}(
1\times2\times\textcolor{red}{1}\times
4\times5\times\textcolor{red}{2}\times
7\times8\times\textcolor{red}{3}\times10)\times
\cdots\times(991\times992\times\textcolor{red}{331}\cdots\times\textcolor{red}{333}\times\numprint{1000})\\
& = 3^{333} \times \textcolor{red}{1\times2\times\cdots\times333}\times\underbrace{1\times2\times4\times5\times\cdots\times\numprint{1000}}_{\text{aucun multiples de 3}}\\
& = 3^{333} \times \fact{333} \times N_1,\quad \text{avec $N_1$ non multiple de 3}.
\end{align*}
De plus, dans $\fact{333}$, il y a 111 multiples de 3 donc, avec un même raisonnement, on a :
\[
\fact{333}=3^{111} \times \fact{111} \times N_2,\quad\text{avec $N_2$ non multiple de 3}.
\]
On voit apparaître \fact{111} dans lequel il y a 37 multiples de 3 (3, 6, 9, ..., 99, 102, 105, 108, 111). On peut donc écrire :
\[
\fact{111} = 3^{37} \times \fact{37} \times N_3,\quad\text{avec $N_3$ non multiple de 3}.
\]
De même, on voit \fact{37} apparaître, où il y a 12 multiples de 3 donc on peut écrire :
\[
\fact{37} = 3^{12} \times \fact{12} \times N_4,\quad\text{avec $N_4$ non multiple de 3}.
\]
On voit \fact{12} apparaître, où il y a 4 multiples de 3 donc on peut écrire :
\[
\fact{12} = 3^{4} \times \fact{4} \times N_5,\quad\text{avec $N_5$ non multiple de 3}.
\]
On voit apparaître \fact{4} où il y a 1 multiple de 3 et on peut écrire :
\[
\fact{4}=3^1(1\times2\times1\times4)\;.
\]
Finalement, dans \fact{\numprint{1000}}, on peut mettre en facteur $3^{333+111+37+12+4+1}=3^{498}$.

\uline{Ainsi, le plus grand entier $n$ tel que $3^n$ divise \fact{\numprint{1000}} est $n=498$.}
