
\begin{enumerate}
\item D'apr\`es l'\'enonc\'e, $\boxed{P_0=\begin{pmatrix}0,78 & 0,22\end{pmatrix}}$.

\item Le graphe est le suivant, o\`u A est l'\'ev\'enement : \og Le jeune aime Squeezie \fg{} :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[baseline]
\clip (-4,-2) rectangle (8,2.1);
\tikzstyle{VertexStyle}=
[shape = circle,
shading = ball,
ball color = brown,
minimum size = 20pt,
draw,color=white]
\tikzstyle{LabelStyle}=[color=brown,fill=white,outer sep=1mm,draw=brown]
\tikzstyle{EdgeStyle}=[->, thick,%
double = brown,%
double distance = 1pt]
\tikzstyle{LoopStyle}=[->, thick,%
 double = brown,%
double distance = 1pt]
\grProb[Ldist=0.1cm,LposA=0,LposB=180]%
{A}{\evcont{A}}%
{$0,07$}%
 {$0,3$}%
 {$0,93$}%
 {$0,7$}%
\end{tikzpicture}
\end{center}

La matrice de transition est alors  :
\[
\boxed{M=\begin{pmatrix}
0,93 & 0,07\\
0,30 & 0,70
\end{pmatrix}}
\]


\item $P_4=P_0 \times M^4=\begin{pmatrix}
0,80 & 0,20
\end{pmatrix}$.

\uline{Ainsi, dans 4 ans, \pourcent{80} des personnes aimeront Squeezie.}

\item
\begin{enumerate}
\item Par d\'efinition, $P = P\times M$ donc :
\[
\begin{pmatrix}a & 1-a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a & 1-a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
0,93 & 0,07\\
0,3 & 0,7
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
0,93a+0,3(1-a) & 0,07a+0,7(1-a).
\end{pmatrix}
\]
En ne regardant que la premi\`ere composante des deux matrices de part et d'autre du signe \og $=$ \fg, on a :
\begin{align*}
a =0,93a+0,3(1-a) & \iff a=0,93a+0,3-0,3a\\
& \iff \boxed{a = 0,63a+0,3}
\end{align*}

\item De la question pr\'ec\'edente, on d\'eduit que :
\[
0,37a=0,3
\]
et donc que :
\[
a=\dfrac{0,3}{0,37}\approx0,8108.
\]
\uline{Ainsi, \`a longs termes, il y aura \`a peu pr\`es \pourcent{81} des fran\c{c}ais aimeront Squeezie selon ce mod\`ele math\'ematique.}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace*{4cm}~
