
\begin{enumerate}
\item $A=\begin{pmatrix}
0,7 & 0,6\\
0,3 & 0,4
\end{pmatrix}$

\item
\begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation :} $U_1=AU_0$ par définition de $A$ donc l'initialisation est réalisée.

\item \textbf{Hérédité:} on suppose que pour un entier naturel $k$ fixé, $U_{k}=A^kU_0$.

Alors, $U_{k+1}=AU_k=A\times A^kU_0=A^{k+1}U_0$.

L'hérédité est alors vérifiée. Ainsi, pour tout entier naturel $n$, $U_n=A^nU_0$.
\end{itemize}

\item
$A^2=\begin{pmatrix}
0,67 & 0,66\\
0,33 & 0,34
\end{pmatrix}$,
$A^3=\begin{pmatrix}0,667&0,666\\0,333&0,334\end{pmatrix}$ et
$A^4=\begin{pmatrix}
0,6667 & 0,6666\\
0,3333 & 0,3334
\end{pmatrix}$.

\medskip

On peut supposer alors que $\limite{n}{+\infty}{A^n}=\begin{pmatrix}\frac{2}{3} & \frac{2}{3}\\[6pt]\frac{1}{3} & \frac{1}{3}\end{pmatrix}$.

\medskip

Ainsi, $\limite{n}{+\infty}{U_n}=\begin{pmatrix}\frac{2}{3} & \frac{2}{3}\\[6pt]\frac{1}{3} & \frac{1}{3}\end{pmatrix}\dbinom{0,3}{0,7}=\begin{pmatrix}\frac{2}{3}\\[6pt]\frac{1}{3}\end{pmatrix}$ et donc $\limite{n}{+\infty}{a_n}=\dfrac{2}{3}$ et $\limite{n}{+\infty}{b_n}=\dfrac{1}{3}$.
\end{enumerate}
