
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
\dfrac{z_B-z_C}{z_A-z_C} & = \dfrac{-1-\i\sqrt{3}-2}{-1+\i\sqrt{3}-2}\\
& = \dfrac{-3-\i\sqrt{3}}{-3+\i\sqrt{3}}\\
& = \dfrac{\left(-3-\i\sqrt{3}\right)^2}{\left(-3+\i\sqrt{3}\right)\left(-3-\i\sqrt{3}\right)}\\
& = \dfrac{6+6\i\sqrt{3}}{12}\\
& = \dfrac{1+\i\sqrt{3}}{2}\\
& = \dfrac{1}{2}+\i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\
\Aboxed{\dfrac{z_B-z_C}{z_A-z_C} & = \e^{\i\frac{\pi}{3}}}
\end{aligned}$

\item De la question précédente, on déduit que $\arg\left(\dfrac{z_B-z_C}{z_A-z_C} \right)=\arg\left(\e^{\i\frac{\pi}{3}}\right)=\dfrac{\pi}{3}$.

Or, $\arg\left(\dfrac{z_B-z_C}{z_A-z_C}\right)=\angleor{CA}{CB}$. Donc, $\angleor{CA}{CB}=\dfrac{\pi}{3}$.

\medskip

De plus, $z_A=\overline{z_B}$, ce qui signifie que A et B sont symétriques par rapport à $\left(\text{O}\mathpunct{};\mathpunct{}\vv{u}\right)$, et C se trouve sur $\left(\text{O}\mathpunct{};\mathpunct{}\vv{u}\right)$ donc $CA = CB$. Le triangle $ABC$ est donc isocèle en $C$. Et comme l'angle au sommet principal est égal à $\dfrac{\pi}{3}$, on en déduit que \underline{$ABC$ est équilatéral}.

\item Si $z$ représente l'affixe de ce centre :
\begin{align*}
z & = \dfrac{z_A+z_B+z_C}{3}\\
& = 0
\end{align*}

\underline{Ainsi, $O$ est le centre du cercle circonscrit à $ABC$.}


Le rayon de $\Gamma_1$ est donc $OC$, soit 2.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Posons $z=x+\i y$. Alors,
\begin{align*}
2\left(z+\overline{z}\right)+z\overline{z}=0 & \iff 2(x+\i y + x-\i y)+(x+\i y)(x-\i y)=0\\& \iff 4x+x^2+y^2=0\\
& \iff (x+2)^2-4+(y-0)^2=0\\
& \iff (x+2)^2+(y-0)^2=2^2
\end{align*}

\uline{Ainsi, l'ensemble des points M\coord{x}{y} vérifiant l'équation est le cercle de centre $\Omega\coord{-2}{0}$ et de rayon $r=2$.}

\item On remplace $z$ par $z_A$ dans l'expression $2(z+\overline{z})+z\overline{z}$ :
\begin{align*}
2(z_A+\overline{z_A})+z_A\overline{z_A} & = 4\text{Re}(z_A)+|z_A|^2\\
& = -4+((-1)^2+\sqrt{3}^2\\
& = -4+4\\
& = 0.
\end{align*}

$z_A$ satisfait l'équation donc $\text{A}\in\Gamma_2$.

Comme $z_B=\overline{z_A}$ et que l'équation est symétrique en $z$ et $\overline{z}$, $\text{B}\in\Gamma_2$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\tkzInit[xmax=3,ymax=3,xmin=-5,ymin=-2]
\tkzDefPoint(-1,1.732){A}
\tkzDefPoint(-1,-1.732){B}
\tkzDefPoint(2,0){C}
\tkzDefPoint(0,0){I}
\tkzDefPoint(-2,0){O}
\tkzAxeXY
\tkzGrid
\tkzLabelPoint[above right](C){C}
\tkzLabelPoint[above](A){A}
\tkzLabelPoint[below](B){B}
\tkzLabelPoint[below](I){I}
\tkzDrawPoints(A,B,C)
\tkzDrawPolygon(A,B,C)
\tkzDrawCircle(I,C)
\tkzDrawCircle[R,color=red](O,2 cm)
\end{tikzpicture}
\end{center}
