
\begin{enumerate}
\item Le graphe est le suivant :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=4]
\GraphInit[vstyle=Shade]
\tikzset{VertexStyle/.style = {draw,
shape = circle,
shading = ball,
ball color = brown,
minimum size = 24pt,
color = white}}
\tikzset{EdgeStyle/.style = {thick,double = brown,double distance = 1pt, post, bend left=15}}
\tikzset{LabelStyle/.style = {draw=brown,text=brown,fill=white,outer sep=3mm}}
\Vertex{L}
\Vertex[x=2,y=0]{J}
\Vertex[x=1,y=1]{C}
\Edge[label={0,2}](L)(C)
\Edge[label={0,5}](L)(J)
\Edge[label={0,6}](J)(C)
\Edge[label={0,3}](J)(L)
\Edge[label={0,7}](C)(L)
\Edge[label={0,2}](C)(J)
\draw[->,thick,double = brown,double distance = 1pt] (J) to [out=45,in=-45,looseness=5] (J) node[right,outer sep=12mm,draw=brown,text=brown,fill=white] {0,1};
\draw[->,thick,double = brown,double distance = 1pt] (L) to [out=150,in=210,looseness=5] (L) node[left,outer sep=12mm,draw=brown,text=brown,fill=white] {0,3};
\draw[->,thick,double = brown,double distance = 1pt] (C) to [out=60,in=120,looseness=7] (C) node[above,outer sep=12mm,draw=brown,text=brown,fill=white] {0,1};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item La matrice de transition de ce graphe est :
\[
M = \begin{pmatrix}
0,1 & 0,2 & 0,7\\
0,6 & 0,1 & 0,3\\
0,2 & 0,5 & 0,3
\end{pmatrix}
\]
en convenant de mettre les sommet dans l'ordre alphab\'etique : C, J, L.

\medskip

Notons $P=\begin{pmatrix}a & b & c\end{pmatrix}$ l'\'etat stable du graphe. Alors, par d\'efinition,
\[
P = P \times M\qquad\text{soit}\qquad \begin{pmatrix}a & b & c\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a & b & c\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
0,1 & 0,2 & 0,7\\
0,6 & 0,1 & 0,3\\
0,2 & 0,5 & 0,3
\end{pmatrix}
\]
d'o\`u le syst\`eme suivant :
\[
\systeme[][:]{0,1a+0,6b+0,2c=a:0,2a+0,1b+0,5c=b:0,7a+0,3b+0,3c=c}
\]
En mettant tout \`a gauche, on obtient :
\[
\systeme[][:]{-0,9a+0,6b+0,2c=0:0,2a-0,9b+0,5c=0:0,7a+0,3b-0,7c=0}
\]
En ajoutant les deux derni\`eres \'equations, on obtient :
\[
0,9a-0,6b-0,2c=0
\]
c'est-\`a-dire la 1\iere{} \'equation. On peut donc supprimer cette derni\`ere et ajouter au syst\`eme l'\'equation : $a+b+c=1$ (somme des probabilit\'es).


On obtient alors le syst\`eme :
\[
\systeme[][:]{a+b+c=1:0,2a-0,9b+0,5c=0:0,7a+0,3b-0,7c=0}
\]
On peut multiplier par 10 les deux derni\`eres \'equations (pour enlever les virgules) :
\[
\systeme[][:]{a+b+c=1:2a-9b+5c=0:7a+3b-7c=0}
\]
et \'ecrire de fa\c{c}on matricielle ce dernier syst\`eme :
\[
AX=B\qquad,\qquad A=\begin{pmatrix}
1&1&1\\2&-9&5\\7&3&-7\end{pmatrix}\quad,\quad X=\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}\quad,\quad B=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}.
\]
Ainsi,
\[
X=A^{-1}B=\begin{pmatrix}\frac{24}{83} \\[8pt] \frac{49}{166} \\[8pt] \frac{69}{166}\end{pmatrix}
\]
L'\'etat stable du graphe est donc :
\[
P=\begin{pmatrix}
\dfrac{24}{83} & \dfrac{49}{166} & \dfrac{69}{166}
\end{pmatrix}
\]
ce qui signifie qu'\`a longs termes,
\begin{itemize}
\item la probabilit\'e que Lucas soit dans la cuisine en train de manger est \'egale \`a \linebreak $\dfrac{24}{83}\approx0,289$,
\item la probabilit\'e que Lucas soit en train de jouer au jeu vid\'eo est \'egale \`a $\dfrac{49}{166}\approx0,295$,
\item la probabilit\'e que Lucas soit sur son lit est \'egale \`a $\dfrac{69}{166}\approx0,416$.
\end{itemize}
Quel glandeur ce Lucas!
\end{enumerate}
