
\begin{enumerate}
\item Un graphe est \textit{complet} s'il est simple (sans double liaison entre deux même sommets) et si tous les sommets peuvent être reliés deux à deux.

Ce n'est pas le cas ici car B n'est pas relié à G par exemple.

\medskip

\uline{Ce graphe n'est donc pas complet.}

\item L'ordre d'un graphe est le nombre de sommets du graphe.

Donc ici, \uline{l'ordre du graphe est égal à 7}.

\item La matrice d'adjacence du graphe est la suivante :
\[
M=\begin{pmatrix}
0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\
1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0\\
1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1\\
1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1\\
0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1\\
0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0
\end{pmatrix}
\]

\item La calculatrice nous donne :
\[
M^3=\begin{pmatrix}
6 & 9 & 9 & 11 & 6 & 4 & 6\\
9 & 8 & 12 & 12 & 11 & 4 & 7\\
9 & 12 & 8 & 12 & \color{violet} 7 & 4 & 11\\
11 & 12 & 12 & 12 & 12 & 4 & 12\\
6 & 11 &\color{violet} 7 & 12 & 6 & 6 & 10\\
4 & 4 & 4 & 4 & 6 & 2 & 6\\
6 & 7 & 11 & 12 & 10 & 6 & 6
\end{pmatrix}
\]
Ainsi, il y a 7 chemins de longueur 3 reliant E \`a C.

\paragraph*{Rappel.} Le coefficient de $M^n$ situ\'e \`a la $i$-\`eme ligne et $j$-\`eme colonne (ou \`a la $j$-\`eme ligne et $i$-\`eme colonne) est le nombre de chemins de longueur $n$ reliant les sommets ayant pour position $i$ et $j$ dans la matrice d'adjacence.
\end{enumerate}
