
\begin{enumerate}
\item Une équation cartésienne d'un cercle est de la forme :
\[
\left(x-x_O\right)^2+\left(y-y_O\right)^2=r^2\;,
\]
où \coord{x_O}{y_O} sont les coordonnées du centre et $r$ son rayon.

Ainsi, une équation cartésienne de $\mathcal{C}$ est :
\[
\left(x+\frac{1}{4}\right)^2+ y^2=\frac{5}{16}.
\]
En effet,
\begin{align*}
KA^2 & = (x_A-x_K)^2+(y_A-y_K)^2\\
& = \left(\frac{1}{4}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2\\
& = \frac{1}{16}+\frac{1}{4}\\
& = \frac{5}{16}.
\end{align*}

\item On prend $y=0$ dans l'équation du cercle :
\[
\left(x+\frac{1}{4}\right)^2=\frac{5}{16}
\]
soit
\[
x^2+\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{4}=0\;
\]

équation qui admet $\cos\dfrac{2\pi}{5}$ pour unique solution positive d'après ce qui a été fait dans l'exercice \ref{exercice:\thechapter.31}.

\item On trace \textcolor{orange}{le cercle $\mathcal{C}$}, qui coupe l'axe des abscisses en un point $M$ d'abscisse positive $\cos\dfrac{2\pi}{5}$.

On trace ensuite \textcolor{blue}{le cercle unité} puis la perpendiculaire à l'axe des abscisses passant par $M$ pour obtenir le point $B$:

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=4]
\clip (-2,-1.2) rectangle (2.5,1.2);
\draw[->,>=stealth'] (-1.1,0)--(1.1,0);
\draw[->,>=stealth'] (0,-1.1)--(0,1.1);
\tkzDefPoint(-0.25,0){K}
\tkzDefPoint(0,0){O}
\tkzDefPoint(0,0.5){A}
\tkzDefPoint(1,0){D}
\tkzDrawCircle[color=orange](K,A)
\tkzDrawCircle[R,color=blue](O,1 cm)
\tkzLabelPoint[below](K){K}
\tkzLabelPoint[above left](A){A}
\tkzDefPoint(2,0){X}
\tkzInterLC(X,O)(K,A)\tkzGetPoints{M}{N}
\tkzLabelPoint[below right](M){M}
\tkzDefLine[perpendicular=through M](X,O)\tkzGetPoint{m}
\tkzDrawLine[dashed,add=-0.5 and 0.6](m,M)
\tkzInterLC[R](m,M)(O,1 cm)\tkzGetPoints{B}{b}
\tkzDrawPoints(K,A,M,B)
\tkzLabelPoint[above right](B){B}
\tkzDefLine[perpendicular=through N](X,O)\tkzGetPoint{n}
\tkzDrawLine[dashed,add=-0.5 and 0.6](n,N)
\tkzInterLC[R](n,N)(O,1 cm)\tkzGetPoints{c}{C}
\tkzDrawPolygon(B,C,c,b,D)
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}
