
\begin{enumerate}
\item $x=10d+u=(7d+3d)+u=7d+(3d+u)$.

$x$ est divisible par 7 équivaut à dire que $7d+(3d+u)$ l'est aussi, i.e. que $3d+u$ est divisible par 7 car $7d$ l'est toujours.

\item On peut s'inspirer du raisonnement précédent en posant :
\begin{align*}
x & =392\\
  & =39\times10+2\\
  & =39\times(7+3)+2\\
  & =39\times7+3\times39+2
\end{align*}

392 est divisible par 7 si et seulement si $3\times39+2$ l'est aussi.
\[
3\times39+2=3\times(40-1)+2=120-3+2=119.
\]
On recommence avec 119 :
\[
119=11\times7+11\times3+9.
\]
119 est divisible par 7 si et seulement si $11\times3+9$ l'est aussi.
\[
11\times3+9=33+9=42=7\times6.
\]
Ainsi, 119 est divisible par 7, donc 392 aussi.

\item $611\times3+9=\numprint{1833}+9=\numprint{1842}$.

$184\times3+2=552+2=554$

$55\times3+4=165+4=169$

$16\times3+9=48+9=57$

$57$ n'est pas divisible par 7 donc \numprint{6119} non plus.
\end{enumerate}
