
\begin{enumerate}
\item Le système $\systeme{x+2y=1,x+3y=2}$ peut être écrit sous la forme matricielle $AX=B$ avec $A=\begin{pmatrix}1 & 2\\1 & 3\end{pmatrix}$, $X=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$.

Il admet un unique couple de solutions si $A$ est inversible.

\`A la calculatrice, on trouve : $A^{-1}=\begin{pmatrix}
3 & -2\\-1 & 1\end{pmatrix}$ donc $X=A^{-1}B=\begin{pmatrix}
-1\\1\end{pmatrix}$.

\uline{L'unique solution du système est donc le couple \coord{-1}{1}.}

\item Le système $\systeme{3x-5y=7,2x-7y=5}$ peut être écrit sous la forme matricielle $AX=B$ avec\linebreak $A=\begin{pmatrix}3 & -5\\2 & -7\end{pmatrix}$, $X=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}7\\5\end{pmatrix}$.

Il admet un unique couple de solutions si $A$ est inversible.

\`A la calculatrice, on trouve : $A^{-1}=\dfrac{1}{11}\begin{pmatrix}7 & -5\\2 & -3\end{pmatrix}$ donc $X=A^{-1}B=\dfrac{1}{11}\begin{pmatrix}24\\-1\end{pmatrix}$.

\underline{L'unique solution du système est donc le couple \coord{\dfrac{24}{11}}{-\dfrac{1}{11}}.}

\item Le système $\systeme{-x+2y=-1,2x+4y=1}$ peut être écrit sous la forme matricielle $AX=B$ avec\linebreak $A=\begin{pmatrix}-1 & 2\\2 & 4\end{pmatrix}$, $X=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}$.

Il admet un unique couple de solutions si $A$ est inversible.

\`A la calculatrice, on trouve : $A^{-1}=\dfrac{1}{8}\begin{pmatrix}-4 & 2\\2 & 1\end{pmatrix}$ donc $X=A^{-1}B=\dfrac{1}{8}\begin{pmatrix}6\\-1\end{pmatrix}$.

\underline{L'unique solution du système est donc le couple \coord{\dfrac{3}{4}}{-\dfrac{1}{8}}.}

\item Le système $\systeme{5x+4y=-3,3x+4y=5}$ peut être écrit sous la forme matricielle $AX=B$ avec\linebreak $A=\begin{pmatrix}5 & 4\\3 & 4\end{pmatrix}$, $X=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}-3\\5\end{pmatrix}$.

Il admet un unique couple de solutions si $A$ est inversible.

\`A la calculatrice, on trouve : $A^{-1}=\dfrac{1}{8}\begin{pmatrix}4 & -4\\-3 & 5\end{pmatrix}$ donc $X=A^{-1}B=\dfrac{1}{4}\begin{pmatrix}-16\\17\end{pmatrix}$.

\underline{L'unique solution du système est donc le couple \coord{-4}{\dfrac{17}{4}}.}

\item Le système $\systeme{x+y-z=1,2x-3y+z=-1,x+2y-z=2}$ peut être écrit sous la forme matricielle $AX=B$ avec\linebreak $A=\begin{pmatrix}1 & 1 & -1\\2 & -3 & 1\\1 & 2 & -1\end{pmatrix}$, $X=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}$.

Il admet un unique couple de solutions si $A$ est inversible.

\`A la calculatrice, on trouve : $A^{-1}=\dfrac{1}{3}\begin{pmatrix}-1 & 1 & 2\\-3 & 0 & 3\\-7 & 1 & 5\end{pmatrix}$ donc $X=A^{-1}B=\dfrac{1}{3}\begin{pmatrix}2\\3\\2\end{pmatrix}$.

\underline{L'unique solution du système est donc le triplet $\left(\dfrac{2}{3}\,;\,1\,;\,\dfrac{2}{3}\right)$.}

\item Le système $\systeme{x+2y+3z=4,3x+2y+z=0,x-y+z=1}$ peut être écrit sous la forme matricielle $AX=B$ avec\linebreak $A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\3 & 2 & 1\\1 & -1 & 1\end{pmatrix}$, $X=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}4\\0\\1\end{pmatrix}$.

Il admet un unique couple de solutions si $A$ est inversible.

\`A la calculatrice, on trouve : $A^{-1}=\dfrac{1}{16}\begin{pmatrix}-3 & 5 & 4\\2 & 2 & -8\\5 & -3 & 4\end{pmatrix}$ donc $X=A^{-1}B=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix}-1\\0\\3\end{pmatrix}$.

\underline{L'unique solution du système est donc le triplet $\left(-\dfrac{1}{2}\,;\,0\,;\,\dfrac{3}{2}\right)$.}
\end{enumerate}
