
\begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation:} pour $n=0$, $3^{2n}-2^n=0$ est divisible par 7.

\item \textbf{Hérédité:} supposons que pour un entier naturel $k$ fixé, $3^{2n}-2^n$ est divisible par 7.

Alors, $3^{2n}-2^n \equiv0\mod7$, soit $3^{2n} \equiv 2^n \mod 7$.

\begin{align*}
3^{2(n+1)}-2^{n+1} & \equiv 3^{2n}\times3^2 - 2^{n+1}\mod7 & \\[10pt]
& \equiv 2^n\times9 - 2^{n+1}\mod7 & \text{par hypothèse de récurrence}\\[10pt]
& \equiv 2^n\times2 - 2^{n+1}\mod7 & \text{car }9\equiv2\mod7\\[10pt]
& \equiv2^{n+1}-2^{n+1}\mod7 & \\[10pt]
& \equiv 0\mod 7.
\end{align*}

L'hérédité est alors vérifiée.
\end{itemize}

Ainsi, pour tout entier naturel $n$, $3^{2n}-2^n$ est divisible par 7.
