
\begin{itemize}
\item Si $p\equiv0\mod3$, alors $p$ est un multiple de 3. Or, $p$ est premier donc $p=3$ nécessairement.

\item Si $p\equiv1\mod3$, alors $p^2\equiv1\mod3$ et donc $8p^2\equiv8\equiv2\mod3$, soit\\ $8p^2+1\equiv0\mod3$.

Donc $8p^2+1$ est un multiple de 3 et aussi premier. Donc $8p^2+1=3$, ce qui est impossible car $p\in\N$.

Ainsi, $p$ ne peut pas être congru à 1 modulo 3.

\item Si $p\equiv2\mod3$, alors $8p^2+1\equiv0\mod3$, ce qui nous ramène à la même conclusion qu'au point précédent.
\end{itemize}

Ainsi, $p\in\mathbb{P}$ et $8p^2+1\in\mathbb{P}$ $\iff p=3$.
