\documentclass[12pt]{article}
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%
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\begin{document}
\chap[num=C,pos=right,color=purple]{Pourcentages}{\emph{Stéphane PASQUET, \today}}

%--------------- TOC
\renewcommand{\contentsname}{\color{purple}\titreFONT\huge Sommaire}
{\color{purple}\hrulefill}
{\tocFONT\tableofcontents}
{\color{purple}\hrulefill}

\vspace*{1cm} %---------- PREREQUIS

\begin{prerequis}
\item Notions de pourcentages vues au collège
\item Factorisation
\end{prerequis}

\newpage %----------------- DEBUT

\begin{pasbox}[degrade,style=meth,name={Calculer le pourcentage d'un nombre (rappel)}]
Pour calculer \pourcent{t} d'un nombre $x$, on effectue l'opération : 
\[ \dfrac{t}{100}\times x = \dfrac{t \times x}{100}.\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex,pluriel]
\begin{itemize}
\item \pourcent{30} d'un groupe de 240 personnes sont asthmatiques.
\[ \dfrac{30}{100}\times240=\dfrac{30\times240}{100}=3\times24=72.\]
Cela représente donc 72 personnes. 

\item \pourcent{20,6} du prix d'un v\^etement représente la T.V.A. Un pull co\^ute 50 \euro.
\[
\dfrac{20,6}{100}\times50=\dfrac{20,6\times50}{100}=10,3.
\]
Ainsi, 10,30~\euro{} sont consacrés uniquement à la T.V.A. sur un pull à 50~\euro.
\end{itemize}
\end{pasbox}

\begin{aretenir}[0.5]
Il y a des correspondances entre pourcentages et fractions à conna\^itre par c\oe ur :
\begin{itemize}
\item \pourcent{20} d'un nombre représente $\dfrac{1}{5}$ de ce nombre (son cinquième) ;
\item \pourcent{25} d'un nombre représente $\dfrac{1}{4}$ de ce nombre (son quart) ;
\item \pourcent{50} d'un nombre représente $\dfrac{1}{2}$ de ce nombre  (sa moitié) ;
\item \pourcent{75} d'un nombre représente $\dfrac{3}{4}$ de ce nombre (ses trois quarts) ;
\item \pourcent{33} d'un nombre représente à peu près $\dfrac{1}{3}$ de ce nombre (un tiers).
\end{itemize}
\end{aretenir}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={\'Evolution (nombre)}]
L'\definmot{évolution} de $x_1$ à $x_2$ est la différence :
\[ x_2-x_1\;.\]
Une évolution peut donc \^etre négative.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={\'Evolution relative (pourcentage)}]
L'évolution de $x_1$ à $x_2$ par rapport à $x_1$ (évolution relative à $x_1$) est :
\[ \dfrac{x_2-x_1}{x_1}\times100.\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
Un article co\^ute 125~\euro{} au 30 novembre. Au 1\ier{} décembre, il co\^ute 140~\euro.
\[ \dfrac{140-125}{125}\times100=12.\]
Le prix de cet article à donc augmenté de \pourcent{12}.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Coefficient multiplicateur}]
On considère un nombre $x_1$ puis un nombre $x_2$ obtenu après évolution à partir de $x_1$.

On appelle \definmot{coefficient multiplicateur} le nombre $CM$ tel que :
\[ x_2=CM\times x_1.\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop]
On considère une évolution de \pourcent{t} d'une valeur $x_1$ à une autre valeur $x_2$.

Si l'évolution est une augmentation, alors :
\[ CM = 1+\dfrac{t}{100}\;;\]
Si l'évolution est une réduction,  alors :
\[ CM = 1-\dfrac{t}{100}.\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex,pluriel]
\begin{itemize}
\item Considérons un prix $x$ qui augmente de \pourcent{15} ; alors, le prix après augmentation est :
\[
x+\dfrac{15}{100}x=\left(1+\dfrac{15}{100}\right)x=(1+0,15)x=1,15x.
\]
Ici, le coefficient multiplicateur est $CM=1,15$.
\item Considérons un prix $x$ qui diminue de \pourcent{20} ; alors, le prix après réduction est :
\[
x-\dfrac{20}{100}x=\left(1-\dfrac{20}{100}\right)x=(1-0,2)x=0,8x.
\]
Ici, le coefficient multiplicateur est $CM=0,8$.
\end{itemize}
\vspace*{-1em}
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=meth,name={Retrouver la valeur initiale après une évolution}]
Le prix d'un article est 150~\euro{} après une réduction de \pourcent{25}. Quel était le prix de cet article avant cette réduction ?

\medskip

Notons $x$ le prix de cet article avant cette réduction de \pourcent{25}. Une réduction de \pourcent{25} correspond à un coefficient multiplicateur de $CM=1-0,25=0,75$.

Ainsi,
\[ 0,75x=150\;,\]
donc :
\[ x=\dfrac{150}{0,75}=200.\]

L'article soldé à \pourcent{25} valait 200 \euro{} avant la réduction.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop,name={\'Evolutions successives}]
On considère un nombre $x$ qui subit une évolution de coefficient multiplicateur $CM_1$, puis une seconde évolution de coefficient multiplicateur $CM_2$. On note $y$ le nombre final. Alors,
\[ y=CM_1\times CM_2\times x.\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
La facture d'électricité de Monsieur Volta a baissé de \pourcent{5} de 2013 à 2014, mais augmentera de \pourcent{5} de 2014 à 2015. Le montant de sa facture en 2015 sera-t-il égal à celui de sa facture en 2013 ?

\medskip

Pas si s\^ur ... En effet, si $x$ représente le montant de sa facture en 2013, alors celui de sa facture en 2015 sera :
\[ y=\underbrace{0,95}_{\begin{minipage}{3em}\centering\tiny réduction\\ de \pourcent{5}\end{minipage}}\times\underbrace{1,05}_{\begin{minipage}{4em}\centering\tiny Augmentation\\ de \pourcent{5}\end{minipage}}\times x=\numprint{0,9975}x.\]

On voit alors que $y\neq x$ ; en fait, comme $0<\numprint{0,9975}<1$, on peut m\^eme dire que $y<x$.

Le montant de sa facture baissera donc de :
\[
(1-\numprint{0,9975})\times100=\pourcent{0,25}
\]
par rapport à celui de sa facture en 2011.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Taux d'évolution global}]
On considère deux évolutions successives de coefficients multiplicateurs respectifs $CM_1$ et $CM_2$.

Le \definmot{taux d'évolution global} est l'évolution (en pourcentage) entre la valeur initiale et la valeur finale.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop]
On considère deux évolutions successives de coefficients multiplicateurs respectifs $CM_1$ et $CM_2$.

Le taux d'évolution global entre la valeur initiale $x_1$ et la valeur finale $x_2$ est le nombre $t$ (en pourcentage) tel que :
\[
t=\big(CM_1\times CM_2\big)\times100.
\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=demo,title={Explications}]
Nous avons vu que le taux d'évolution entre $x_1$ et $x_2$ est (en pourcentage) :
\begin{equation}
\dfrac{x_2-x_1}{x_1}\times100.\label{eq1}
\end{equation}
Or, $x_2=CM_1\times CM_2\times x_1$. Donc, en remplaçant $x_2$ par cette expression dans l'expression \ref{eq1}, on obtient :
\begin{equation}
\dfrac{CM_1\times CM_2\times x_1-x_1}{x_1}\times100.\label{eq2}
\end{equation}
En factorisant par $x_1$ dans l'expression \ref{eq2}, on a :
\begin{equation}
\dfrac{\big(CM_1\times CM_2-1\big)\times x_1}{x_1}\times100.\label{eq3}
\end{equation}
En simplifiant par $x_1$ l'expression \ref{eq3}, on obtient :
\[
\big(CM_1\times CM_2-1\big)\times100.
\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
Une entreprise décide d'augmenter de \pourcent{6} le tarif de ses prestations sur deux ans.
\[
(1,06\times1,06-1)\times100=12,36.
\]
Ainsi, sur deux ans, le tarifs augmente de \pourcent{12,36} (en non de \pourcent{12} comme certains pourraient l'imaginer !).
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=defi,name={Taux d'évolution réciproque}]
On considère une évolution de \pourcent{t} entre deux valeurs $x_1$ et $x_2$.\\
Le \definmot{taux d'évolution réciproque} est le pourcentage d'évolution de $x_2$ à $x_1$.
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=prop]
On considère une évolution de \pourcent{t} entre deux valeurs $x_1$ et $x_2$.\\
Le taux d'évolution réciproque est le nombre $t'$ tel que :
\[
t'=\dfrac{-t}{100+t}\times100.
\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=demo,title={Explications}]
On sait que $x_2=\left(1+\dfrac{t}{100}\right)x_1$. Ainsi, 
\begin{equation}
x_1=\dfrac{x_2}{1+\frac{t}{100}}=\dfrac{1}{1+\frac{t}{100}}x_2=\dfrac{1}{\frac{100+t}{100}}x_2=\dfrac{100}{100+t}x_2\;.\label{eq4}
\end{equation}

Le taux d'évolution réciproque $t'$ est tel que $x_1=\left(1+\dfrac{t'}{100}\right)x_2$. Donc, d'après la relation \ref{eq4}, on a :
\[
\dfrac{100}{100+t}=1+\dfrac{t'}{100}\;,
\]
donc :
\[
\dfrac{100}{100+t}-1=\dfrac{t'}{100}\;,
\]
soit :
\[
\dfrac{100}{100+t}-\dfrac{100+t}{100+t}=\dfrac{t'}{100}\;,
\]
et donc :
\[
\dfrac{-t}{100+t}=\dfrac{t'}{100}.
\]
En multipliant par 100, on obtient :
\[
t'=\dfrac{-t}{100+t}\times100.
\]
\end{pasbox}

\begin{pasbox}[degrade,style=ex]
Un article passe de 120 \euro{} à 150 \euro.\\[6pt]
L'augmentation est donc de : \[t=\dfrac{150-120}{120}\times100=\pourcent{25}.\]

Pour passer de 150 à 120, l'évolution est : \[t'=\dfrac{-25}{100+25}\times100=-\pourcent{20}.\]

On peut directement vérifier par le calcul : \[
\dfrac{120-150}{150}\times100=\dfrac{-30}{150}\times100=-\pourcent{20}.\]
\end{pasbox}
\end{document}	
