
\begin{enumerate}
\item Considérons le polyn\^ome $P(x)=2x^2-x-1$.\\
Son discriminant est :
\[ \Delta=1-4\times2\times(-1)=9.\]
Il a donc deux racines :
\[
x_1=\dfrac{1-3}{4}=-\dfrac{1}{2}\quad\text{et}\quad
x_2=\dfrac{1+3}{4}=1.
\]
D'où le tableau de signes page suivante.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorL=corrigenumbg!10,colorC=corrigenumbg!10,colorV=corrigenumbg!10]{$x$/0.8,$P(x)$/0.5}{$-1$,$-\frac{1}{2}$,1}
\tkzTabLine{,+,z,-,z}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}
Ainsi, sur \intervOO{0}{1},
\begin{align*}
f(x) & =\dfrac{1+x-2x^2}{\sqrt{1-x^2}}\\
& =\dfrac{-2(x-1)\left(x+\frac{1}{2}\right)}{\sqrt{1-x}\times\sqrt{1+x}}\\
&\dfrac{-2\left(x+\frac{1}{2}\right)}{\sqrt{1+x}}\times\dfrac{-(1-x)}{\sqrt{1-x}}\\
& = \dfrac{2\left(x+\frac{1}{2}\right)\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}}
\end{align*}
Ainsi, $\limite{x}{1}{f(x)}=0$. \underline{La fonction $f$ est donc continue en 1.}

\item $\limite{x}{-1}{|2x^2-x-1|}=4$ et $\limite{x}{-1}{\sqrt{1-x^2}}=0^+$.\\
Ainsi, par quotient, $\limite{x}{-1}{f(x)}=+\infty$.\\
\underline{La fonction $f$ n'est donc pas continue en $-1$.}

\item Le taux d'accroissement de la fonction $f$ en 1 est :
\begin{align*}
\tau(x) & = \dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}\\
& = \dfrac{\frac{-2(x-1)\left(x+\frac{1}{2}\right)}{\sqrt{1-x^2}}}{x-1}\\
& = \dfrac{-2x-1}{\sqrt{1-x^2}}
\end{align*}

$\limite{x}{1}{(-2x-1)}=-3$ et $\limite{x}{1}{\sqrt{1-x^2}}=0^+$ donc, par quotient, $\limite{x}{1}{\tau(x)}=-\infty$.\\
\underline{Ainsi, $f$ n'est pas dérivable en 1.}

\item $f$ n'étant pas continue en $-1$, elle n'est pas dérivable en $-1$.

\item
\begin{itemize}
\item Si $x<-\dfrac{1}{2}$, $f(x)=\dfrac{2x^2-x-1}{\sqrt{1-x^2}}=\dfrac{2(x-1)\left(x+\dfrac{1}{2}\right)}{\sqrt{1-x^2}}$.\\
Ainsi, le taux d'accroissement de $f$ en $-\dfrac{1}{2}$ par valeurs inférieures est :
\begin{align*}
\tau(x)&=\dfrac{f(x)-f\left(-\frac{1}{2}\right)}{x-\left(-\frac{1}{2}\right)}\\
& = \dfrac{2(x-1)}{\sqrt{1-x^2}}
\end{align*}
D'où :
\[
\limite[x<-\frac{1}{2}]{x}{-\frac{1}{2}}{\tau(x)}=\dfrac{-3}{\sqrt{\frac{3}{4}}}=-\dfrac{6}{\sqrt{3}}
\]

\item Si $x>-\dfrac{1}{2}$, alors $f(x)=\dfrac{1+x-2x^2}{\sqrt{1-x^2}}=\dfrac{-2(x-1)\left(x+\frac{1}{2}\right)}{\sqrt{1-x^2}}$.\\
Donc, le taux d'accroissement de $f$ en $-\dfrac{1}{2}$ par valeurs supérieures est :
\[ \tau(x)=\dfrac{-2(x-1)}{\sqrt{1-x^2}}\]
et donc
\[ \limite[x>-\frac{1}{2}]{x}{-\frac{1}{2}}{\tau(x)}=\dfrac{6}{\sqrt{3}}.\]
\end{itemize}
Ainsi, $\limite[x>-\frac{1}{2}]{x}{-\frac{1}{2}}{\tau(x)}\neq\limite[x<-\frac{1}{2}]{x}{-\frac{1}{2}}{\tau(x)}$. \\
\underline{Par conséquent, $f$ n'est pas dérivable en $-\dfrac{1}{2}$.}

\item
\begin{enumerate}
\item Sur \intervOO{-1}{-\dfrac{1}{2}}, $P(x)>0$ donc $f(x)=\dfrac{2x^2-x-1}{\sqrt{1-x^2}}$.\\
Ainsi, $f$ est de la forme $\dfrac{u}{v}$, avec :
\begin{multicols}{2}
$u(x)=2x^2-x-1$\\
$u'(x)=4x-1$

$v(x)=\sqrt{1-x^2}$\\
$v'(x)=\dfrac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}}=\dfrac{-x}{\sqrt{1-x^2}}$
\end{multicols}

D'où :
\begin{align*}
f'(x) & = \dfrac{u'v-uv'}{v^2}(x)\\
& = \dfrac{(4x-1)\sqrt{1-x^2}-\frac{-x(2x^2-x-1)}{\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2}\\
& = \dfrac{(4x-1)(1-x^2)+x(2x^2-x-1)}{(1-x^2)\sqrt{1-x^2}}\\
\Aboxed{f'(x) & = \dfrac{-2x^3+3x-1}{(1-x^2)\sqrt{1-x^2}}}
\end{align*}

\item \og 1 \fg{}  est une racine évidente du polyn\^ome $-2x^3+3x-1$. Ainsi, ce dernier peut se factoriser sous la forme $(x-1)(ax^2+bx+c)$.\\
Il faut donc que :
\begin{align*}
-2x^3+3x-1 & = (x-1)(ax^2+bx+c)\\
-2x^3+3x-1 & = ax^3+bx^2+cx-ax^2-bx-c\\
-2x^3+3x-1 & = ax^3+(b-a)x^2+(c-b)x-c
\end{align*}
D'où $a=-2$, $c=1$ et donc $b=-2$.\\
Ainsi, $f'(x)=\dfrac{(x-1)(-2x^2-2x+1)}{(1-x^2)\sqrt{1-x^2}}$.\\
Le dénominateur de $f'(x)$ étant toujours strictement positif sur \intervOO{-1}{-\dfrac{1}{2}}, $f'(x)$ est du signe de son numérateur.

Le discriminant de $-2x^2-2x+1$ est $\Delta=12$, donc ce dernier a deux racines réelles distinctes : $x_1=\dfrac{2-2\sqrt{3}}{-4}=\dfrac{-1+\sqrt{3}}{2}$ et $x_2=\dfrac{-1-\sqrt{3}}{2}$.\\
$x_2<-1$ et $x_1>-\dfrac{1}{2}$.

D'où le tableau suivant :

\begin{minipage}{0.6\linewidth}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3,color,colorL=corrigenumbg!10,colorC=corrigenumbg!10,colorV=corrigenumbg!10]{$x$/0.8,$x-1$/0.5,$-2x^2-2x+1$/0.5,$f'(x)$/0.5,$f$/1}{$-1$,$-\frac{1}{2}$}
\tkzTabLine{,-}
\tkzTabLine{,+}
\tkzTabLine{,-}
\tkzTabVar{+/$+\infty$,-/0}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.33\linewidth}
$\begin{aligned}[t]
f\left(-\dfrac{1}{2}\right) & =\dfrac{\left\vert 2\times\left(-\frac{1}{2}\right)^2-\left(-\frac{1}{2}\right)-1\right\vert}{\sqrt{1-\left(-\frac{1}{2}\right)^2}}\\
& = \dfrac{\left\vert\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-1\right\vert}{\sqrt{\frac{3}{4}}}\\
& = 0
\end{aligned}$
\end{minipage}
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Sur \intervOO{-\dfrac{1}{2}}{1}, $P(x)<0$ donc $f(x)=\dfrac{-2x^2+x+1}{\sqrt{1-x^2}}$.\\
Ainsi, $f$ est de la forme $\dfrac{u}{v}$, avec :
\begin{multicols}{2}
$u(x)=-2x^2+x+1$\\
$u'(x)=-4x+1$

$v(x)=\sqrt{1-x^2}$\\
$v'(x)=\dfrac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}}=\dfrac{-x}{\sqrt{1-x^2}}$
\end{multicols}

D'où :
\begin{align*}
f'(x) & = \dfrac{u'v-uv'}{v^2}(x)\\
& = \dfrac{(-4x+1)\sqrt{1-x^2}-\frac{-x(-2x^2+x+1)}{\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2}\\
& = \dfrac{(-4x+1)(1-x^2)+x(-2x^2+x+1)}{(1-x^2)\sqrt{1-x^2}}\\
\Aboxed{f'(x) & = \dfrac{2x^3-3x+1}{(1-x^2)\sqrt{1-x^2}}}
\end{align*}

\item \og 1 \fg{}  est une racine évidente du polyn\^ome $2x^3-3x+1$. Ainsi, ce dernier peut se factoriser sous la forme $(x-1)(ax^2+bx+c)$.\\
Il faut donc que :
\begin{align*}
2x^3-3x+1 & = (x-1)(ax^2+bx+c)\\
 & = ax^3+bx^2+cx-ax^2-bx-c\\
 & = ax^3+(b-a)x^2+(c-b)x-c
\end{align*}
D'où $a=2$, $c=-1$ et donc $b=2$.\\
Ainsi, $f'(x)=\dfrac{(x-1)(2x^2+2x-1)}{(1-x^2)\sqrt{1-x^2}}$.\\
Le dénominateur de $f'(x)$ étant toujours strictement positif sur \intervOO{-1}{-\dfrac{1}{2}}, $f'(x)$ est du signe de son numérateur.\\
Le discriminant de $2x^2+2x-1$ est $\Delta=12$, donc ce dernier a deux racines réelles distinctes :

$x_1=\dfrac{-2-2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{-1-\sqrt{3}}{2}$ et $x_2=\dfrac{-1+\sqrt{3}}{2}$.

$x_1<-\dfrac{1}{2}$ et $x_2\in\intervOO{-\dfrac{1}{2}}{1}$.

D'où le tableau suivant :

\medskip

\begin{minipage}{0.7\linewidth}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorL=corrigenumbg!10,colorC=corrigenumbg!10,colorV=corrigenumbg!10,lgt=3]{$x$/1.5,$x-1$/0.5,$2x^2+2x-1$/0.5,$f'(x)$/0.5,$f$/1}{$-\dfrac{1}{2}$,$\dfrac{-1+\sqrt{3}}{2}$,1}
\tkzTabLine{,-,,-}
\tkzTabLine{,-,z,+}
\tkzTabLine{,+,z,-,d}
\tkzTabVar{-/0,+/,-/0}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
$\begin{aligned}[t]
f\left(x_2\right) & = \dfrac{5\left(\sqrt{3}-1\right)}{2\sqrt{2\sqrt{3}}}
\end{aligned}$
\end{minipage}
\end{enumerate}

\medskip


\item Le tableau de variations complet de $f$ est :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorL=corrigenumbg!10,colorC=corrigenumbg!10,colorV=corrigenumbg!10]{$x$/1.5,$f$/1}{$-1$,$-\dfrac{1}{2}$,$\dfrac{-1+\sqrt{3}}{2}$,1}
\tkzTabVar{+/$+\infty$,-/0,+/,-/0}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}

On a alors la courbe suivante :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt, fill = white] (img) {
\begin{tikzpicture}[xscale=6,yscale=1.75]
\draw[->,>=stealth'] (-1.1,0) -- (1.1,0);
\draw[->,>=stealth'] (0,0) -- (0,3.5);
\node[below] at (-0.5,0) {$-\frac{1}{2}$};
\node[below] at (1,0) {1};
\node[below] at (-1,0) {$-1$};
\node[below] at (0,0) {0};
\draw (0.02,1) -- (-0.02,1) node[above left] {1};
\pgfmathparse{(-1+sqrt(3))/2}\let\x\pgfmathresult
\draw[dashed] (\x,0) node[below] {$\frac{-1+\sqrt{3}}{2}$} -- (\x,{abs(2*\x*\x-\x-1)/sqrt(1-\x*\x)});
\draw[thick,red,<->,>=stealth'] ({\x-0.2},{abs(2*\x*\x-\x-1)/sqrt(1-\x*\x)}) -- ({\x+0.2},{abs(2*\x*\x-\x-1)/sqrt(1-\x*\x)});
\draw[dashed,green!50!black] (-1,0) -- (-1,3.4);
\clip (-1,0) rectangle (1.1,3.5);
\draw[thick,red,->,>=stealth'] (1,0) -- (1,0.5);
\draw[thick,red,->,>=stealth'] (-0.5,0) -- (-0.25,{3/(2*sqrt(3))});
\draw[thick,red,->,>=stealth'] (-0.5,0) -- (-0.75,{3/(2*sqrt(3))});
\draw[thick,color=cyan] plot[domain=-.99:.9999999,samples=1000] (\x,{abs(2*\x*\x-\x-1)/sqrt(1-\x*\x)});
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{img}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{enumerate}
