
L'existence d'une asymptote horizontale est directement liée à l'existance d'une limite finie en $+\infty$ ou $-\infty$.

Calculons donc, par exemple, $\limite{x}{+\infty}{f(x)}$ en notant que $f(x)$ peut s'écrire:
\begin{align*}
f(x) & = \dfrac{-3x+1}{x-5}\\
& = \dfrac{x\left(-3+\frac{1}{x}\right)}{x\left(1-\frac{5}{x}\right)}, \quad x\neq0\\
& = \dfrac{-3+\frac{1}{x}}{1-\frac{5}{x}},\quad x\neq0.
\end{align*}
Or, $\limite{x}{+\infty}{\dfrac{1}{x^n}}=0$ pour $n\in\N$. Ainsi, par quotient, on a:
\[
\limite{x}{+\infty}{f(x)}=-3.
\]
Ainsi, la courbe représentative de la fonction $f$ admet une asymptote horizontale d'équation $y=-3$.
