
\subsectionnn{A}
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item $\limite{x}{-\infty}{\dfrac{1}{x}}=0$ donc $\limite{x}{-\infty}{\e^{\frac{1}{x}}}=\e^0=1$.

Ainsi, par somme, $\limite{x}{-\infty}{f(x)}=-\infty$.

\item De même, $\limite{x}{+\infty}{f(x)}=+\infty$.

\item $\limite[x<0]{x}{0}{\dfrac{1}{x}}=-\infty$ et $\limite{X}{-\infty}{\e^X}=0$ donc $\limite[x<0]{x}{0}{\e^\frac{1}{x}}=0$.

Ainsi, $\limite[x<0]{x}{0}{f(x)}=0$.

\item $\limite[x>0]{x}{0}{\dfrac{1}{x}}=+\infty$ et $\limite{X}{+\infty}{\e^X}=+\infty$ donc $\limite[x>0]{x}{0}{\left(-\e^\frac{1}{x}\right)}=-\infty$.

Ainsi, par somme, $\limite[x>0]{x}{0}{f(x)}=-\infty$.
\end{enumerate}

\item $f'(x)=1-\left(-\dfrac{1}{x^2}\right)\e^{\frac{1}{x}}=1+\dfrac{1}{x^2}\e^{\frac{1}{x}}>0$ pour tout $x$ non nul.

Par conséquent, $f$ est strictement croissante sur \intervOO{-\infty}{0} et sur \intervOO{0}{+\infty}.

\item $f$ est continue et strictement croissante sur \intervOO{0}{+\infty}.

De plus, $\limite[x>0]{x}{0}{f(x)}=-\infty$ et $\limite{x}{+\infty}{f(x)}=+\infty$. Ainsi, 0 est une valeur intermédiaire entre $\limite[x>0]{x}{0}{f(x)}$ et $\limite{x}{+\infty}{f(x)}$.

D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe donc une unique valeur $\alpha$ sur \intervOO{0}{+\infty} telle que $f(\alpha)=0$.

À la calculatrice, on trouve: $\alpha \approx 1,76$.
\end{enumerate}

\newpage

\subsectionnn{B}

Notons $\ell$ la limite de \suite{u}{n}{}. Alors, $\ell > 0$ car $u_n$ est une exponentielle.

De plus, l'égalité $u_{n+1}=\e^{\frac{1}{u_n}}$ prise à la limite donne:
\begin{align*}
\ell = \e^{\frac{1}{\ell}} & \iff \ell - \e^{\frac{1}{\ell}} = 0\\
& \iff f(\ell) = 0.
\end{align*}
Or, l'unique solution de l'équation $f(x)=0$ est $\alpha$.

Donc $\ell= \alpha$.
