
\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
\e^x=\dfrac{1}{x} & \iff \e^{-x}=x\\
& \iff x-\e^{-x}=0
\end{aligned}$

\underline{Ainsi, $x$ est solution de $(E)$ si et seulement si $f(x)=0$.}

\item
\begin{enumerate}
\item $f'(x)=1+\e^{-x}>0$ car une exponentielle est toujours strictement positive.

\underline{Ainsi, $f$ est strictement croissante sur \R.}

\item
\begin{itemize}
\item $\limite{x}{-\infty}{\e^{-x}}=\limite{X}{+\infty}{\e^X}=+\infty$ donc $\limite{x}{-\infty}{\left(-\e^{-x}\right)}=-\infty$ ;

par somme, $\limite{x}{-\infty}{f(x)}=-\infty<0$ ;
\item $\limite{x}{+\infty}{\e^{-x}}=\limite{X}{-\infty}{\e^X}=0$ donc $\limite{x}{+\infty}{f(x)}=+\infty>0$ ;
\item $f$ est continue et strictement croissante sur \R.
\end{itemize}

Par conséquent, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (théorème de la bijection), il existe une unique valeur $\alpha$ sur \R{} telle que $f(\alpha)=0$.

\item $f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{2}-\e^{-\frac{1}{2}}\approx-0,12$ et $f(1)=1-\e^{-1}\approx0,63>0$ donc $\alpha\in\intervFF{\dfrac{1}{2}}{1}$.

\item La fonction $f$ est strictement croissante sur \intervFF{0}{\alpha} et $\alpha\in\intervFF{\dfrac{1}{2}}{1}$ donc $f(x)<0$ sur \intervFF{0}{\alpha}.
\end{enumerate}

\item $\begin{aligned}[t]
g(x)=x & \iff \dfrac{1+x}{1+\e^x}=x\\
& \iff 1+x=x(1+\e^x)\\
& \iff 1+x=x+x\e^x\\
& \iff 1=x\e^x\\
& \iff \dfrac{1}{\e^x}=x\\
& \iff x-\dfrac{1}{\e^x}=0\\
& \iff x-\e^{-x}=0\\
& \iff f(x)=0
\end{aligned}$

\item $\alpha$ est l'unique solution de l'équation $f(x)=0$, donc l'unique solution de l'équation \mbox{$g(x)=x$} car les deux équations sont équivalentes.

\item $\begin{aligned}[t]
g'(x)&=\dfrac{1\times(1+\e^x)-(1+x)\times\e^x}{(1+\e^x)^2}\\
& = \dfrac{1+\e^x-\e^x-x\e^x}{(1+\e^x)^2}\\
& = \dfrac{1-x\e^x}{(1+\e^x)^2}
\end{aligned}$

Ainsi, $g'(x)>0\iff 1-x\e^x>0$ car $(1+\e^x)^2>0$ pour tout réel $x$.

Or, $\begin{aligned}[t]
1-x\e^x>0 & \iff 1>x\e^x \iff \dfrac{1}{\e^x}>x\\
& \iff x-\e^{-x}<0 \iff f(x)<0\\
& \iff x\in\intervFO{0}{\alpha}
\end{aligned}$

\underline{Ainsi, $g$ est croissante sur \intervFF{0}{\alpha}.}

\item
\begin{itemize}
\item $u_0=0$ et $u_1=g(u_0)=g(0)=\dfrac{1}{2}$ donc $0\leqslant u_0 \leqslant u_1 \leqslant \alpha$.\\
L'initialisation est faite.

\item Supposons que pour un entier $n$ donné, $0\leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant \alpha$.

Comme $g$ est croissante sur \intervFF{0}{\alpha}, alors,
\[ g(0) \leqslant g(u_n) \leqslant g(u_{n+1}) \leqslant g(\alpha)\;,\]
soit :
\[ \dfrac{1}{2}\leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n+2} \leqslant \alpha\]

car $g(\alpha)=\alpha$ d'après la question 4.

Comme $0<\dfrac{1}{2}$, on a bien :

\[0\leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n+2} \leqslant \alpha.\]

L'hérédité est alors vérifiée ; par conséquent, pour tout entier naturel $n$,
\[\boxed{0\leqslant u_{n} \leqslant u_{n+1} \leqslant \alpha.}\]
\end{itemize}

\item De la question précédente, on déduit que \suite{u}{n}{} est croissante et majorée.

Or, \emph{toute suite croissante et majorée converge}.

\underline{Donc, \suite{u}{n}{} converge.}

\item De l'égalité $u_{n+1}=g(u_n)$, on déduit :
\begin{align*}
\limite{n}{+\infty}{u_{n+1}} & =\limite{n}{+\infty}{g(u_n)}\\
\ell & = g\left(\limite{n}{+\infty}{u_n}\right)\qquad\text{car $g$ est continue}\\
\Aboxed{\ell & = g(\ell)}
\end{align*}

Ainsi, $\ell$ est solution de l'équation $g(x)=x$. Or, $\alpha$ est l'unique solution de cette équation.

\underline{Donc $\limite{x}{+\infty}{u_n}=\alpha$.}

\item On a :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt, fill = pagecorrige!20] (tab) {
\begin{tabular}{|*2{Sc|}}
\hline\rowcolor{corrigenumbg!30}
$n$ & $u_n$\\
\hline
\hline
0 & 0\\
\hline
1 & $0,5$\\
\hline
2 & \numprint{0,5663110032}\\
\hline
3 & \numprint{0,567143165}\\
\hline
4 & \numprint{0,5671432904}\\
\hline
\end{tabular}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}

\bigskip

Ainsi, $u_4\approx\numprint{0,567143}$.
\end{enumerate}
