TM  Table des matières

1 Fonctions trigonométriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

ii TABLE DES MATIÈRES

1  Fonctions trigonométriques

1 Fonctions sinus et cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  2
1 Parité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  2
2 Périodicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  3
3 Courbes représentatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  3
4 Dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  4
5 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  4
2 Équations et inéquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  5
1 Équations du type cos(x) = a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  5
2 Inéquations du type cos(x) ⩽ a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  6
Exercices types . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  7
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  8
Corrigés des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  12

Dans ce chapitre

1 1 Fonctions sinus et cosinus

1 1 Parité

Définition 1 • On dit qu’une fonction est paire si son domaine de définition D est centré en 0 et si, pour tout x dans D,

f(−x) = f(x).

• On dit qu’une fonction est impaire si son domaine de définition D est centré en 0 et si, pour tout x dans D, f(−x) = −f(x).

Propriété 1 • La fonction x ↦ cos(x) est paire.

• La fonction x ↦ sin(x) est impaire.

Démonstration 1 • Fonction x ↦ cos(x).

Son domaine de définition est ℝ, donc centré en 0. De plus, nous avons :

O M(x) M′(−x)

Ainsi, cos(−x) = cos(x). La fonction x ↦ cos(x) est donc paire.

• Fonction x ↦ sin(x).

Son domaine de définition est ℝ, donc centré en 0. De plus, nous avons :

O sin(x) sin(−x) M(x) M′(−x) // //

Ainsi, sin(−x) = − sin(x) (car M et M′ sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses).

2 2 Périodicité

Définition 2 On dit qu’une fonction f est T T T-périodique si son domaine de définition D est centré en 0 et si, pour tout réel de D,

f(x + T) = f(x).

Propriété 2 Les fonctions x ↦ cos(x) et x ↦ sin(x) sont 2π-périodiques.

Démonstration 2 La longueur du cercle trigonométrique est égale à 2π. Ainsi, les nombres x et x + 2π auront la même image sur le cercle trigonométrique, ce qui signifie que :

cos(x) = cos(x + 2π)  et  sin(x) = sin(x + 2π).

De plus, les deux fonctions sont définies sur ℝ (qui est centré en 0). Donc x ↦ cos(x) et x ↦ sin(x) sont 2π-périodiques.

Remarque 1 On peut aussi dire que les fonctions sont périodiques de période 2π.

3 3

Courbes représentatives

• Le fait de dire que les fonctions x ↦ cos(x) et x ↦ sin(x) sont 2π-périodiques signifie que si on prend n’importe quel intervalle d’amplitude 2π, le motif de la courbe représentative trouvé sur cet intervalle pourra se répéter. On peut alors tracer les courbes représentatives sur l’intervalle [−π; π] , et déduire la totalité des courbes par trans-

lations de vecteurs \begin{matrix}�� \\ u \end{matrix}\binom{2kπ}{0} , k ∈ ℤ^{∗}.

• Le fait de dire que x ↦ cos(x) est paire signifie que sa courbe représentative est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées (car f(−x) = f(x)). De plus, le fait de dire que x ↦ sin(x) est impaire signifie que sa courbe représentative est symétrique par rapport à l’origine du repère (car f(−x) = −f(x)).

On peut alors tracer les courbes représentatives sur l’intervalle [0 ; π], et déduire les courbes par symétries (axiale ou centrale).

Au final, les courbes représentatives sont les suivantes :

cos(x) sin(x) 0\frac{π}{2} π\frac{3π}{2} 2π −\frac{π}{2} −π −\frac{3π}{2} −2π Motifs répétés par translations

4 4 Dérivées

Propriété 3 • La dérivée de la fonction x ↦ cos(x) est la fonction x ↦ − sin(x).

• La dérivée de la fonction x ↦ sin(x) est la fonction x ↦ cos(x).

Remarque 2 Un moyen mnémotechnique pour se souvenir de cette formule est de dire que dériver revient à tourner de 90^{∘} dans le sens des aiguilles d’une montre :

\begin{matrix}− cos \\ cos \end{matrix} ; \begin{matrix}− sin \\ sin \end{matrix} ; O

Propriété 4 Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I de ℝ.

• La dérivée de la fonction x ↦ cos[u(x)] est :

x ↦ −u′(x) × sin[u(x)].

• La dérivée de la fonction x ↦ sin[u(x)] est :

x ↦ u′(x) × cos[u(x)].

Exemple 1 • Soit f la fonction définie sur ℝ par : f(x) = cos(e^{x}). Alors,

f′(x) = −e^{x} sin(e^{x}).

• Soit g la fonction définie sur ℝ par : g(x) = sin(−3x + 5). Alors,

g′(x) = −3 cos(−3x + 5).

5 5 Limites

Propriété 5 • lim_{x→0} ( \frac{sin(x)}{x}) = 1  • lim_{x→0} ( \frac{cos(x) − 1}{x} ) = 0

Démonstration 3 On utilise la règle de l’Hospital (vue dans un exercice du chapitre 3) ou un taux d’accroissement.

2 2 Équations et inéquations

1 1 Équations du type cos(x) = a

\begin{matrix}− cos \\ cos \end{matrix} ; \begin{matrix}− sin \\ sin \end{matrix} ; O ; a ; M_{1} ; M_{2} ; x_{1} ; −x_{1}

L’équation cos(x) = a, où −1 ⩽ a ⩽ 1, admet au maximum deux solutions sur ]−π; π] : x_{1} et −x_{1} (représentés ci-dessus sur le schéma).

Dans le cas où a est une valeur remarquable (0, ±\frac{1}{2}, ±\frac{\sqrt{3}}{2} ou ±1), l’équation peut être résolue facilement.

Exemple 2 cos(x) = \frac{\sqrt{3}}{2} ⟺ x = \frac{π}{6} ou x = −\frac{π}{6}.

Si a n’est pas une valeur remarquable, on ne peut résoudre l’équation qu’en donnant des valeurs approchées, sauf dans certains cas où l’énoncé nous guide pour trouver des valeurs exactes.

Exemple 3 On souhaite résoudre l’équation cos(x) = 0, 3 sur ]−π; π] . On peut utiliser :

• la calculatrice : on entre la fonction f(x) = cos(x) − 0, 3, on trace la courbe puis on demande les racines (« ROOT ») [ on adapte en fonction du type de la calculatrice].

• le logiciel Xcas :

• Python :

Code Python 1-1 1 from math import cos,pi 2 from scipy.optimize import bisect 3 4 f = lambda x : cos(x) - 0.3 5 a = bisect(f,-pi,0) 6 7 print(a)

On sait (par lecture graphique) qu’il y a 2 solutions opposées, donc trouver la solution négative (par exemple) suffit. On utilise alors la

fonction bisect(fonction, x0 , x1 du module

scipy.optimize, où x0 et x1 sont les bornes de l’intervalle dans lequel se trouve la solution de l’équation f(x) = 0.

2 2 Inéquations du type cos(x) ⩽ a

\begin{matrix}− cos \\ cos \end{matrix} ; \begin{matrix}− sin \\ sin \end{matrix} ; O ; a ; M_{1} ; M_{2} ; x_{1} ; −x_{1}

Si x_{1} et −x_{1} sont les solutions de l’équation cos(x) = a sur ]−π; π] alors l’inéquation cos(x) ⩽ a a pour ensemble solution :

]−π; −x_{1}] ∪ [x_{1} ; π].

Exemple 4 cos(x) ⩽ \frac{\sqrt{3}}{2} ⟺ x ∈ ]−π; −\frac{π}{6}] ∪ [ \frac{π}{6} ; π].

1

Exercices types

Exercice type 1 ▶ Parité et périodicité Soit f la fonction définie sur ℝ par :

f(x) = 3 sin( 5x − \frac{π}{4}) .

1 La fonction f est-elle paire ? Impaire ? Justifier. 2 Montrer que f est périodique de période \frac{2π}{5} . 3 Donner alors un intervalle d’étude de f possible. 4 D 1 On calcule pour tout réel x :

f(−x) = 3 sin( 5(−x) − \frac{π}{4})

= 3 sin( −5x − \frac{π}{4}) .

f(−x) ≠ f(x) donc f n’est pas paire.

f(−x) ≠ −f(x) donc f n’est pas impaire. 2 On calcule :

f ( x + \frac{2π}{5} ) = 3 sin[5 × ( x + \frac{2π}{5} ) − \frac{π}{4}]

= 3 sin( 5x + 2π − \frac{π}{4})

= 3 sin( 5x − \frac{π}{4})

= f(x).

Ainsi, f est bien périodique de période \frac{2π}{5} . 3 f est périodique de période \frac{2π}{5} donc on peut l’étudier sur tout intervalle d’amplitude \frac{2π}{5} . Un intervalle d’étude

peut donc être [0 ; \frac{2π}{5} ].

Exercices^{1}

2 2

Équations et inéquations trigonométriques

Exercice 1.1 (équations trigonométriques)

�

�

mathweb.fr Résoudre sur [0 ; 2π[ les équations suivantes.

1 cos(x) = \frac{1}{2}  2 sin(x) = \frac{1}{2}

Solution page 12

Exercice 1.2 (équations trigonométriques)

�

�

mathweb.fr Résoudre les équations suivantes sur ] − π; π] :

1 cos(x) = −\frac{\sqrt{3}}{2}  2 sin(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}

Solution page 12

Exercice 1.3 (équation se ramenant au second degré)

��

�

mathweb.fr 1 Montrer que \sqrt{16 + 8\sqrt{3}} = 2 + 2\sqrt{3}. 2 Résoudre sur [0 ; 2π] l’équation :

4 cos^{2}(x) + 2(\sqrt{3} − 1) cos(x) − \sqrt{3} = 0.

Solution page 12

Exercice 1.4 (équation se ramenant au second degré)

���

�

mathweb.fr On considère l’équation d’inconnue x suivante :

81^{sin^{2} (x)} + 81^{cos^{2} (x)} = 30.  (E)

1 Résoudre l’équation :

v^{2} − 30v + 81 = 0.

2 En déduire les solutions de (E).

Solution page 13

2 2 Limites

Exercice 1.5 (avec le cosinus)

�

�

mathweb.fr Calculer les limites suivantes :

1 lim_{x→0} \frac{cos(3x) − 1}{3x}  2 lim_{x→0} \frac{cos(3x) − 1}{x}

Solution page 14

Exercice 1.6 (avec le sinus)

��

�

mathweb.fr Calculer les limites suivantes :

1 lim_{x→0} \frac{sin(5x)}{5x}  2 lim_{x→0} \frac{3x}{sin(3x)}  3 lim_{x→0} \frac{x}{sin(7x)}

Solution page 14

2 2

Étude de fonctions

Exercice 1.7 (calcul trigonométrique)

�

�

mathweb.fr Soit f la fonction définie pour tout réel x par :

f(x) = ( cos(x) + sin(x))^{2} + ( cos(x) − sin(x))^{2}.

Montrer que f est une fonction constante.

Solution page 14

Exercice 1.8 (étude d’une fonction)

�

�

mathweb.fr On définit la fonction f par :

f(x) = \frac{cos(x)}{1 + sin(x)} .

1 Déterminer le domaine de définition D_{f} de f.

2 Montrer que f est périodique.

3 Déterminer f′(x), puis en déduire le sens de variations de f sur ]−\frac{π}{2} ; \frac{3π}{2} [ .

Solution page 14

Exercice 1.9 (parité et périodicité)

�

�

mathweb.fr On considère la fonction définie sur ℝ par : f(x) = sin^{3} x cos(3x). Montrer que f est π-périodique et impaire.

Solution page 15 Exercice 1.10 (parité et périodicité)

�

�

mathweb.fr On considère la fonction définie sur ℝ par :

f(x) = cos^{3} x cos(3x).

Montrer que f est π-périodique et paire.

Solution page 16

Exercice 1.11 (en sciences physiques)

�

�

mathweb.fr En sciences physiques, notamment en électricité ou en acoustique, on rencontre souvent des fonctions f de la forme :

f(t) = a sin(ωt + φ)

où φ est appelé la phase et ω, la pulsation. Montrer que pour tout réel t :

f′′(t) + ω^{2}f(t) = 0.

Solution page 16

Exercice 1.12 (étude d’une fonction)

��

�

mathweb.fr On considère la fonction f définie sur ]−\frac{π}{4} ; \frac{π}{4}[ par :

f(x) = \frac{sin(x) + cos(x)}{sin(x) − cos(x)} .

1 Calculer f′(x).

2 En déduire alors le sens de variations de f.

Solution page 16

Exercice 1.13 (étude d’une fonction)

��

�

mathweb.fr On considère la fonction f(x) = cos(x) − 1 + \frac{1}{2}x^{2} définie sur ℝ.

1 Calculer f′(x) puis f′′(x).

2 Montrer que f′′(x) ⩾ 0 pour tout réel x et en déduire les variations de la fonction f′.

3 Calculer f′(0) et en déduire les variations de f sur ℝ.

4 Montrer alors que pour tout réel x, cos(x) ⩾ 1 − \frac{1}{2}x^{2}.

5 En considérant une autre fonction g(x), montrer de la même façon que pour tout réel x, cos(x) ⩽ 1 − \frac{1}{2}x^{2} +

\frac{1}{24}x^{4}.

6 Donner un encadrement de cos \frac{π}{50}. Sachant que \frac{π^{4}}{150 000 000} < 10^{−6} , que cela vous inspire-t-il pour la

valeur approchée de cos \frac{π}{50} à 10^{−6} près ?

Solution page 17 Exercice 1.14 (avec une suite numérique et un soupçon de Python)

���

�

mathweb.fr On souhaite étudier la suite (u_{n}) définie par u_{0} = 1 et, pour tout entier naturel n,

u_{n+1} = cosu_{n}.

1 Écrire un programme Python permettant de calculer tous les termes jusqu’à u_{30}.

On peut ainsi conjecturer que la suite converge. 2 Écrire un programme Python permettant de calculer tous les termes jusqu’à ce que la différence entre deux

termes consécutifs devienne inférieure ou égale à 10^{−5} , en affichant l’indice de chaque terme. 3 La suite semble-t-elle monotone ?

On pose pour tout entier naturel n :

v_{n} = u_{2n} .

4 Exprimer v_{n+1} en fonction de v_{n}. 5 Montrer que la fonction f : x ↦ cos(cos(x)) est croissante sur ]0 ; 1]. 6 Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, 0 < v_{n+1} < v_{n} ⩽ 1. 7 Déduire alors que la suite converge. Donner alors une valeur approchée de sa limite à 10^{−6} près.

Solution page 18

Exercice 1.15 (pour aller plus loin)

���

�

mathweb.fr On considère le programme Python suivant :

Code Python 1-4

1 def factorielle(n):
2  if n == 0:
3  return 1
4  return n * factorielle(n-1)

5

6 def sin(x,n):
7  s = 0
8  for k in range((n+1)//2):
9  s += (-1)**k * x**(2*k+1) / factorielle(2*k+1)
10  return s

On admet que la fonction factorielle(n) renvoie la valeur n!, c’est-à-dire le résultat de l’opération : 1 × 2 × 3 × ⋯× (n − 1) × n.

1 Implémentez ce programme et testez-le en appelant :

    • sin(0.5236,5)  • sin(0.7854,5)  • sin(0.7854,100)

2 Calculez avec votre calculatrice \frac{π}{6} et \frac{π}{4}, puis sin \frac{π}{6} et sin \frac{π}{4}. Comparez les résultats obtenus avec ceux de la question précédente. Qu’est-ce que cela vous inspire ?

3 Testez le programme avec sin(2.0944,100) ( \frac{2π}{3} ≈ 2, 0944) .

Quelle conclusion peut-on faire ? 4 Testez le programme avec sin(40,100). Que cela vous inspire-t-il ?

Solution page 19

Corrigés^{1}

mathweb.fr Corrigé de l’exercice 1.1 page 8

1

cos(x) = \frac{1}{2} ⟺ cos(x) = cos \frac{π}{3}

⟺ x = \frac{π}{3} ou x = −\frac{π}{3} sur [0 ; 2π[.

2

sin(x) = \frac{1}{2} ⟺ sin(x) = sin \frac{π}{6}

⟺ x = \frac{π}{6} ou x = π − \frac{π}{6} = \frac{5π}{6} sur [0 ; 2π[.

mathweb.fr Corrigé de l’exercice 1.2 page 8

1

cos(x) = −\frac{\sqrt{3}}{2} ⟺ cos(x) = − cos \frac{π}{6}

⟺ cos(x) = cos( π − \frac{π}{6})

⟺ cos(x) = cos( \frac{5π}{6} )

⟺ x = \frac{5π}{6} ou x = −\frac{5π}{6} sur ] − π; π].

2

sin(x) = \frac{\sqrt{2}}{2} ⟺ sin(x) = sin( \frac{π}{4})

⟺ x = \frac{π}{4} ou x = \frac{3π}{4} sur ] − π; π].

mathweb.fr Corrigé de l’exercice 1.3 page 8

1 \begin{aligned}(2 + 2\sqrt{3})^{2} & = 4 + 8\sqrt{3} + 4 × 3 \\ & = 16 + 8\sqrt{3}. \end{aligned}

Comme 2 + 2\sqrt{3} > 0,

(2 + 2\sqrt{3})^{2} = 16 + 8\sqrt{3} ⟺ 2 + 2\sqrt{3} = \sqrt{16 + 8\sqrt{3}} .

2 Pour résoudre sur [0 ; 2π] l’équation :

4 cos^{2}(x) + 2(\sqrt{3} − 1) cos(x) − \sqrt{3} = 0 ,

on pose :

X = cos(x).

Ainsi, l’équation est équivalente à :

4X^{2} + 2(\sqrt{3} − 1)X − \sqrt{3} = 0.

C’est une équation du second degré, dont le discriminant vaut :

Δ = [2(\sqrt{3} − 1)]^{2} − 4 × (−\sqrt{3}) × 4

= 4(3 − 2\sqrt{3} + 1) + 16\sqrt{3} = 12 − 8\sqrt{3} + 4 + 16\sqrt{3}

= 16 + 8\sqrt{3}
= (2 + 2\sqrt{3})^{2}.

mathweb.fr Ainsi, il y a deux solutions distinctes à notre équation :

X_{1} = \frac{−2(\sqrt{3} − 1) − (2 + 2\sqrt{3})}{8} = \frac{−4\sqrt{3}}{8} = \frac{\sqrt{3}}{2}.
X_{2} = \frac{−2(\sqrt{3} − 1) + (2 + 2\sqrt{3})}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}.

Si on se ramène à présent à x, l’inconnue de départ, on a :

\{ \begin{matrix}cos(x_{1}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ cos(x_{2}) = \frac{1}{2} \end{matrix} ⟺ \{ \begin{matrix}x_{1} = \frac{π}{6} ou x_{1} = \frac{11π}{6} \\ x_{2} = \frac{π}{3} ou x_{2} = \frac{5π}{3} . \end{matrix}

L’ensemble solution de l’équation est alors :

S = \{ \frac{π}{6} ; \frac{π}{3} ; \frac{5π}{3} ; \frac{11π}{6} \}

mathweb.fr Corrigé de l’exercice 1.4 page 8

1 Le discriminant de v^{2} − 30v + 81 est :

Δ = (−30)^{2} − 4 × 1 × 81 = 576 = 24^{2}.

Donc l’équation v^{2} − 30v + 81 = 0 admet deux solutions :

v_{1} = \frac{30 − 24}{2} = 3  et  v_{2} = 27.

2 En posant v = 81^{sin^{2} (x)} , et en tenant compte du fait que pour tout réel x, cos^{2}(x) = 1 − sin^{2}(x),

(E) ⟺ v + \frac{81}{v} = 30
⟺ v^{2} + 81 = 30v
⟺ v^{2} − 30v + 81 = 0
⟺ v = 3 ou v = 27
⟺ (3^{4})^{sin^{2} (x)} = 3 ou (3^{4})^{sin^{2} (x)} = 3^{3}
⟺ 3^{4 sin^{2} (x)} = 3^{1} ou 3^{4 sin^{2} (x)} = 3^{3}

⟺ 4 sin^{2}(x) = 1 ou 4 sin^{2}(x) = 3
⟺ sin^{2}(x) = \frac{1}{4} ou sin^{2}(x) = \frac{3}{4}

⟺ sin(x) = −\frac{\sqrt{2}}{2} ou sin(x) = \frac{\sqrt{2}}{2} ou sin(x) = −\frac{\sqrt{3}}{2} ou sin(x) = \frac{\sqrt{3}}{2}.

L’ensemble solution de l’équation 81^{sin^{2} (x)} + 81^{cos^{2} (x)} = 30 est donc :

S = \{ −\frac{\sqrt{2}}{2} ; \frac{\sqrt{2}}{2} ; −\frac{\sqrt{3}}{2} ; \frac{\sqrt{3}}{2}\}

mathweb.fr Corrigé de l’exercice 1.5 page 9 Nous allons nous appuyer sur le résultat du cours suivant : lim_{x→0} \frac{cos(x) − 1}{x} = 0.

1 lim_{x→0} \frac{cos(3x) − 1}{3x} = lim_{y→0} \frac{cos(y) − 1}{y} = 0 (en ayant posé y = 3x).

2 lim_{x→0} \frac{cos(3x) − 1}{x} = lim_{x→0} 3 × \frac{cos(3x) − 1}{3x} = 3 × lim_{y→0} \frac{cos(y) − 1}{y} = 0 (en ayant posé y = 3x).

mathweb.fr Corrigé de l’exercice 1.6 page 9 Pour cet exercice, nous allons nous appuyer sur le résultat du cours suivant : lim_{x→0} \frac{sin(x)}{x} = 1.

1 En posant y = 5x, on voit que lim_{x→0}(y) = 0, d’où :

lim_{x→0} \frac{sin(5x)}{5x} = lim_{y→0} \frac{sin(y)}{y} = 1.

2 D’après le même raisonnement que celui adopté à la question précédente, on peut écrire :

lim_{x→0} \frac{sin(3x)}{3x} = 1.

Par conséquent,

lim_{x→0} \frac{3x}{sin(3x)} = lim_{x→0} \frac{1}{\frac{sin(3x)}{3x}} = \frac{1}{1} = 1.

3 On a :

lim_{x→0} \frac{x}{sin(7x)} = lim_{x→0} \frac{1}{7} × \frac{7x}{sin(7x)} = \frac{1}{7} lim_{x→0} \frac{7x}{sin(7x)}.

D’après un raisonnement analogue à celui de la réponse à la question précédente, on peut écrire :

lim_{x→0} \frac{7x}{sin(7x)} = 1

donc :

lim_{x→0} \frac{x}{sin(7x)} = \frac{1}{7}.

mathweb.fr Corrigé de l’exercice 1.7 page 9 Développons f(x) :

f(x) = ( cos(x) + sin(x))^{2} + ( cos(x) − sin(x))^{2}
= cos^{2} x +[figure: 2 cos(x) sin(x)] + sin^{2} x + cos^{2} x −[figure: 2 cos(x) sin(x)] + sin^{2} x
= 2(cos^{2} x + sin^{2} x)
= 2 × 1
= 2.

mathweb.fr Corrigé de l’exercice 1.8 page 9

1 f(x) est défini quand 1 + sin(x) ≠ 0.

Or, 1 + sin(x) = 0 ⟺ sin(x) = −1 ⟺ x = −\frac{π}{2} + 2kπ, k ∈ ℤ.

Ainsi, le domaine de définition de f est D_{f} = ℝ \ \{−\frac{π}{2} + 2kπ, k ∈ ℤ\} . mathweb.fr 2 On sait que cos(x + 2π) = cos(x) et sin(x + 2π) = sin(x). Par conséquent, f(x + 2π) = f(x).

Ainsi, f est 2π-périodique.

3 f est de la forme \frac{u}{v}, avec u(x) = cos(x) et v(x) = 1 + sin(x).

Ainsi, f′ est de la forme \frac{u′v − uv′}{v^{2}} , avec u′(x) = − sin(x) et v′(x) = cos(x).

f′(x) = \frac{− sin(x)(1 + sin(x)) − cos^{2} x}{(1 + sin(x))^{2}}

= \frac{− sin(x) − sin^{2} x − cos^{2} x}{(1 + sin(x))^{2}}

= \frac{− sin(x) − (sin^{2} x + cos^{2} x)}{(1 + sin(x))^{2}}

f′(x) = −\frac{sin(x) + 1}{(1 + sin(x))^{2}} car cos^{2} x + sin^{2} x = 1 pour tout réel x.

Or, pour tout réel x ∈ ]−\frac{π}{2} ; \frac{3π}{2} [ , −1 ⩽ sin(x) ⩽ 1 donc 0 ⩽ sin(x) + 1 ⩽ 2.

De plus, (1 + sin(x))^{2} > 0 donc f′(x) < 0 sur ]−\frac{π}{2} ; \frac{3π}{2} [ .

Ainsi, f est strictement décroissante sur ]−\frac{π}{2} ; \frac{3π}{2} [ .

mathweb.fr Corrigé de l’exercice 1.9 page 9

• Montrons d’abord que f est π-périodique.

f(x + π) = [sin(x + π)]^{3} cos[3(x + π)]
= [ − sin(x)]^{3} cos(3x + 3π)
= − sin^{3} x cos(3x + π)
= − sin^{3} x[ − cos(3x)]
= sin^{3} x cos(3x)
f(x + π) = f(x)

La fonction f est donc π-périodique ; on peut donc restreindre l’intervalle d’étude de f à un intervalle d’amplitude π, par exemple [−\frac{π}{2} ; \frac{π}{2}] .

• Montrons que f est impaire. Le domaine de définition de f est centré en 0. De plus,

f(−x) = [sin(−x)]^{3} cos(−3x)
= [ − sin(x)]^{3} cos(3x)
= − sin^{3} x cos(3x)

f(−x) = −f(x)

La fonction f est donc impaire ; on peut donc réduire l’intervalle d’étude précédent à sa moitié, donc

à [0 ; \frac{π}{2}].

15 mathweb.fr Corrigé de l’exercice 1.10 page 10

• Montrons d’abord que f est π-périodique.

f(x + π) = [cos(x + π)]^{3} cos(3(x + π))
= [ − cos(x)]^{3} cos(3x + 3π)
= − cos^{3} x cos(3x + π)
= − cos^{3} x( − cos(3x))
= cos^{3} x cos(3x)
f(x + π) = f(x)

Donc f est π-périodique.

On peut donc réduire l’intervalle d’étude à un intervalle d’amplitude π, par exemple [−\frac{π}{2} ; \frac{π}{2}] .

• Montrons que f est paire. D’abord, le domaine de définition de f est centré en 0. De plus, f(−x) = [cos(−x)]^{3} cos(−3x) = [cos(x)]^{3} cos(3x) = cos^{3} x cos(3x) f(−x) = f(x)

Donc f est paire.

mathweb.fr Corrigé de l’exercice 1.11 page 10 f(t) = a sin(ωt + φ) donc :

f′(t) = a × ω cos(ωt + φ).

En effet, on sait que la dérivée de x ↦ sin(x) est x ↦ cos(x). De plus, on sait que la dérivée de f(at + b) est af′(at + b).

Sur le même principe, on a alors :

f′′(t) = aω × (−ω sin(ωt + φ) = −aω sin(ωt + φ) = −ω^{2}f(t).

Ainsi,

f′′(t) + ω^{2}f(t) = −ω^{2}f(t) + ω^{2}f(t) = 0.

Remarque 4 On dit alors que f est solution de l’équation y′′+ ω^{2}y = 0, équation dont l’inconnue est une fonction y. Quand une équation de ce type admet comme inconnue une fonction, mais aussi sa dérivée et/ou sa dérivée seconde, on parle d’équation différentielle. On parlera de ce type d’équations dans le chapitre ??.

mathweb.fr Corrigé de l’exercice 1.12 page 10

1 f est de la forme \frac{u}{v} avec :

u(x) = sin(x) + cos(x) u′(x) = cos(x) − sin(x) v(x) = sin(x) − cos(x) v′(x) = cos(x) + sin(x) mathweb.fr Ainsi,

f′(x) = \frac{(cos(x) − sin(x))(sin(x) − cos(x)) − (sin(x) + cos(x))(cos(x) + sin(x))}{(sin(x) − cos(x))^{2}}

= \frac{−(sin(x) − cos(x))^{2} −(sin(x) + cos(x))^{2}}{(sin(x) − cos(x))^{2}}

= \frac{− sin^{2} x + 2 sin(x) cos(x) − cos^{2} x − sin^{2} x − 2 sin(x) cos(x) − cos^{2} x}{(sin(x) − cos(x))^{2}}

= \frac{−2 sin^{2} x − 2 cos^{2} x}{(sin(x) − cos(x))^{2}}

= \frac{−2(cos^{2} x + sin^{2} x)}{(sin(x) − cos(x))^{2}}

= \frac{−2}{(sin(x) − cos(x))^{2}} car cos^{2} x + sin^{2} x = 1.

2 On en déduit que f′(x) < 0 sur ]−\frac{π}{4} ; \frac{π}{4}[ (car −2 < 0 et (sin(x) − cos(x))^{2} > 0). Ainsi, f est strictement décroissante sur ]−\frac{π}{4} ; \frac{π}{4}[ .

mathweb.fr Corrigé de l’exercice 1.13 page 10

1 f′(x) = − sin(x) + x et f′′(x) = − cos(x) + 1. 2 On sait que pour tout réel x,

−1 ⩽ − cos(x) ⩽ 1

donc, en ajoutant 1 à chaque membre de cet encadrement, on a :

0 ⩽ f′′(x) ⩽ 2.

Donc f′′(x) ⩾ 0 sur ℝ, ce qui signifie que f′ est croissante sur ℝ. 3 f′(0) = − sin0 + 0 = 0. Or, f′ est croissante sur ℝ donc :

x f′(x) f(x) −∞ 0 +∞ − 0 + 0 0

f(0) = cos0 − 1 + \frac{1}{2} × 0^{2} = 1 − 1 + 0 = 0.

4 Des variations de f, on déduit que f(x) ⩾ 0 sur ℝ, dont :

cos(x) − 1 + \frac{1}{2}x^{2} ⩾ 0

soit :

cos(x) ⩾ 1 − \frac{1}{2}x^{2}

5 Considérons la fonction g(x) = cos(x) − 1 + \frac{1}{2}x^{2} − \frac{1}{24}x^{4}.

Alors, g′(x) = − sin(x) + x − \frac{1}{6}x^{3} et g′′(x) = − cos(x) + 1 − \frac{1}{2}x^{2} = −f(x). Ainsi, pour tout réel x, g′′(x) ⩽ 0, ce qui signifie que g′ est décroissante sur ℝ. g′(0) = − sin0 + 0 = 0 d’où : mathweb.fr

x g′(x) g(x) −∞ 0 +∞ + 0 − 0 0

Par conséquent, g(x) ⩽ 0 sur ℝ, ce qui signifie que :

cos(x) ⩽ 1 + \frac{1}{2}x^{2} + \frac{1}{24}x^{4}.

6 De ce qui vient d’être fait, on peut écrire :

∀ x ∈ ℝ, 1 − \frac{x^{2}}{2} ⩽ cos(x) ⩽ 1 − \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{24}.

En prenant x = \frac{π}{50}, cela donne :

1 − \frac{π^{2}}{5 000} ⩽ cos \frac{π}{50} ⩽ 1 − \frac{π^{2}}{5 000} + \frac{π^{4}}{150 000 000}.

Puisque \frac{π^{4}}{150 000 000} < 10^{−6} , on peut alors considérer qu’une valeur approchée de cos \frac{π}{50} à 10^{−6} près est

1 − \frac{π^{2}}{5 000}

mathweb.fr Corrigé de l’exercice 1.14 page 11

1 Un programme Python possible est le suivant :

Code Python 1-6

1 from math import cos
2 u = 1
3 for n in range(31):
4  u = cos(u)
5  print('n = {} et u = {}'.format(n,u))
n =  0  et u =  0.5403023058681398
n =  1  et u =  0.8575532158463933
n =  2  et u =  0.6542897904977792

[...]

n =  29  et u =  0.7390870426953322
n =  30  et u =  0.7390838469650002

2 Un programme Python possible est le suivant :

Code Python 1-7

1 from math import cos
2 u,n = 1,0
3 while abs(u-cos(u)) > 10**(-8):
4  u = cos(u)
5  print('n = {} et u = {}'.format(n,u))
6  n += 1

mathweb.fr

n =  0  et u =  0.5403023058681398
n =  1  et u =  0.8575532158463933
n =  2  et u =  0.6542897904977792

[...]

n =  42  et u =  0.7390851219886894
n =  43  et u =  0.7390851407774467
n =  44  et u =  0.7390851281211138

3 À la vue des termes calculés, la suite ne semble pas monotone.

En effet, u_{0} < u_{1}, u_{1} > u_{2}, u_{2} < u_{3}, etc. 4 Pour tout entier naturel n,

v_{n+1} = u_{2(n+1)}
= u_{2n+2}
= u_{2n+1 +1}
= cos(u_{2n+1} )
= cos( cos(u_{2n}))
v_{n+1} = cos( cos(v_{n}))

5 f(x) = cos(cos(x)) donc f′(x) = − sin(x) × [ − sin(cos(x))] = sin(x) × sin(cos(x)).

Sur ]0 ; 1], sin(x) ⩾ 0 ; de plus, cos(x) > 0 donc sin(cos(x)) > 0. Ainsi, f′(x) ⩾ 0. La fonction f est donc croissante sur ]0 ; 1].

6 • Initialisation : pour n = 0, v_{0} = 1 et v_{1} ≈ 0, 86 donc 0 < v_{1} < v_{0} ⩽ 1.

• Hérédité : supposons que pour un entier k fixé, 0 < v_{k+1} < v_{k} ⩽ 1.

Alors, f(0) < f(v_{k+1} ) < f(v_{k}) ⩽ f(1) car f est croissante sur ]0 ; 1]. Or, f(0) = cos(cos0) ≈ 0, 54 > 0 et f(1) = cos(cos1) ≈ 0, 86 < 1. Donc 0 < f(v_{k+1} ) < f(v_{k}) ⩽ 1, soit 0 < v_{k+2} < v_{k+1} ⩽ 1. L’hérédité est alors vérifiée.

Ainsi, pour tout entier naturel n, 0 < v_{n+1} < v_{n} ⩽ 1.

• D’après ce qui vient d’être démontré, (v_{n}) est décroissante et minorée (par 0). Donc elle converge. Sa limite est donc le nombre ℓ tel que ℓ = f(ℓ). Or, v_{n} = u_{2n} donc la limite de (v_{n}) est celle de (u_{n}). D’après les valeurs données par les algorithmes précédents, on en déduit que \underline{ℓ ≈ 0,739 085}.

mathweb.fr Corrigé de l’exercice 1.15 page 11

1 En testant le programme, nous avons successivement :

>>> sin(0.5236,5)

0.500003192986266

>>> sin(0.7854,5)

0.707144345044458

>>> sin(0.7854,100)

0.7071080798594735

2 Avec la calculatrice, on trouve que \frac{π}{6} ≈ 0, 5236, \frac{π}{4} ≈ 0, 7854. De plus, sin \frac{pi}{6} = 0, 5 et sin \frac{π}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} ≈ 0, 7071067811865476. On constate alors que l’on retrouve à peu près les mêmes valeurs que celles obtenues à la question 1. mathweb.fr On peut alors supposer que la fonction sin(x,n) renvoie la valeur de sin(x), l’argument « n » pouvant éventuellement servir pour affiner la précision de la valeur renvoyée.

3 On a :

>>> sin(2.0944,100) 0.8660229549706501

Or, sin \frac{2π}{3} = sin \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} ≈ 0, 8660254037844386. Cela nous conforte dans l’idée que nous avons émise précédemment : la fonction renvoie le sinus de la valeur x.

4 On a :

>>> sin(40,100) -62.42184391235605

Un sinus étant toujours compris entre −1 et 1, ce dernier résultat ne doit pas nous inspirer quelque chose de positif... La fonction semble avoir ses limites. Par curiosité, j’ai souhaité savoir à partir de quelle valeur entière de x la différence entre sin(x) et le résultat renvoyé par la fonction était supérieur à 1. J’ai dû pour cela renommer ma fonction en « f(x,n) » car j’ai importé la fonction sin du module math :

Code Python 1-8

1 from math import sin

2

3 def factorielle(n):
4  if n == 0:
5  return 1
6  return n * factorielle(n-1)

7

8 def f(x,n):
9  s = 0
10  for k in range((n+1)//2):
11  s += (-1)**k * x**(2*k+1) / factorielle(2*k+1)
12  return s

13

14 x = 0
15 while abs( f(x,100) - sin(x) ) < 1:
16  x += 1

17

18 print("Pour x = {}, la fonction renvoie {}; or, sin({})={}.\nLa différence est :
    {}".format(x, f(x,100), x, sin(x), abs(sin(x)-f(x,100))))

Il affiche x = 39, avec une différence de 5,26 entre sin(39) et f(39, 100). En modifiant légèrement ce dernier programme, on constate que pour x < 30, la différence est inférieure à 2 × 10^{−5} ; ceci nous pousse à constater que la fonction f(x,100) donne une très bonne approximation de sin(x) pour des valeurs inférieures à 30.