\chapter{Fonctions trigonométriques}

\newpage

\section{Fonctions sinus et cosinus}

\subsection{Parité}

\begin{defin}
\begin{itemize}
\item On dit qu'une fonction est \textbf{paire} si son domaine de définition $\mathcal{D}$ est centré en 0 et si, pour tout $x$ dans $\cal D$, $f(-x)=f(x)$.

\item On dit qu'une fonction est \textbf{impaire} si son domaine de définition $\mathcal{D}$ est centré en 0 et si, pour tout $x$ dans $\cal D$, $f(-x)=-f(x)$.
\end{itemize}
\end{defin}

\begin{prop}
\begin{itemize}
\item La fonction $x\mapsto\cos(x)$ est paire.
\item La fonction $x\mapsto\sin(x)$ est impaire.
\end{itemize}
\end{prop}

\begin{demo}
\begin{itemize}
\item Fonction $x\mapsto\cos(x)$.

Son domaine de définition est \R, donc centré en 0.

De plus, nous avons :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1.8]
\draw[thick,->,>=latex] (-1.2,0) -- (1.5,0);
\draw[thick,->,>=latex] (0,-1.2) -- (0,1.2);
\node[below left] at (0,0) {$O$};
\draw[thick] (0,0) circle (1);
\draw[dashed] (50:1)--(-50:1);
\fill[red] (50:1) circle (0.6pt) node[above right] {$M(x)$};
\fill[red] (-50:1) circle (0.6pt) node[below right] {$M'(-x)$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
Ainsi, $\cos(-x) = \cos(x)$. La fonction $x\mapsto\cos(x)$ est donc paire.

\item Fonction $x\mapsto\sin(x)$.

Son domaine de définition est \R, donc centré en 0.

De plus, nous avons :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1.8]
\draw[thick,->,>=latex] (-1.2,0) -- (1.5,0);
\draw[thick,->,>=latex] (0,-1.2) -- (0,1.2);
\node[below left] at (0,0) {$O$};
\draw[thick] (0,0) circle (1);
\draw[dashed] (50:1)--(0,{sin(50)}) node[left] {$\sin(x)$};
\draw[dashed] (-50:1)--(0,{sin(-50)}) node[left] {$\sin(-x)$};
\fill[red] (50:1) circle (0.6pt) node[above right] {$M(x)$};
\fill[red] (-50:1) circle (0.6pt) node[below right] {$M'(-x)$};
\draw[thick,cyan] (0,0)--(0,{sin(50)}) node[midway,rotate=90] {//};
\draw[thick,cyan] (0,0)--(0,{sin(-50)}) node[midway,rotate=90] {//};
\end{tikzpicture}
\end{center}
Ainsi, $\sin(-x) = -\sin(x)$ (car $M$ et $M'$ sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses).
\end{itemize}
\end{demo}

\subsection{Périodicité}

\begin{defin}
On dit qu'une fonction $f$ est \textbf{$\pmb{T}$-périodique} si son domaine de définition $\cal D$ est centré en 0 et si, pour tout réel de $\cal D$,
\[
f(x+T)=f(x).
\]
\end{defin}


\begin{prop}
Les fonctions $x\mapsto\cos(x)$ et $x\mapsto\sin(x)$ sont $2\pi$-périodiques.
\end{prop}

\begin{demo}
La longueur du cercle trigonométrique est égale à $2\pi$. Ainsi, les nombres $x$ et $x+2\pi$ auront la même image sur le cercle trigonométrique, ce qui signifie que :
\[
\cos(x)=\cos(x+2\pi)\qquad\text{et}\qquad\sin(x)=\sin(x+2\pi).
\]
De plus, les deux fonctions sont définies sur \R (qui est centré en 0).

Donc $x\mapsto\cos(x)$ et $x\mapsto\sin(x)$ sont $2\pi$-périodiques.
\end{demo}

\begin{rem}
On peut aussi dire que les fonctions sont périodiques de période $2\pi$.
\end{rem}

\subsection{Courbes représentatives}

\begin{itemize}
\item Le fait de dire que les fonctions $x\mapsto\cos(x)$ et $x\mapsto\sin(x)$ sont $2\pi$-périodiques signifie que si on prend n'importe quel intervalle d'amplitude $2\pi$, le motif de la courbe représentative trouvé sur cet intervalle pourra se répéter. 

On peut alors tracer les courbes représentatives sur l'intervalle \intervFF{-\pi}{\pi}, et déduire la totalité des courbes par translations de vecteurs $\vv{u}\dbinom{2k\pi}{0}$, $k\in\Z*$.

\item Le fait de dire que $x\mapsto\cos(x)$ est paire signifie que sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (car $f(-x)=f(x)$).

De plus, le fait de dire que $x\mapsto\sin(x)$ est impaire signifie que sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'origine du repère (car $f(-x)=-f(x)$).

\medskip

On peut alors tracer les courbes représentatives sur l'intervalle \intervFF{0}{\pi}, et déduire les courbes par symétries (axiale ou centrale).
\end{itemize}

Au final, les courbes représentatives sont les suivantes:

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex]
\draw[->,thick] (-7,0) -- (7,0);
\draw[->,thick] (0,-2) -- (0,2);
\draw[orange] plot[domain=-7:7,samples=100] (\x,{1.5*cos(180*\x/3.14159)});
\draw[red!50!black,very thick] plot[domain=-3.14:3.14,samples=100] (\x,{1.5*cos(180*\x/3.14159)});
\draw[cyan] plot[domain=-7:7,samples=100] (\x,{1.5*sin(180*\x/3.14159)});
\draw[blue!50!black,very thick] plot[domain=-3.14:3.14,samples=100] (\x,{1.5*sin(180*\x/3.14159)});
\draw[thick,orange] (-7,2.5) -- (-6,2.5) node[right] {$\cos(x)$};
\draw[thick,cyan] (-7,2) -- (-6,2) node[right] {$\sin(x)$};
\node[below right] at (0,0) {0};
\node[below left] at ({3.14159/2},0) {$\frac{\pi}{2}$};
\node[below left] at ({3.14159},0) {$\pi$};
\node[below right] at ({3*3.14159/2},0) {$\frac{3\pi}{2}$};
\node[below right] at ({2*3.14159},0) {$2\pi$};
%
\node[below right] at ({-3.14159/2},0) {$-\frac{\pi}{2}$};
\node[below right] at ({-3.14159},0) {$-\pi$};
\node[below left] at ({-3*3.14159/2},0) {$-\frac{3\pi}{2}$};
\node[below left] at ({-2*3.14159},0) {$-2\pi$};
%
\draw[dashed] (-3.14,-2) -- (-3.14,2);
\draw[dashed] (3.14,-2) -- (3.14,2);
%
\node[right,yscale=1.3] (n) at (3.4,1.8) {Motifs répétés par translations};
\draw[<-,cyan] (0.3,{1.5*sin(180*0.3/3.14159)}) -- (n.west);
\draw[<-,orange] (0.3,{1.5*cos(180*0.3/3.14159)}) -- (n.west);
\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Dérivées}

\begin{prop}
\begin{itemize}
\item La dérivée de la fonction $x\mapsto\cos(x)$ est la fonction $x\mapsto-\sin(x)$.
\item La dérivée de la fonction $x\mapsto\sin(x)$ est la fonction $x\mapsto\cos(x)$.
\end{itemize}
\end{prop}

\begin{rem}
Un moyen mnémotechnique pour se souvenir de cette formule est de dire que dériver revient à tourner de $90^\circ$ dans le sens des aiguilles d'une montre :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1.5]
\draw[thick,->,>=latex] (-1.2,0) node[below left] {$-\cos$} -- (1.5,0) node[below] {$\cos$};
\draw[thick,->,>=latex] (0,-1.2) node[right] {$-\sin$} -- (0,1.2) node[right] {$\sin$};
\node[below left] at (0,0) {$O$};
\draw[thick] (0,0) circle (1);
\draw[->,>=latex] (60:1.5) arc(60:30:1.5);
\draw[->,>=latex] (-30:1.5) arc(-30:-60:1.5);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{rem}

\begin{prop}
Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ de \R.
\begin{itemize}
\item La dérivée de la fonction $x \mapsto \cos\big[ u(x) \big]$ est:
\[
x \mapsto -u'(x) \times \sin\big[u(x) \big].
\]

\item La dérivée de la fonction $x \mapsto \sin\big[ u(x) \big]$ est:
\[
x \mapsto u'(x) \times \cos\big[ u(x) \big].
\]
\end{itemize}
\end{prop}

\begin{exemple}
\begin{itemize}
\item Soit $f$ la fonction définie sur \R par: $f(x) = \cos\left( \e^x \right)$. Alors,
\[
f'(x) = -\e^x\sin\big(\e^x\big).
\]

\item Soit $g$ la fonction définie sur \R par: $g(x) = \sin(-3x+5)$. Alors,
\[
g'(x) = -3\cos(-3x+5).
\]
\end{itemize}
\end{exemple}

\subsection{Limites}

\begin{prop}
\begin{itemize}
\begin{multicols}{2}
\item $\limite{x}{0}{\left(\dfrac{\sin(x)}{x}\right)}=1$
\item $\limite{x}{0}{\left(\dfrac{\cos(x)-1}{x}\right)}=0$
\end{multicols}
\end{itemize}
\end{prop}

\begin{demo}
On utilise la règle de l'Hospital (vue dans un exercice du chapitre 3) ou un taux d'accroissement.
\end{demo}

\section{\'Equations et inéquations}


\subsection{\'Equations du type cos(x) = cos(a)}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=3]
\draw[thick,->,>=latex] (-1.2,0) node[below left] {$-\cos$} -- (1.5,0) node[below] {$\cos$};
\draw[thick,->,>=latex] (0,-1.2) node[right] {$-\sin$} -- (0,1.2) node[right] {$\sin$};
\node[below left] at (0,0) {$O$};
\draw[thick] (0,0) circle (1);
\draw[thick,red,dashed] ({sqrt(3)/2},-1) node[below] {$a$} -- ({sqrt(3)/2},1);
\draw[orange] (0,0) -- (30:1);
\fill[orange] (30:1) circle(1pt) node[right] {$M_1$};
\draw[purple] (0,0) -- (-30:1) node[right] {$M_2$};
\fill[purple] (-30:1) circle(1pt);
\draw[orange,->,>=latex] (0.3,0) arc (0:30:0.3);
\draw[purple,->,>=latex] (0.5,0) arc (0:-30:0.5);
\node[orange,right] at (15:0.3) {$a$};
\node[purple,right] at (-15:0.5) {$-a$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{prop}
L'équation $\cos(x)=\cos(a)$ admet une infinité de solutions sur \R, notées:
\[
x = a + 2k\pi \text{ ou } x = -a+2k\pi\quad,\quad k\in\Z.
\]
\end{prop}

\begin{exemple}
L'équation $\cos(x) = \dfrac{\sqrt3}{2}$ admet pour ensemble solution sur \R:
\[
\mathcal{S} = \left\{ \dfrac{\pi}{6}+2k\pi ~;~ -\dfrac{\pi}{6}+2k\pi\quad,\quad k\in\R\right\}.
\]
\end{exemple}

\begin{rem}
Si l'on souhaite les solutions sur \intervFF{0}{2\pi} ou sur n'importe quel autre intervalle, il suffit de prendre toutes les valeurs de $k$ pour lesquelles on obtient des valeurs dans l'intervalle.
\end{rem}

\begin{exemple}
L'équation $\cos(x) = \dfrac{\sqrt3}{2}$ admet pour ensemble solution sur \intervFF{0}{2\pi}:
\[
\mathcal{S} = \left\{ \dfrac{\pi}{6} ~;~ \dfrac{11\pi}{6}\quad,\quad k\in\R\right\}.
\]
\end{exemple}

\newpage

Si $a$ n'est pas un angle de référence (ou un angle qui peut s'y ramener), on ne peut résoudre l'équation qu'en donnant des valeurs approchées, sauf dans certains cas où l'énoncé nous guide pour trouver des valeurs exactes.

\begin{exemple}
On souhaite résoudre l'équation $\cos(x) = 0,3$ sur \intervOF{-\pi}{\pi}.

On peut utiliser:
\begin{itemize}
\item \textit{la calculatrice} : on entre la fonction $f(x)=\cos(x) - 0,3$, on trace la courbe puis on demande les racines (\og ROOT \fg) [ on adapte en fonction du type de la calculatrice].
\begin{center}
\includegraphics{trigo-fig01}
\quad
\includegraphics{trigo-fig02}
\quad
\includegraphics{trigo-fig03}
\quad
\includegraphics{trigo-fig04}
\end{center}
\item \textit{le logiciel Xcas} : 
\begin{center}
\includegraphics[scale=2]{trigo-fig05}
\end{center}
\item \textit{Python} :

\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{python}
from math import cos,pi
from scipy.optimize import bisect

f = lambda x : cos(x) - 0.3
a = bisect(f,-pi,0)

print(a)
\end{python}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
On sait (par lecture graphique) qu'il y a 2 solutions opposées, donc trouver la solution négative (par exemple) suffit. On utilise alors la fonction \texttt{bisect(fonction, x0 , x1} du module \texttt{scipy.optimize}, où \texttt{x0} et \texttt{x1} sont les bornes de l'intervalle dans lequel se trouve la solution de l'équation $f(x)=0$.
\end{minipage}
\end{itemize}
\end{exemple}


\newpage

\subsection{\'Equation du type sin(x) = a}

\begin{minipage}{9cm}
\begin{tikzpicture}[scale=2.5]
\draw[thick,->,>=latex] (-1.2,0) node[below left] {$-\cos$} -- (1.5,0) node[below] {$\cos$};
\draw[thick,->,>=latex] (0,-1.2) node[right] {$-\sin$} -- (0,1.2) node[right] {$\sin$};
\node[below left] at (0,0) {$O$};
\draw[thick] (0,0) circle (1);
\draw[thick,red,dashed] (1,0.5) -- (-1,0.5);
\draw[orange] (0,0) -- (30:1);
\fill[orange] (30:1) circle(1pt) node[right] {$M_1$};
\draw[purple] (0,0) -- (150:1) node[left] {$M_2$};
\fill[purple] (150:1) circle(1pt);
\draw[orange,->,>=latex] (0.3,0) arc (0:30:0.3);
\draw[purple,->,>=latex] (0.5,0) arc (0:150:0.5);
\node[orange,right] at (15:0.3) {$a$};
\node[purple,above, outer ysep=2mm] at (120:0.5) {$\pi-a$};
\end{tikzpicture}
\end{minipage}
\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-9cm}
\begin{prop}
L'équation $\sin(x)=\sin(a)$ admet pour solutions sur \R:
\[
x = a + 2k\pi \text{ ou }x=\pi-a+2k\pi\quad,\quad k\in\Z.
\]
\end{prop}

\begin{exemple}
L'équation $\sin(x)=\dfrac{1}{2}$ admet pour ensemble solution sur $\intervFF{0}{2\pi}$:
\[
\mathcal{S}=\left\{ \dfrac{\pi}{6}~;~\dfrac{5\pi}{6} \right\}.
\]
\end{exemple}
\end{minipage}

\subsection{Inéquations du type cos(x) $\leqslant$ cos(a) ou sin(x) $\geqslant$ sin(a)}


\begin{methode}
On place les points images des angles $a$ et $-a$ sur le cercle trigonométrique, et on visualise les points du cercle dont le cosinus est inférieur ou égal à celui de $a$.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=3]
\draw[thick,->,>=latex] (-1.2,0) node[below left] {$-\cos$} -- (1.5,0) node[below] {$\cos$};
\draw[thick,->,>=latex] (0,-1.2) node[right] {$-\sin$} -- (0,1.2) node[right] {$\sin$};
\node[below left] at (0,0) {$O$};
\draw[thick] (0,0) circle (1);
\draw[thick,red,dashed] ({sqrt(3)/2},-1) node[below] {$a$} -- ({sqrt(3)/2},1);
\draw[gray] (0,0) -- (30:1);
\fill[gray] (30:1) circle(1pt) node[right] {$M_1$};
\draw[gray] (0,0) -- (-30:1) node[right] {$M_2$};
\fill[gray] (-30:1) circle(1pt);
\draw[gray,->,>=latex] (0.3,0) arc (0:30:0.3);
\draw[gray,->,>=latex] (0.5,0) arc (0:-30:0.5);
\node[gray,right] at (15:0.3) {$a$};
\node[gray,right] at (-15:0.5) {$-a$};
\draw[very thick,green!50!black,->,>=latex] (-1,0) arc(-180:-30:1);
\draw[very thick,orange,->,>=latex] (30:1) arc(30:180:1);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{methode}

\begin{exemple}
On souhaite résoudre l'inéquation $\cos(x) \leqslant \dfrac{\sqrt3}{2}$ sur \intervOF{-\pi}{\pi}.
\[
\cos(x) \leqslant \dfrac{\sqrt3}{2} \iff x \in {\color{green!50!black}\intervOF{-\pi}{-\dfrac{\pi}{6}}} \cup {\color{orange}\intervFF{\dfrac{\pi}{6}}{\pi}}.
\]
\end{exemple}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\exotype


\begin{exercicetype}{parité et périodicité}{}
Soit $f$ la fonction définie sur \R par:
\[
f(x)=3\sin\left(5x-\dfrac{\pi}{4}\right).
\]
\begin{enumerate}
\item La fonction $f$ est-elle paire ? Impaire ? Justifier.
\item Montrer que $f$ est périodique de période $\dfrac{2\pi}{5}$.
\item Donner alors un intervalle d'étude de $f$ possible.
\item Déterminer la dérivée de $f$.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item On calcule pour tout réel $x$:
\begin{align*}
f(-x) & = 3\sin\left(5(-x)-\dfrac{\pi}{4}\right)\\
      & = 3\sin\left(-5x-\dfrac{\pi}{4}\right).
\end{align*}


$f(-x) \neq f(x)$ donc $f$ n'est pas paire.

$f(-x) \neq -f(x)$ donc $f$ n'est pas impaire.

\item On calcule:
\begin{align*}
f\left(x + \dfrac{2\pi}{5}\right) & = 3\sin\left[5\times\left(x+\dfrac{2\pi}{5}\right)-\dfrac{\pi}{4}\right]\\
& = 3\sin\left(5x+2\pi-\dfrac{\pi}{4}\right)\\
& = 3\sin\left(5x-\dfrac{\pi}{4}\right)\\
& = f(x).
\end{align*}
Ainsi, $f$ est bien périodique de période $\dfrac{2\pi}{5}$.

\item $f$ est périodique de période $\dfrac{2\pi}{5}$ donc on peut l'étudier sur tout intervalle d'amplitude $\dfrac{2\pi}{5}$. 

\medskip

Un intervalle d'étude peut donc être \intervFF{0}{\dfrac{2\pi}{5}}.

\item $f = 3\cos(u)$ avec $u(x)=5x-\dfrac{\pi}{4}$ et $u'(x)=5$ donc:
\[
f' = 3 \times \big[ -u' \times \sin(u) \big]
\]
soit:
\[
f'(x) = -15\sin\left(5x-\dfrac{\pi}{4}\right).
\]
\end{enumerate}
\end{exercicetype}

%%%

\newpage

\begin{exercicetype}{dérivées}{}
Déterminer la dérivée des fonctions suivantes.
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{3}
\item $f(x)=2\sin(x)\cos(x)$
\item $g(x)=\sin\left(\dfrac{1}{x^2+1}\right)$
\item $h(x)=\cos^3(x)$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $f = 2uv$ avec $\begin{aligned}[t]
u(x)=\sin(x) & \qquad;\qquad u'(x)=\cos(x)\\
v(x)=\cos(x) & \qquad;\qquad v'(x)=-\sin(x)
\end{aligned}$

Ainsi,
\begin{align*}
f'(x) & = 2(u'v+v'u)(x)\\
      & = 2\big[ \cos^2(x) -\sin^2(x) \big]\\
      & = 2\big[ 1-\sin^2(x)-\sin^2(x) \big]\\
\Aboxed{ f'(x) & = 2\big[ 1 - 2\sin^2(x) \big]}
\end{align*}

\item $g = \sin(u)$ avec $u = \dfrac{1}{v}$, où $v(x)=x^2+1$.

Ainsi,
\[
u'(x) = -\dfrac{v'(x)}{\big[v(x)\big]^2} = -\dfrac{2x}{x^2+1}
\]
et donc:
\begin{align*}
g'(x) & = u'(x) \times \cos\big[ u(x) \big ]\\
\Aboxed{g'(x) & = -\dfrac{2x}{x^2+1}\cos\left(\dfrac{1}{x^2+1}\right)}
\end{align*}

\item $h = u^3$, avec $u(x)=\cos(x)$ et $u'(x)=-\sin(x)$.

Ainsi,
\begin{align*}
h'(x) & = 3 \times u'(x) \times u^2(x)\\
      & = 3 \times \big(-\sin(x)\big) \times \cos^2(x)\\
\Aboxed{h'(x) & = -3\sin(x)\cos^2(x)}
\end{align*}
\end{enumerate}
\end{exercicetype}

%%%


\begin{exercicetype}{limite}{}
Calculer $\limite{x}{0}{\left(\dfrac{\sin(4x)}{3x}\right)}$.

\tcblower

$\dfrac{\sin(4x)}{3x} = \dfrac{\sin(4x)}{4x} \times \dfrac{4}{3}=\dfrac{4}{3}\times\dfrac{\sin(X)}{X}$ en posant $X=4x$.

\medskip 

Or, $\limite{X}{0}{\left(\dfrac{\sin(X)}{X}\right)}=0$ d'après le cours donc:
\[
\limite{x}{0}{\left(\dfrac{\sin(4x)}{3x}\right)} = \dfrac{4}{3}\times\limite{x}{0}{\left(\dfrac{\sin(4x)}{4x}\right)} = \dfrac{4}{3}\times0 = 0.
\]
\end{exercicetype}

\newpage

\begin{exercicetype}{équations}{}
Résoudre les équations suivantes sur l'intervalle $I$ donné:
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $\cos(x)+1=\dfrac{1}{2}$, $I=\intervFO{0}{2\pi}$
\item $1+\sin(5x)=\dfrac{2-\sqrt3}{2}$, $I=\intervFF{-\dfrac{\pi}{5}}{\dfrac{\pi}{5}}$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
\cos(x)+1=\dfrac{1}{2} & \iff \cos(x)=\dfrac{1}{2}-1\\
& \iff \cos(x)=-\dfrac{1}{2}\\
& \iff x = \dfrac{2\pi}{3} \text{ ou }x = \dfrac{4\pi}{3}.
\end{aligned}$

L'ensemble solution de l'équation $\cos(x)+1=\dfrac{1}{2}$ sur \intervFO{0}{2\pi} est donc:
\[
\boxed{ \mathcal{S} = \left\{ \dfrac{2\pi}{3}~;~\dfrac{4\pi}{3} \right\} }
\]

\item $\begin{aligned}[t]
1+\sin(5x)=\dfrac{2-\sqrt3}{2} & \iff \sin(5x)=\dfrac{2-\sqrt3}{2}-1\\
& \iff \sin(5x)=\dfrac{2-\sqrt3-2}{2}\\
& \iff \sin(5x)=-\dfrac{\sqrt3}{2}\\
& \iff \sin(5x)=\sin\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)\\
& \iff \left(
\begin{array}{l}
5x = -\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi\\
\text{ou}\\
5x = \pi - \left(-\dfrac{\pi}{3}\right) + 2k\pi
\end{array}\right.,\ k\in\Z\\
& \iff \left(
\begin{array}{l}
x = -\dfrac{\pi}{15} + \dfrac{2k\pi}{5}\\
\text{ou}\\
x = \dfrac{4\pi}{15} +  \dfrac{2k\pi}{5}
\end{array}\right.,\ k\in\Z\\
\end{aligned}$
\begin{itemize}
\item $-\dfrac{\pi}{15} + \dfrac{2\pi}{5} = \dfrac{\pi}{3}>\dfrac{\pi}{5}$ et $-\dfrac{\pi}{15} - \dfrac{2\pi}{5} = -\dfrac{7\pi}{15}<-\dfrac{\pi}{5}$;

\item $\dfrac{4\pi}{15} + \dfrac{2\pi}{5} = \dfrac{2\pi}{3}>\dfrac{\pi}{5}$ et $\dfrac{4\pi}{15} -  \dfrac{2\pi}{5}=-\dfrac{2\pi}{15}>-\dfrac{\pi}{5}$.
\end{itemize}

L'ensemble solution de l'équation $1+\sin(5x)=\dfrac{2-\sqrt3}{2}$ sur $\intervFF{-\dfrac{\pi}{5}}{\dfrac{\pi}{5}}$ est alors:
\[
\boxed{ \mathcal{S} = \left\{ -\dfrac{\pi}{15} ~;~ \dfrac{4\pi}{15} ~;~ -\dfrac{2\pi}{15} \right\} }
\]
\end{enumerate}
\end{exercicetype}

%%%

\newpage

\begin{exercicetype}{inéquations}{}
Résoudre les inéquations suivantes sur l'intervalle $I$ donné:
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $\sin(x)> -\dfrac{\sqrt2}{2}$, $I=\intervFF{-\pi}{\pi}$
\item $\cos(x) \geqslant -\dfrac{1}{2}$, $I=\intervFF{0}{2\pi}$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-10cm}
\item $\sin(x)> -\dfrac{\sqrt2}{2}$.

D'après le schéma, si $x\in\intervFF{-\pi}{\pi}$,
\begin{align*}
\sin(x)> -\dfrac{\sqrt2}{2} & \iff \boxed{ x\in\intervFO{-\pi}{-\dfrac{3\pi}{4}} \cup \intervOF{-\dfrac{\pi}{4}}{\pi} }
\end{align*}
\vspace*{5cm}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{9cm}
\begin{tikzpicture}[scale=3]
\draw[thick,->,>=latex] (-1.2,0) node[below left] {$-\cos$} -- (1.5,0) node[below] {$\cos$};
\draw[thick,->,>=latex] (0,-1.2) node[right] {$-\sin$} -- (0,1.2) node[right] {$\sin$};
\node[below left] at (0,0) {$O$};
\draw[thick] (0,0) circle (1);
% 1er point 
\fill[gray] (-45:1) circle(1pt) node[below right] {$-\frac{\pi}{4}$};
% 2ème point
\fill[gray] (225:1) circle(1pt) node[below left] {$-\pi+\frac{\pi}{4}$};
% 1er arc de cercle
\draw[very thick,green!50!black,->,>=latex] (-1,0) arc(-180:-135:1);
% 2ème arc de cercle
\draw[very thick,orange,->,>=latex] (-45:1) arc(-45:180:1);
% dashed line
\draw[dashed, red] (-135:1) -- (-45:1);
\node[above right, red] at (0,{-sqrt(2)/2}) {$-\frac{\sqrt2}{2}$};
\node[above left] at (-1,0) {$\pi$};
\node[below left] at (-1,0) {$-\pi$};
\end{tikzpicture}
\end{minipage}


\begin{minipage}{\dimexpr\linewidth-10cm}
\item $\cos(x) \geqslant -\dfrac{1}{2}$.

D'après le schéma,
\[
\cos(x) \geqslant -\dfrac{1}{2} \iff x\in\intervFF{0}{\dfrac{2\pi}{3}} \cup \intervFF{\dfrac{4\pi}{3}}{2\pi}.
\]
\vspace*{5cm}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{9cm}
\begin{tikzpicture}[scale=3]
\draw[thick,->,>=latex] (-1.2,0) node[below left] {$-\cos$} -- (1.5,0) node[below] {$\cos$};
\draw[thick,->,>=latex] (0,-1.2) node[right] {$-\sin$} -- (0,1.2) node[right] {$\sin$};
\node[below left] at (0,0) {$O$};
\draw[thick] (0,0) circle (1);
% 1er point 
\fill[gray] (120:1) circle(1pt) node[above left] {$\frac{2\pi}{3}$};
% 2ème point
\fill[gray] (240:1) circle(1pt) node[below left] {$\frac{4\pi}{3}$};
% 1er arc de cercle
\draw[very thick,green!50!black,->,>=latex] (240:1) arc(240:360:1);
% 2ème arc de cercle
\draw[very thick,orange,->,>=latex] (0:1) arc(0:120:1);
% dashed line
\draw[dashed, red] (120:1) -- (240:1);
\node[below right, red] at (-0.5,0) {$-\frac{1}{2}$};
\node[above right] at (1,0) {0};
\node[below right] at (1,0) {$2\pi$};
\end{tikzpicture}
\end{minipage}

\end{enumerate}
\end{exercicetype}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\exercices

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\sectionnn{\'Equations et inéquations trigonométriques}

%%%

\begin{exocor}{équations trigonométriques}[1]
Résoudre sur \intervFO{0}{2\pi} les équations suivantes.
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $\cos(x)=\dfrac{1}{2}$
\item $\sin(x)=\dfrac{1}{2}$
\end{multicols}
\end{enumerate}
\vspace*{-1em}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
\cos(x)=\dfrac{1}{2} & \Longleftrightarrow \cos(x)=\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\\
& \Longleftrightarrow x=\dfrac{\pi}{3}\text{ ou } x=-\dfrac{\pi}{3}\quad\text{ sur }\intervFO{0}{2\pi}.
\end{aligned}$

\medskip

L'ensemble solution est donc:
\[
\boxed{ \mathcal{S} = \left\{ -\dfrac{\pi}{3}~;~\dfrac{\pi}{3} \right\} }
\]

\item $\begin{aligned}[t]
\sin(x)=\dfrac{1}{2} & \Longleftrightarrow \sin(x)=\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)\\
& \Longleftrightarrow x=\dfrac{\pi}{6}\text{ ou }x=\pi-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{5\pi}{6}\quad\text{ sur }\intervFO{0}{2\pi}.
\end{aligned}$

\medskip

L'ensemble solution est donc:
\[
\boxed{ \mathcal{S} = \left\{ \dfrac{\pi}{6}~;~\dfrac{5\pi}{6} \right\} }
\]
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%% 

\begin{exocor}{équations trigonométriques}[1]
Résoudre les équations suivantes sur $]-\pi;\pi]$:
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $\cos(x)=-\dfrac{\sqrt3}{2}$
\item $\sin(x)=\dfrac{\sqrt2}{2}$
\end{multicols}
\end{enumerate}
\vspace*{-1em}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
\cos(x)=-\dfrac{\sqrt3}{2} & \iff \cos(x) = \cos\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)\\
& \iff x = \dfrac{5\pi}{6} \text{ ou }x=-\dfrac{5\pi}{6} \quad \text{sur }]-\pi;\pi].
\end{aligned}$

\medskip

L'ensemble solution est donc:
\[
\boxed{ \mathcal{S} = \left\{ -\dfrac{5\pi}{6}~;~\dfrac{5\pi}{6} \right\} }
\]

\item $\begin{aligned}[t]
\sin(x)=\dfrac{\sqrt2}{2} & \iff \sin(x)=\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\\
& \iff x = \dfrac{\pi}{4}\text{ ou }x = \dfrac{3\pi}{4}\quad\text{sur }]-\pi;\pi].
\end{aligned}$

\medskip

L'ensemble solution est donc:
\[
\boxed{ \mathcal{S} = \left\{ \dfrac{\pi}{4}~;~\dfrac{3\pi}{4} \right\} }
\]
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%% verif 2026 

\begin{exocor}{équation se ramenant au second degré}[2]
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\sqrt{16+8\sqrt3}=2+2\sqrt3$.
\item Résoudre sur \intervFF{0}{2\pi} l'équation:
\[
4\cos^2(x)  + 2\big(\sqrt3-1\big)\cos(x) - \sqrt3 = 0.
\]
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
\big(2+2\sqrt3\big)^2 & = 4 + 8\sqrt3 + 4\times3\\
& = 16+8\sqrt3.
\end{aligned}$

Comme $2+2\sqrt3 > 0$, 
\[
\big(2+2\sqrt3\big)^2 = 16+8\sqrt3 \iff 2+2\sqrt3 = \sqrt{16+8\sqrt3}.
\]

\item Pour résoudre sur \intervFF{0}{2\pi} l'équation:
\[
4\cos^2(x)  + 2\big(\sqrt3-1\big)\cos(x) - \sqrt3 = 0\,,
\]
on pose:
\[
X = \cos (x).
\]
Ainsi, l'équation est équivalente à :
\[
4X^2 + 2\big(\sqrt3-1\big)X - \sqrt3 = 0.
\]
C'est une équation du second degré, dont le discriminant vaut:
\begin{align*}
\Delta & = \Big[2\big(\sqrt3-1\big)\Big]^2 - 4 \times( - \sqrt3)\times4\\
       & = 4(3-2\sqrt3+1)+16\sqrt3\\
       & = 12-8\sqrt3+4+16\sqrt3\\
       & = 16+8\sqrt3\\
       & = \big(2+2\sqrt3\big)^2.
\end{align*}
Ainsi, il y a deux solutions distinctes à notre équation:
\begin{align*}
X_1 & = \dfrac{-2\big(\sqrt3-1\big)-\big(2+2\sqrt3\big)}{8} = \dfrac{-4\sqrt3}{8}=\dfrac{\sqrt3}{2}.\\
X_2& = \dfrac{-2\big(\sqrt3-1\big)+\big(2+2\sqrt3\big)}{8} = \dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}.
\end{align*}
Si on se ramène à présent à $x$, l'inconnue de départ, on a:
\[
\begin{cases}
\cos(x_1) = \dfrac{\sqrt3}{2}\\[8pt]
\cos(x_2) = \dfrac{1}{2}
\end{cases}
\iff
\begin{cases}
x_1 = \frac{\pi}{6}\text{ ou } x_1=\dfrac{11\pi}{6}\\[8pt]
x_2 = \dfrac{\pi}{3}\text{ ou }x_2=\dfrac{5\pi}{3}.
\end{cases}
\]
L'ensemble solution de l'équation est alors:
\[
\boxed{\mathcal{S} = \left\{ \frac{\pi}{6}~;~\frac{\pi}{3}~;~\frac{5\pi}{3}~;~\frac{11\pi}{6} \right\}}
\]
\end{enumerate}
\end{exocor}


%%% verif 2026 

\begin{exocor}{équation se ramenant au second degré}[3]
On considère l'équation d'inconnue $x$ suivante:
\[
81^{\sin^2(x)} + 81^{\cos^2(x)} = 30.\tag{E}
\]
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation:
\[
v^2 -30v + 81=0.
\]
\item En déduire les solutions de $(E)$.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item Le discriminant de $v^2 -30v + 81$ est: $\Delta = (-30)^2 - 4 \times 1 \times 81 = 576 = 24^2$. 

Donc l'équation $v^2 -30v + 81=0$ admet deux solutions $v_1 = \dfrac{30-24}{2}=3$ et $v_2=27$.

\item En posant $v = 81^{\sin^2(x)}$, et en tenant compte du fait que pour tout réel $x$,  $\cos^2(x) = 1-\sin^2(x)$,
\begin{align*}
(E) & \iff v + \frac{81}{v} = 30\\
    & \iff v^2 + 81 = 30v\\
    & \iff v^2 - 30v + 81 = 0\\
    & \iff v = 3\text{ ou } v=27\\
    & \iff \big(3^4\big)^{\sin^2(x)} = 3 \text{ ou } \big(3^4\big)^{\sin^2(x)} = 3^3\\
    & \iff 3^{4\sin^2(x)}=3^1 \text{ ou } 3^{4\sin^2(x)}=3^3\\
    & \iff 4\sin^2(x) = 1 \text{ ou } 4\sin^2(x) = 3\\
    & \iff \sin^2(x) = \dfrac{1}{4} \text{ ou } \sin^2(x) = \dfrac{3}{4}\\
    & \iff \sin(x) = -\dfrac{\sqrt2}{2}\text{ ou }\sin(x)=\dfrac{\sqrt2}{2}\text{ ou }\sin(x)=-\dfrac{\sqrt3}{2}\text{ ou }\sin(x)=\dfrac{\sqrt3}{2}.
\end{align*}
L'ensemble solution de l'équation $81^{\sin^2(x)} + 81^{\cos^2(x)} = 30$ est donc:
\[
\boxed{ \mathcal{S} = \left\{ -\dfrac{\sqrt2}{2}~;\dfrac{\sqrt2}{2}~~;~ -\dfrac{\sqrt3}{2} ~;~ \dfrac{\sqrt3}{2} \right\} }
\]
\end{enumerate}
\end{exocor}

\bigskip

\sectionnn{Limites}

%%% NEW 2025 - verif 2026

\begin{exocor}{avec le cosinus}[1]
Calculer les limites suivantes:
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{2}
\item $\limite{x}{0}{\left(\dfrac{\cos(3x)-1}{3x}\right)}$
\item $\limite{x}{0}{\left(\dfrac{\cos(3x)-1}{x}\right)}$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\tcblower

Nous allons nous appuyer sur le résultat du cours suivant:
$\limite{x}{0}{\left( \dfrac{\cos(x) - 1}{x} \right)} = 0$.
\begin{enumerate}
\item $\limite{x}{0}{\left( \dfrac{\cos(3x)-1}{3x} \right)} = \limite{y}{0}{\left( \dfrac{\cos(y)-1}{y} \right)} = 0$ (en ayant posé $y=3x$).

\item $\limite{x}{0}{\left( \dfrac{\cos(3x)-1}{x} \right)} = \limite{x}{0}{\left( 3\times\dfrac{\cos(3x)-1}{3x} \right) }=3\times\limite{y}{0}{\left( \dfrac{\cos(y)-1}{y}\right)} = 0$ (en ayant posé $y=3x$).
\end{enumerate}
\end{exocor}


%%% NEW 2025 - verif 2026

\begin{exocor}{avec le sinus}[2]
Calculer les limites suivantes:
\begin{enumerate}
\begin{multicols}{3}
\item $\limite{x}{0}{\left(\dfrac{\sin(5x)}{5x}\right)}$
\item $\limite{x}{0}{\left(\dfrac{3x}{\sin(3x)}\right)}$
\item $\limite{x}{0}{\left(\dfrac{x}{\sin(7x)}\right)}$
\end{multicols}
\end{enumerate}

\tcblower

Pour cet exercice, nous allons nous appuyer sur le résultat du cours suivant: $\limite{x}{0}{\left( \dfrac{\sin(x)}{x} \right) } =1$.
\begin{enumerate}
\item En posant $y=5x$, on voit que $\limite{x}{0}{(y)}=0$, d'où:
\[
\limite{x}{0}{\left( \dfrac{\sin(5x)}{5x} \right) } = \limite{y}{0}{\left( \dfrac{\sin(y)}{y} \right)} = 1.
\]

\item D'après le même raisonnement que celui adopté à la question précédente, on peut écrire:
\[
\limite{x}{0}{\left( \dfrac{\sin(3x)}{3x} \right) } = 1.
\]
Par conséquent,
\[
\limite{x}{0}{\left( \dfrac{3x}{\sin(3x)} \right) } = 
\limite{x}{0}{\left[ \dfrac{1}{\frac{\sin(3x)}{3x}} \right]} = \dfrac{1}{1}=1.
\]

\item  On a:
\[
\limite{x}{0}{\left( \dfrac{x}{\sin(7x)} \right)} = \limite{x}{0}{\left(\dfrac{1}{7}\times\dfrac{7x}{\sin(7x)}\right)} = \dfrac{1}{7}\limite{x}{0}{\left(\dfrac{7x}{\sin(7x)}\right)}.
\]
D'après un raisonnement analogue à celui de la réponse à la question précédente, on peut écrire:
\[\limite{x}{0}{\left( \dfrac{7x}{\sin(7x)} \right)}=1\]
donc:
\[
\limite{x}{0}{\left(\dfrac{x}{\sin(7x)}\right)}=\dfrac{1}{7}.
\]
\end{enumerate}
\end{exocor}


\sectionnn{Étude de fonctions}

%%% vérif 2026

\begin{exocor}{calcul trigonométrique}[1]
Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ par :
\[
f(x)=\big(\cos(x) + \sin(x)\big)^2 + \big(\cos(x) - \sin(x)\big)^2.
\]
Montrer que $f$ est une fonction constante.

\tcblower

Développons $f(x)$ :
\begin{align*}
f(x)&=\big(\cos(x) + \sin(x)\big)^2 + \big(\cos(x) - \sin(x)\big)^2\\
& = \cos^2x+\cancel{2\cos(x)\sin(x)}+\sin^2x + \cos^2x - \cancel{2\cos(x)\sin(x)} + \sin^2x\\
& = 2(\cos^2x+\sin^2x)\\
& = 2 \times 1\\
& = 2.
\end{align*}
$f$ est donc une fonction constante.
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{étude d'une fonction}[1]
On définit la fonction $f$ par :
\[
f(x)=\dfrac{\cos(x)}{1+\sin(x)}.
\]
\begin{enumerate}
\item Déterminer le domaine de définition ${\cal D}_f$ de $f$.
\item Montrer que $f$ est périodique.
\item Déterminer $f'(x)$, puis en déduire le sens de variations de $f$ sur \intervOO{-\dfrac{\pi}{2}}{\dfrac{3\pi}{2}}.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $f(x)$ est défini quand $1+\sin(x)\neq0$.

Or, $1+\sin(x)=0 \iff \sin(x)=-1 \iff x=-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi$, $k\in\Z$.

\medskip

Ainsi, le domaine de définition de $f$ est $\boxed{{\cal D}_f=\R\setminus\left\{-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi,\ k\in\Z \right\}}$.


\item On sait que $\cos(x+2\pi)=\cos(x)$ et $\sin(x+2\pi)=\sin(x)$. Par conséquent, $f(x+2\pi)=f(x)$.

\underline{Ainsi, $f$ est $2\pi$-périodique.}


\item $f$ est de la forme $\dfrac{u}{v}$, avec $u(x)=\cos(x)$ et $v(x)=1+\sin(x)$.

Ainsi, $f'$ est de la forme $\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$, avec $u'(x)=-\sin(x)$ et $v'(x)=\cos(x)$.
\begin{align*}
f'(x) & = \dfrac{-\sin(x)(1+\sin(x))-\cos^2x}{(1+\sin(x))^2}\\[8pt]
& = \dfrac{-\sin(x)-\sin^2x-\cos^2x}{(1+\sin(x))^2}\\[8pt]
& = \dfrac{-\sin(x)-(\sin^2x+\cos^2x)}{(1+\sin(x))^2}\\[8pt]
\Aboxed{f'(x) & = -\dfrac{\sin(x)+1}{(1+\sin(x))^2}}\quad\text{ car }\cos^2x+\sin^2x=1\text{ pour tout réel }x.
\end{align*}
Or, pour tout réel $x\in\intervOO{-\dfrac{\pi}{2}}{\dfrac{3\pi}{2}}$, $-1\leqslant\sin(x)\leqslant 1$ donc $0\leqslant\sin(x)+1\leqslant2$. 

De plus, $(1+\sin(x))^2>0$ donc $f'(x)<0$ sur \intervOO{-\dfrac{\pi}{2}}{\dfrac{3\pi}{2}}.

\medskip

\underline{Ainsi, $f$ est strictement décroissante sur \intervOO{-\dfrac{\pi}{2}}{\dfrac{3\pi}{2}}.}
\end{enumerate}
\vspace*{2cm}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{parité et périodicité}[1]
On considère la fonction définie sur $\R$ par : $ f(x)=\sin^3x\cos(3x).$

Montrer que $f$ est $\pi$-périodique et impaire.

\tcblower

\begin{itemize}
\item Montrons d'abord que $f$ est $\pi$-périodique.
\begin{align*}
f(x+\pi) & = \big[\sin(x+\pi)\big]^3\cos\big[3(x+\pi)\big]\\
& = \big[-\sin(x)\big]^3\cos(3x+3\pi)\\
& = -\sin^3x\cos(3x+\pi)\\
& = -\sin^3x\big[-\cos(3x)\big]\\
& = \sin^3x\cos(3x)\\
\Aboxed{f(x+\pi) & = f(x)}
\end{align*}

La fonction $f$ est donc $\pi$-périodique ; on peut donc restreindre l'intervalle d'étude de $f$ à un intervalle d'amplitude $\pi$, par exemple \intervFF{-\dfrac{\pi}{2}}{\dfrac{\pi}{2}}.

\item Montrons que $f$ est impaire. Le domaine de définition de $f$ est centré en 0. De plus,

\begin{minipage}{0.5\linewidth}
$\begin{aligned}
f(-x) & = \big[\sin(-x)\big]^3\cos(-3x)\\
& = \big[-\sin(x)\big]^3\cos(3x)\\
& = -\sin^3x\cos(3x)\\
\Aboxed{f(-x) & = -f(x)}
\end{aligned}$
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
La fonction $f$ est donc impaire ; on peut donc réduire l'intervalle d'étude précédent à sa moitié, donc à \intervFF{0}{\dfrac{\pi}{2}}.
\end{minipage}
\end{itemize}
\end{exocor}


%%%

\begin{exocor}{parité et périodicité}[1]
On considère la fonction définie sur $\R$ par :
\[ f(x)=\cos^3x\cos(3x). \]
Montrer que $f$ est $\pi$-périodique et paire.

\tcblower

\begin{itemize}
\item Montrons d'abord que $f$ est $\pi$-périodique.
\begin{align*}
f(x+\pi) 
& = \big[\cos(x+\pi)\big]^3\cos\big(3(x+\pi)\big)\\
& = \big[-\cos(x)\big]^3\cos(3x+3\pi)\\
& = -\cos^3x\cos(3x+\pi)\\
& = -\cos^3x\big(-\cos(3x)\big)\\
& = \cos^3x\cos(3x)\\
\Aboxed{f(x+\pi) & = f(x)}
\end{align*}
\underline{Donc $f$ est $\pi$-périodique.}

On peut donc réduire l'intervalle d'étude à un intervalle d'amplitude $\pi$, par exemple \intervFF{-\dfrac{\pi}{2}}{\dfrac{\pi}{2}}.

\item Montrons que $f$ est paire. D'abord, le domaine de définition de $f$ est centré en 0.

De plus, $\begin{aligned}[t]
f(-x) & = \big[\cos(-x)\big]^3\cos(-3x)\\
& = \big[\cos(x)\big]^3\cos(3x)\\
& = \cos^3x\cos(3x)\\
\Aboxed{f(-x) & = f(x)}
\end{aligned}$

\underline{Donc $f$ est paire.}
\end{itemize}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{en sciences physiques}[1]
En sciences physiques, notamment en électricité ou en acoustique, on rencontre souvent des fonctions $f$ de la forme:
\[
f(t)=a\sin(\omega t + \varphi)
\]
où $\varphi$ est appelé la \textit{phase} et $\omega$, la \textit{pulsation}.

Montrer que pour tout réel $t$:
\[
f''(t) + \omega^2 f(t)=0.
\]

\tcblower

$f(t) = a\sin(\omega t+\varphi)$ donc :
\[
f'(t) = a \times \omega\cos(\omega t + \varphi).
\]
En effet, on sait que la dérivée de $x\mapsto\sin(x)$ est $x\mapsto\cos(x)$.

De plus, on sait que la dérivée de $f(at+b)$ est $af'(at+b)$.

\medskip

Sur le même principe, on a alors :
\[
f''(t) = a\omega \times (-\omega\sin(\omega t+\varphi) = -a\omega\sin(\omega t+\varphi) = -\omega^2 f(t).
\]
Ainsi, 
\[
f''(t) + \omega^2f(t) = -\omega^2f(t)+\omega^2f(t)=0.
\]

\begin{rem}
On dit alors que $f$ est solution de l'équation  $y''+\omega^2 y=0$, équation dont l'inconnue est une fonction $y$.

Quand une équation de ce type admet comme inconnue une fonction, mais aussi sa dérivée et/ou sa dérivée seconde, on parle d'\textbf{équation différentielle}. On parlera de ce type d'équations dans le chapitre \ref{chap:equadif}.
\end{rem}
\end{exocor}


%%%

\begin{exocor}{étude d'une fonction}[2]
On considère la fonction $f$ définie sur \intervOO{-\dfrac{\pi}{4}}{\dfrac{\pi}{4}} par :
\[
f(x) = \dfrac{\sin(x) + \cos(x)}{\sin(x) - \cos(x)}.
\]
\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$.
\item En déduire alors le sens de variations de $f$.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $f$ est de la forme $\dfrac{u}{v}$  avec :

\begin{multicols}{2}
$u(x)=\sin(x)+\cos(x)$

$u'(x)=\cos(x) - \sin(x)$

\columnbreak

$v(x)=\sin(x)-\cos(x)$

$v'(x)=\cos(x)+\sin(x)$
\end{multicols}

Ainsi,\begin{align*}
f'(x) & = \dfrac{(\cos(x)-\sin(x))(\sin(x)-\cos(x))-(\sin(x)+\cos(x))(\cos(x)+\sin(x))}{(\sin(x)-\cos(x))^2}\\
& = \dfrac{\textcolor{red}{-(\sin(x)-\cos(x))^2}\textcolor{blue}{-(\sin(x)+\cos(x))^2}}{(\sin(x)-\cos(x))^2}\\
& = \dfrac{\textcolor{red}{-\sin^2x+2\sin(x)\cos(x)-\cos^2x}\textcolor{blue}{-\sin^2x-2\sin(x)\cos(x)-\cos^2x}}{(\sin(x)-\cos(x))^2}\\
& = \dfrac{-2\sin^2x-2\cos^2x}{(\sin(x)-\cos(x))^2}\\
& = \dfrac{-2(\cos^2x+\sin^2x)}{(\sin(x)-\cos(x))^2}\\
& = \dfrac{-2}{(\sin(x)-\cos(x))^2}\text{ car }\cos^2x+\sin^2x=1.
\end{align*}

\item On en déduit que $f'(x)<0$ sur \intervOO{-\dfrac{\pi}{4}}{\dfrac{\pi}{4}} (car $-2<0$ et $(\sin(x)-\cos(x))^2>0$).

Ainsi, $f$ est strictement décroissante sur \intervOO{-\dfrac{\pi}{4}}{\dfrac{\pi}{4}}.
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{étude d'une fonction}[2]
On considère la fonction $f(x)=\cos(x)-1+\dfrac{1}{2}x^2$ définie sur \R.
\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$ puis $f''(x)$.
\item Montrer que $f''(x)\geqslant0$ pour tout réel $x$ et en déduire les variations de la fonction $f'$.
\item Calculer $f'(0)$ et en déduire les variations de $f$ sur \R.
\item Montrer alors que pour tout réel $x$, $\cos(x) \geqslant 1-\dfrac{1}{2}x^2$.
\item En considérant une autre fonction $g(x)$, montrer de la même façon que pour tout réel $x$, $\cos(x) \leqslant 1-\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{24}x^4$.
\item Donner un encadrement de $\cos\dfrac{\pi}{50}$. Sachant que $\dfrac{\pi^4}{\numprint{150000000}}<10^{-6}$, que cela vous inspire-t-il pour la valeur approchée de $\cos\dfrac{\pi}{50}$ à $10^{-6}$ près ?
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $f'(x)=-\sin(x)+x$ et $f''(x)=-\cos(x)+1$.

\item On sait que pour tout réel $x$,
\[
-1 \leqslant -\cos(x) \leqslant 1
\]
donc, en ajoutant 1 à chaque membre de cet encadrement, on a :
\[
0 \leqslant f''(x) \leqslant2.
\]
\underline{Donc $f''(x)\geqslant0$ sur \R, ce qui signifie que $f'$ est croissante sur \R.}


\item $f'(0)=-\sin0+0=0$. Or, $f'$ est croissante sur \R donc :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorC=corrigenumbg!20,colorV=corrigenumbg!20,colorL=corrigenumbg!20]{$x$/0.75,$f'(x)$/0.5,$f(x)$/1}{$-\infty$,0,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,z,+}
\tkzTabVar{+/,-/0,+/}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}
\end{tikzpicture}
\end{center}
$f(0)=\cos0-1+\dfrac{1}{2}\times0^2=1-1+0=0$.

\item Des variations de $f$, on déduit que $f(x)\geqslant0$ sur \R, dont :
\[
\cos(x)-1+\dfrac{1}{2}x^2 \geqslant0
\]
soit :
\[
\boxed{\cos(x) \geqslant 1-\dfrac{1}{2}x^2}
\]

\item Considérons la fonction $g(x)=\cos(x)-1+\dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{1}{24}x^4$.

Alors, $g'(x)=-\sin(x)+x-\dfrac{1}{6}x^3$ et $g''(x)=-\cos(x)+1-\dfrac{1}{2}x^2=-f(x)$.

Ainsi, pour tout réel $x$, $g''(x)\leqslant0$, ce qui signifie que $g'$ est décroissante sur \R.

$g'(0)=-\sin 0+0=0$ d'où :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\node[inner sep = 0pt, outer sep = 0pt] (tab) {
\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[color,colorC=corrigenumbg!20,colorV=corrigenumbg!20,colorL=corrigenumbg!20]{$x$/0.75,$g'(x)$/0.5,$g(x)$/1}{$-\infty$,0,$+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-}
\tkzTabVar{-/,+/0,-/}
\end{tikzpicture}};
\drawshadow{tab}{black}

\end{tikzpicture}
\end{center}
Par conséquent, $g(x)\leqslant0$ sur \R, ce qui signifie que :
\[
\cos(x) \leqslant 1+\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{24}x^4.
\]
\item De ce qui vient d'être fait, on peut écrire :
\[
\forall x\in\R,\quad 1-\dfrac{x^2}{2} \leqslant \cos(x) \leqslant 1-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^4}{24}.
\]
En prenant $x=\dfrac{\pi}{50}$, cela donne :
\[
1-\dfrac{\pi^2}{\numprint{5000}} \leqslant \cos\dfrac{\pi}{50} \leqslant 1-\dfrac{\pi^2}{\numprint{5000}}+\dfrac{\pi^4}{\numprint{150000000}}.
\]
Puisque $\dfrac{\pi^4}{\numprint{150000000}}<10^{-6}$, on peut alors considérer qu'une valeur approchée de $\cos\dfrac{\pi}{50}$ à $10^{-6}$ près est $1-\dfrac{\pi^2}{\numprint{5000}}$
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{avec une suite numérique et un soupçon de Python}[3]
On souhaite étudier la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et, pour tout entier naturel $n$, 
\[
u_{n+1}=\cos u_n.
\]
\begin{enumerate}
\item \'Ecrire un programme Python permettant de calculer tous les termes jusqu'à $u_{30}$.

\textit{On peut ainsi conjecturer que la suite converge.}

\item \'Ecrire un programme Python permettant de calculer tous les termes jusqu'à ce que la différence entre deux termes consécutifs devienne inférieure ou égale à $10^{-5}$, en affichant l'indice de chaque terme.

\item La suite semble-t-elle monotone ?
\end{enumerate}

On pose pour tout entier naturel $n$:
\[
v_n = u_{2n}.
\]

\begin{enumerate}[start=4]
\item Exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$.
\item Montrer que la fonction $f\;:\;x\mapsto\cos(\cos(x))$ est croissante sur \intervOF{0}{1}.
\item Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $0 < v_{n+1} < v_n \leqslant 1$.
\item Déduire alors que la suite converge. Donner alors une valeur approchée de sa limite à $10^{-6}$ près.
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item Un programme Python possible est le suivant :

\begin{python}
from math import cos
u = 1
for n in range(31):
    u = cos(u)
    print('n = {} et u = {}'.format(n,u))
\end{python}

\begin{console}
n =  0  et u =  0.5403023058681398
n =  1  et u =  0.8575532158463933
n =  2  et u =  0.6542897904977792
[...]
n =  29  et u =  0.7390870426953322
n =  30  et u =  0.7390838469650002
\end{console}


\item Un programme Python possible est le suivant :

\begin{python}
from math import cos
u,n = 1,0
while abs(u-cos(u)) > 10**(-8):
    u = cos(u)
    print('n = {} et u = {}'.format(n,u))
    n += 1
\end{python}

\begin{console}
n =  0  et u =  0.5403023058681398
n =  1  et u =  0.8575532158463933
n =  2  et u =  0.6542897904977792
[...]
n =  42  et u =  0.7390851219886894
n =  43  et u =  0.7390851407774467
n =  44  et u =  0.7390851281211138
\end{console}


\item À la vue des termes calculés, la suite ne semble pas monotone. 

En effet, $u_0 < u_1$, $u_1 > u_2$, $u_2 < u_3$, etc.

\item Pour tout entier naturel $n$, 
\begin{align*}
v_{n+1} & = u_{2(n+1)}\\
        & = u_{2n+2}\\
        & = u_{\textcolor{red}{2n+1}+1}\\
        & = \cos\big(u_{\textcolor{red}{2n+1}}\big)\\
        & = \cos\big(\cos(u_{2n})\big)\\
\Aboxed{v_{n+1} & = \cos\big(\cos(v_n)\big)}
\end{align*}

\item $f(x)=\cos(\cos(x))$ donc $f'(x)=-\sin(x) \times \big[-\sin(\cos(x))\big] = \sin(x) \times \sin(\cos(x))$.

Sur $\intervOF{0}{1}$, $\sin(x) \geqslant 0$; de plus, $\cos(x) > 0$ donc $\sin(\cos(x)) >0$. Ainsi, $f'(x) \geqslant 0$.

\underline{La fonction $f$ est donc croissante sur \intervOF{0}{1}.}

\item 
\begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation :} pour $n=0$, $v_0=1$ et $v_1\approx0,86$ donc $0 < v_1 < v_0 \leqslant 1$.

\item \textbf{Hérédité :} supposons que pour un entier $k$ fixé, $0 < v_{k+1} < v_k \leqslant 1$.

Alors, $f(0) < f(v_{k+1}) < f(v_k) \leqslant f(1)$ car $f$ est croissante sur \intervOF{0}{1}.

Or, $f(0)=\cos(\cos 0)\approx0,54>0$ et $f(1)=\cos(\cos 1)\approx0,86<1$. 

Donc $0 < f(v_{k+1}) < f(v_k) \leqslant 1$, soit $0 < v_{k+2} < v_{k+1} \leqslant 1$.

L'hérédité est alors vérifiée.

\medskip

\underline{Ainsi, pour tout entier naturel $n$, $0 < v_{n+1} < v_n \leqslant 1$.}

\item D'après ce qui vient d'être démontré, $(v_n)$ est décroissante et minorée (par 0). Donc elle converge. Sa limite est donc le nombre $\ell$ tel que $\ell = f(\ell)$. Or, $v_n=u_{2n}$ donc la limite de $(v_n)$ est celle de $(u_n)$. D'après les valeurs données par les algorithmes précédents, on en déduit que \underline{$\ell\approx\numprint{0,739085}$}.
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%

\begin{exocor}{pour aller plus loin}[3]
On considère le programme Python suivant :

\begin{python}
def factorielle(n):
    if n == 0:
        return 1
    return n * factorielle(n-1)

def sin(x,n):
    s = 0
    for k in range((n+1)//2):
        s += (-1)**k * x**(2*k+1) / factorielle(2*k+1)
    return s
\end{python}

On admet que la fonction \texttt{factorielle(n)} renvoie la valeur $n!$, c'est-à-dire le résultat de l'opération : 
\[
1\times2\times3\times\cdots\times (n-1)\times n.
\]
\begin{enumerate}
\item Implémentez ce programme et testez-le en appelant :
\begin{itemize}
\begin{multicols}{3}
\item \texttt{sin(0.5236,5)}
\item \texttt{sin(0.7854,5)}
\item \texttt{sin(0.7854,100)}
\end{multicols}
\end{itemize}

\item Calculez avec votre calculatrice $\dfrac{\pi}{6}$ et $\dfrac{\pi}{4}$, puis $\sin\dfrac{\pi}{6}$ et $\sin\dfrac{\pi}{4}$. Comparez les résultats obtenus avec ceux de la question précédente. Qu'est-ce que cela vous inspire ?

\item Testez le programme avec \texttt{sin(2.0944,100)} $\left(\dfrac{2\pi}{3}\approx2,0944\right)$. 

Quelle conclusion peut-on faire ?

\item Testez le programme avec \texttt{sin(40,100)}.  Que cela vous inspire-t-il ?
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item En testant le programme, nous avons successivement :
\begin{console}
>>> sin(0.5236,5)
0.500003192986266

>>> sin(0.7854,5)
0.707144345044458

>>> sin(0.7854,100)
0.7071080798594735
\end{console}

\item Avec la calculatrice, on trouve que $\dfrac{\pi}{6}\approx0,5236$, $\dfrac{\pi}{4}\approx0,7854$. De plus, $\sin\dfrac{pi}{6}=0,5$ et $\sin\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt2}{2}\approx0,7071067811865476$.

On constate alors que l'on retrouve à peu près les mêmes valeurs que celles obtenues à la question 1.

On peut alors supposer que la fonction \texttt{sin(x,n)} renvoie la valeur de $\sin(x)$, l'argument \og $n$ \fg{} pouvant éventuellement servir pour affiner la précision de la valeur renvoyée. 

\item On a :
\begin{console}
>>> sin(2.0944,100)
0.8660229549706501
\end{console}

Or, $\sin\dfrac{2\pi}{3}=\sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt3}{2}\approx0,8660254037844386$. Cela nous conforte dans l'idée que nous avons émise précédemment : la fonction renvoie le sinus de la valeur $x$.

\item On a:
\begin{console}
>>> sin(40,100)
-62.42184391235605
\end{console}

Un sinus étant toujours compris entre $-1$ et 1, ce dernier résultat ne doit pas nous inspirer quelque chose de positif... La fonction semble avoir ses limites.

Par curiosité, j'ai souhaité savoir à partir de quelle valeur entière de $x$ la différence entre $\sin(x)$ et le résultat renvoyé par la fonction était supérieur à 1. J'ai dû pour cela renommer ma fonction en \og \texttt{f(x,n)} \fg{} car j'ai importé la fonction $\sin$ du module \texttt{math}:

\begin{python}
from math import sin

def factorielle(n):
    if n == 0:
        return 1
    return n * factorielle(n-1)

def f(x,n):
    s = 0
    for k in range((n+1)//2):
        s += (-1)**k * x**(2*k+1) / factorielle(2*k+1)  
    return s

x = 0
while abs( f(x,100) - sin(x) ) < 1:
    x += 1
    
print("Pour x = {}, la fonction renvoie {}; or, sin({})={}.\nLa différence est : {}".format(x, f(x,100), x, sin(x), abs(sin(x)-f(x,100))))
\end{python}

Il affiche $x=39$, avec une différence de 5,26 entre $\sin(39)$ et $f(39,100)$. En modifiant légèrement ce dernier programme, on constate que pour $x<30$, la différence est inférieure à $2\times10^{-5}$; ceci nous pousse à constater que la fonction \texttt{f(x,100)} donne une très bonne approximation de $\sin(x)$ pour des valeurs inférieures à 30.
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\bigskip

\sectionnn{Objectif bac}

%\begin{rem}
%Au bac, la trigonométrie n'apparaît que peu souvent seule: elle est utile dans des exercices d'intégrales, de géométrie dans l'espace.
%
%Je vous propose donc de tels exercices sur lesquels vous pourrez revenir lorsque vous aurez vu les autres chapitres.
%\end{rem}

\begin{exocor}{Amérique du Nord, sujet 1, 2024}[2]
Pour tout entier naturel $n$, on considère les intégrales suivantes :
\[
I_n = \int_0^{\pi} \e^{- nx}\sin (x)\:\text{d}x, \quad  J_n = \displaystyle\int_0^{\pi} \text{e}^{-nx}\cos (x)\:\text{d}x.
\]
\begin{enumerate}
\item Calculer $I_0$.
\item 
\begin{enumerate}
\item Justifier que, pour tout entier naturel $n$ , on a $I_n \geqslant 0$.
\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$ , on a $I_{n+1} - I_n \leqslant 0$.
\item Déduire des deux questions précédentes que la suite $\left(I_n\right)$ converge.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$ , on a : 
\[
I_n \leqslant \displaystyle\int_0^{\pi} \text{e}^{- nx}\:\text{d}x.
\]
		
\item Montrer que, pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, on a : 
\[
\int_0^{\pi} \text{e}^{- nx}\:\text{d}x = \dfrac{1 - \e^{-n \pi}}{n}.\]
		
\item Déduire des deux questions précédentes la limite de la suite $\left(I_n\right)$.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item En intégrant par parties l'intégrale $I_n$ de deux façons différentes, établir les deux relations suivantes, pour tout entier naturel $n \geqslant 1$ :
\[
I_n = 1 + \e^{-n\pi} - nJ_n \quad \text{et}\quad  I_n = \dfrac 1n J_n.
\]

\item En déduire que, pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, on a 
\[
I_n = \dfrac{1 + \e^{-n \pi}}{n^2 + 1}.
\]
\end{enumerate}

\item On souhaite obtenir le rang $n$ à partir duquel la suite $\left(I_n\right)$ devient inférieure à 0,1.

Recopier et compléter la cinquième ligne du script Python ci-dessous avec la commande appropriée.

\begin{python}
from math import *

def seuil() :
    n = 0
    I = 2
    ...
        n = n + 1
        I = (1+exp(-n*pi))/(n*n+1)
    
    return n
\end{python}

\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
I_0 & = \int_0^\pi \e^0 \sin(x)\dx\\
    & =  \int_0^\pi \sin(x)\dx\\
    & = \big[ -\cos(x) \big]_0^\pi\\
    & = -\cos(\pi) - \big( -\cos(0) \big)\\
    & = -(-1) - (-1)\\
\Aboxed{I_0  & = 2}
\end{aligned}$

\item
\begin{enumerate}
\item Sur \intervFF{0}{\pi}, pour tout entier naturel $n$,
\begin{itemize}
\item $\e^{-nx} > 0$
\item $0 \leqslant \sin(x) \leqslant 1$
\end{itemize}
donc $\e^{-nx}\sin(x) \geqslant 0$.

Ainsi, par positivité de l'intégrale, $\dint_0^\pi \e^{-nx}\sin(x)\dx \geqslant 0$.

\item Pour tout entier naturel $n$,
\begin{align*}
I_{n+1} - I_n & = \dint_0^\pi \e^{-(n+1)x}\sin(x)\dx - \dint_0^\pi \e^{-nx}\sin(x)\dx\\
& = \dint_0^\pi \Big( \e^{-(n+1)x}\sin(x) - \e^{-nx}\sin(x)\Big)\dx {\color{red} \text{ (par linéarité de l'intégrale)}}\\
& = \dint_0^\pi \e^{-nx}\sin(x)\big( \e^{-x} - 1 \big)\dx.
\end{align*}
Or, sur \intervFF{0}{\pi},
\begin{itemize}
\item $\e^{-nx}\sin(x)\geqslant 0$;
\item $0 < \e^{-x} \leqslant 1$ donc $-1 < \e^{-x}-1 \leqslant 0$.
\end{itemize}
Ainsi, $\e^{-nx}\sin(x)\big(\e^{-x}-1\big) \leqslant$ et donc, 
\[
\dint_0^\pi \e^{-nx}\sin(x)\big(\e^{-x}-1\big)\dx \leqslant 0
\]
soit:
\[
\boxed{I_{n+1}-I_n \leqslant 0}
\]

\item D'après les deux questions précédentes, $(I_n)$ est minorée (par 0) et décroissante (car $I_{n+1}-I_n\leqslant0$, soit $I_{n+1}\leqslant I_n$).

Ainsi, d'après le théorème de convergence des suites monotones, $(I_n)$ converge.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item\label{trigoq3a} Pour tout entier naturel $n$,
\begin{align*}
0 \leqslant x \leqslant \pi & \iff 0 \leqslant \sin(x) \leqslant 1\\
& \iff 0 \leqslant \e^{-nx}\sin(x) \leqslant 1 \times \e^{-nx}\\
& \iff 0 \leqslant \dint_0^\pi \e^{-nx}\sin(x)\dx \leqslant \dint_0^\pi \e^{-nx} \dx\\
& \Longrightarrow \boxed{I_n \leqslant \dint_0^\pi \e^{-nx} \dx}
\end{align*}

\item\label{trigoq3b} Pour tout entier naturel $n$,
\begin{align*}
\dint_0^\pi \e^{-nx} \dx & = \Big[ -\dfrac{1}{n}\e^{-nx} \Big]_0^\pi\\
& = -\dfrac{1}{n}\e^{-n\pi} - \big( -\dfrac{1}{n}\e^{-0} \big)\\
& =  -\dfrac{1}{n}\e^{-n\pi} + \dfrac{1}{n}\\
\Aboxed{I_n & = \dfrac{1-\e^{-n\pi}}{n} }
\end{align*}

\item Des questions \ref{trigoq3a} et \ref{trigoq3b}, on a:
\[
0 \leqslant I_n \leqslant \dfrac{1-\e^{-n\pi}}{n}.
\]
Or, pour tout réel $x\in\intervFF{0}{\pi}$,
\[
\limite{n}{+\infty}{\big(\e^{-nx}\big)} = 0
\]
donc:
\[
\limite{n}{+\infty}{\big(1-\e^{-nx}\big)}=1.
\]
Ainsi,
\[
\limite{n}{+\infty}{\left( \dfrac{1-\e^{-nx}}{n} \right)}= \limite{n}{+\infty}{\left(\dfrac{1}{n}\right)}=0.
\]
Et d'après le théorème des gendarmes, on obtient:
\[
\boxed{\limite{n}{+\infty}{(I_n)}=0}
\]
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item Intégrons par parties de deux manières différentes $I_n$.
\begin{itemize}
\item \textbf{Première manière.}

On pose: 
\vspace{-1.5em}
\[
\begin{array}{l@{\hspace*{5mm};\hspace*{5mm}}l}
u'(x) = \e^{-nx} & u(x) = -\dfrac{1}{n}\e^{-nx} \\
v(x) = \sin(x)   & v'(x) = \cos(x)
\end{array}
\]
Dans ce cas,
\begin{align*}
I_n & = \big[u(x)v(x)\big]_0^\pi - \dint_0^\pi u(x)v'(x) \dx\\
    & = \left[ -\dfrac{1}{n}\e^{-nx}\sin(x) \right]_0^\pi + \dint_0^\pi \dfrac{1}{n}\e^{-nx}\cos(x)\dx\\
    & = -\dfrac{1}{n}\e^{-n\pi}\sin(\pi)+\dfrac{1}{n}\e^{-0}\sin(0)+\dfrac{1}{n}\int_0^\pi \e^{-nx}\cos(x)\dx\\
\Aboxed{I_n & = \dfrac{1}{n}J_n}
\end{align*}

\item \textbf{Deuxième méthode.}

On pose:
\[
\begin{array}{l@{\hspace*{5mm};\hspace*{5mm}}l}
u(x) = \e^{-nx} & u'(x) = -n\e^{-nx} \\
v'(x) = \sin(x)   & v(x) = -\cos(x)
\end{array}
\]
Dans ce cas,
\begin{align*}
I_n & = \big[u(x)v(x)\big]_0^\pi - \dint_0^\pi u(x)v'(x) \dx\\
    & = \left[ -\e^{-nx}\cos(x) \right]_0^\pi - \dint_0^\pi n\e^{-nx}\cos(x)\dx\\
    & = -\e^{-n\pi}\cos(\pi)+\e^{-0}\cos(0) - n\int_0^\pi \e^{-nx}\cos(x)\dx\\
\Aboxed{I_n & = 1-\e^{-n\pi}-nJ_n}
\end{align*}
\end{itemize}

\item Des deux égalités précédentes, on déduit la suivante:
\begin{align*}
\dfrac{1}{n}J_n = 1-\e^{-n\pi}-nJ_n & \iff \dfrac{1}{n}J_n + nJ_n = 1-\e^{-n\pi}\\
& \iff \left(\dfrac{1}{n}+n\right)J_n = 1-\e^{-n\pi}\\
& \iff \dfrac{n^2+1}{n}J_n = 1-\e^{-n\pi}\\
& \iff J_n = 1-\e^{-n\pi} \times \dfrac{n}{n^2+1}\\
& \iff J_n = \dfrac{n\big(1-\e^{-n\pi\big)}}{n^2+1}.
\end{align*}

Et donc:
\[
I_n=\dfrac{1}{n}J_n = \dfrac{1}{\cancel{n}}\times\dfrac{\cancel{n}\big(1-\e^{-n\pi\big)}}{n^2+1} = \boxed{ \dfrac{1-\e^{-n\pi}}{n^2+1} }
\]
\end{enumerate}

\item On souhaite calculer les termes de la suite $(I_n)$ \textit{tant que} $I_n \geqslant 0,1$ et s'arrêter dès que $I_n<0,1$. On doit donc  utiliser une boucle conditionnelle:

\begin{python}
from math import *

def seuil() :
    n = 0
    I = 2
    while I >= 0.1:
        n = n + 1
        I = (1+exp(-n*pi))/(n*n+1)
    
    return n
\end{python}
\end{enumerate}
\end{exocor}

%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{exocor}{Centres étrangers, sujet 1, 2024}[2]
On considère l'équation différentielle :
\[
\left(E_0\right) :\quad  y' = y
\]
où $y$ est une fonction dérivable de la variable réelle $x$.

\begin{enumerate}
\item Démontrer que l'unique fonction constante solution de l'équation différentielle $\left(E_0\right)$ est la fonction nulle.

\item Déterminer toutes les solutions de l'équation différentielle $\left(E_0\right)$.

On considère l'équation différentielle:
\[
(E) :\quad  y' = y - \cos (x) - 3\sin (x)
\]
où $y$ est une fonction dérivable de la variable réelle $x$.

\item La fonction $h$ est définie sur $\R$ par $h(x) = 2 \cos (x) + \sin (x)$.

On admet qu'elle est dérivable sur $\R$.

Démontrer que la fonction $h$ est solution de l'équation différentielle $(E)$.

\item On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$.

Démontrer que : \og $f$ est solution de $(E)$ \fg{} est équivalent à \og $f - h$ est solution de $\left(E_0\right)$ \fg.

\item En déduire toutes les solutions de l'équation différentielle $(E)$.

\item Déterminer l'unique solution $g$ de l'équation différentielle $(E)$ telle que $g(0) = 0$.

\item Calculer:
\[
\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \Big[-2\e^x + \sin (x) + 2\cos (x)\Big]\dx.
\]
\end{enumerate}

\tcblower

\begin{enumerate}
\item Soit $f(x)=k$ une fonction constante, définie sur $\R$, solution de $\left( E_0\right)$.

Alors,
\[
f'=f
\]
soit:
\[
0=k.
\]
Ainsi, $f(x)=0$.

\medskip

L'unique fonction constante solution de l'équation différentielle $\left(E_{0}\right)$ est donc la fonction nulle.

\item D'après le cours, les solutions de l'équation différentielle $\left(E_{0}\right)$ sont les fonctions:
\[
f(x)=C\e^x,\qquad C \in \R.
\]


\item \label{trigoequadifq2} Pour tout réel $x$, on a : 
\[
h'(x) =-2\sin(x) +\cos(x).
\]
D'autre part,
\begin{align*}
h(x)-\cos (x)-3 \sin (x) & = 2 \cos (x)+\sin (x)- \cos (x)-3 \sin (x)\\
                         & = \cos(x)-2\sin(x)\\
                         & = h'(x).
\end{align*}
Donc $h$ est solution de l'équation différentielle $(E)$.

\item Pour tout réel $x$, on a :
\begin{align*}
(f-h)\text{ est solution de }(E_0) 
& \iff (f-h)'(x) = (f-h)(x)\\
& \iff f'(x) - \textcolor{red}{h'(x)} = f(x) - h(x)\\
& \iff f'(x) - \big[ \textcolor{red}{h(x)-\cos(x)-3\sin(x)} \big] = f(x) - h(x)\\
& \iff f'(x) \cancel{- h(x)} + \cos(x) + 3\sin(x) = f(x) \cancel{- h(x)}\\
&\qquad\quad\text{car $h$ est solution de $(E)$}\\
& \iff f'(x) = f(x) - \cos(x)-3\sin(x)\\
& \iff f\text{ est solution de }(E).
\end{align*}


Par conséquent, on a bien l'équivalence:
\begin{center}
$f$ est solution de $(E)$ $\iff$ $f-h$ est solution de $(E_0)$.
\end{center}

\item D'après la question précédente, chercher les solutions $f$ de $(E)$ revient à chercher les solutions $(f-h)$ de $(E_0)$. Or, d'après la question \ref{trigoequadifq2}:
\[
(f-h)(x)=C\e^{x},\quad C\in\R.
\]
On en déduit alors que:
\[
f(x) = h(x) + C\e^x,\quad C\in\R
\]
Toutes les solutions de l'équation différentielle $(E)$ sont donc les fonctions:
\[
\boxed{f(x)=2\cos(x)+\sin(x)+C\e^c,\qquad C \in \R}
\]

\item $g$ est solution de l'équation différentielle $(E)$  donc il existe un réel $C$ tel que:
\[
g(x)=C\e^x +2\cos(x)+\sin(x).
\]
De plus,  $g(0)=0$ donc $g(0)=C\e^0 +2\cos(0)+\sin(0)=0$.

D'où:
\[
C\times 1 +2\times 1 + 0 =0 \Longleftrightarrow C=-2.
\]
On a donc :
\[
\boxed{g(x)=-2\e^x +2\cos(x)+\sin(x)}
\]

\item Calculons : 
\begin{align*}
I & = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\Big[-2 \e^{x}+\sin (x)+2 \cos (x)\Big] \dx \\
  & = \Big[ -2\e^{x} -\cos(x) +2\sin(x) \Big]_0^ {\frac{\pi}{2}}\\
  & = -2\e^{\frac{\pi}{2}} -\cos\left(  {\dfrac{\pi}{2}}\right) +2\sin\left(  {\dfrac{\pi}{2}}\right)  - \left(  -2\e^{0} -\cos(0) +2\sin(0)  \right) \\
  & = -2\e^{\frac{\pi}{2}} -0+2\times 1 - \left( -2 -1+2\times 0\right)\\
  & =  -2\e^{\frac{\pi}{2}}+ 2 +3\\
\Aboxed{ I  & = -2\e^{\frac{\pi}{2}}+ 5}
\end{align*}
\end{enumerate}
\end{exocor}


\corriges
