%-------------------------------------------------------------------------------%	CHAPITRE 07 : SUITES HOMOGRAPHIQUES
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\chapter{Suites homographiques}

\begin{remarque}
Ces suites ne sont pas explicitement au programme de Terminale ES et S. Cependant, en Terminale S, on les aborde dans des exercices.
\end{remarque}

\section{Définition}

\begin{definition}
On dit qu'une suite \suite{u}{n}{} est homographique si :
$$ \forall n\in\N,\qquad u_{n+1}=\dfrac{au_n+b}{cu_n+d},\quad a\neq0,\ c\neq0.$$
\end{definition}

\begin{exemple}
La suite \suite{u}{n}{} définie par :
$$\begin{cases}
u_0=1\\
u_{n+1}=\dfrac{3u_n-2}{-u_n+1}\qquad\forall n\in\N
\end{cases}
$$
est une suite homographique.
\end{exemple}

\section{\'Etude d'une suite arithmético-géométrique}

\begin{methode}
Pour étudier une suite homographique, on considère toujours une suite (dite \emph{suite auxiliaire}) qui se trouve \^etre arithmétique ou géométrique (selon les valeurs de $a$, $b$, $c$ et $d$).
\end{methode}

\begin{exemple}
Soit \suite{u}{n}{} la suite définie par :
$$
\begin{cases}
u_0=2\\
u_{n+1}=\dfrac{3u_n-2}{2u_n-1}\qquad\forall n\in\N
\end{cases}
$$
\begin{itemize}
\item Afin de vérifier que \suite{u}{n}{} existe, il faut s'assurer que pour tout entier naturel $n$, $u_n>\dfrac{1}{2}$. On peut le faire par récurrence en remarquant que $u_n=1+\dfrac{u_n-1}{2u_n-1}$.

\medskip

\item On pose alors :
$$ \forall n\in\N,\qquad v_n=\dfrac{1}{u_n-1}.$$
Alors, pour tout entier naturel $n$,
$$
\begin{aligned}
v_{n+1} & = \dfrac{1}{u_{n+1}-1}\\
& = \dfrac{1}{\frac{3u_n-2}{2u_n-1}-1}\\
& = \dfrac{2u_n-1}{3u_n-2-(2u_n-1)}\\
& = \dfrac{2u_n-1}{u_n-1}\quad\left( =\dfrac{2(u_n-1)+1}{u_n-1}\right)\\
& = 2+\dfrac{1}{u_n-1}\\
& = 2+v_n.
\end{aligned}
$$
Ainsi, \suite{v}{n}{} est une suite arithmétique de raison $r=2$ et de premier terme $v_0=\dfrac{1}{u_0-1}=1$.

On en conclut alors que $v_n=1+2n$. Or, de l'égalité $v_n=\dfrac{1}{u_n-1}$, on déduit que $u_n=\dfrac{1}{v_n}+1$ et donc : $ u_n=1+\dfrac{1}{1+2n}.$

\item Avec l'expression de $u_n$ en fonction de $n$, on peut déterminer la limite de la suite. En effet,
$$ \limite{n}{+\infty}{(1+2n)}=+\infty\;,$$
donc :
$$ \limite{n}{+\infty}{\dfrac{1}{1+2n}}=0\;,\qquad \text{soit :}\qquad\limite{n}{+\infty}{\left(1+\dfrac{1}{1+2n}\right)}=\limite{n}{+\infty}{u_n}=1.$$
\end{itemize}
\end{exemple}

\begin{exercice}
On considère la suite \suite{u}{n}{} définie par :
$$
\begin{cases}
u_0=1\\
u_{n+1}=\dfrac{u_n-4}{u_n-3}\qquad\forall n\in\N
\end{cases}
$$
\begin{enumerate}
\item Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n\leqslant2$.

On pourra d'abord vérifier que $u_{n+1}=2-\dfrac{u_n-2}{u_n-3}$.
\item On pose $v_n=\dfrac{1}{u_n-2}$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\suite{v}{n}{}$ est une suite arithmétique.
\item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$, puis $u_n$ en fonction de $n$.
\item Déterminer \limite{n}{+\infty}{u_n}.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exemple}
On considère la suite \suite{u}{n}{} définie par :
$$
\begin{cases}
u_0=1\\
u_{n+1}=\dfrac{u_n+6}{u_n+2}\qquad\forall n\in\N
\end{cases}
$$
\begin{itemize}
\item On s'assure, dans un premier temps, que \suite{u}{n}{} existe en montrant par récurrence que $u_n\geqslant0$ (par exemple).

\item On pose alors $v_n=\dfrac{u_n-2}{u_n+3}$ pour tout entier naturel $n$. Alors,
$$
\begin{aligned}
v_{n+1} & = \frac{u_{n+1}-2}{u_{n+1}+3}\\
& = \frac{\tfrac{u_n+6}{u_n+2}-2}{\tfrac{u_n+6}{u_n+2}+3}\\
& = \frac{u_n+6-2u_n-4}{u_n+2}\times\frac{u_n+2}{u_n+6+3u_n+6}\\
& = \frac{-u_n+2}{4u_n+12}\\
& = -\frac{1}{4}\times\frac{u_n-2}{u_n+3}\\
& = -\frac{1}{4}v_n\;.
\end{aligned}
$$
Ainsi, \suite{v}{n}{} est une suite géométrique de raison $q=-\dfrac{1}{4}$ et de premier terme :
$$v_0=\dfrac{u_0-2}{u_0+3}=-\dfrac{1}{4}.$$

Donc, $$v_n=-\dfrac{1}{4}\times\left(-\dfrac{1}{4}\right)^n=\left(-\dfrac{1}{4}\right)^{n+1}.$$

\item $0<q<1$ donc :
$$\limite{n}{+\infty}{v_n}=0\;,$$
c'est-à-dire :
$$\limite{n}{+\infty}{\dfrac{u_n-2}{u_n+3}}=0.$$ 

Cela signifie alors que :
$$\limite{n}{+\infty}{(u_n-2)}=0\;,$$
soit:
$$\limite{n}{+\infty}{u_n}=2.$$
\end{itemize}
\end{exemple}

\begin{exercice}
On considère la suite \suite{u}{n}{} définie par :
$$
\begin{cases}
u_0=2\\
u_{n+1}=\dfrac{u_n+12}{u_n+2}\qquad\forall n\in\N
\end{cases}
$$
\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout entier naturel $n$, $u_n\geqslant0$. En déduire que \suite{u}{n}{} existe bien.
\item On pose $v_n=\dfrac{u_n-3}{u_n+4}  $ pour tout entier naturel $n$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que \suite{v}{n}{} est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
\item Montrer alors que \suite{u}{n}{} converge et donner sa limite.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}

\section{Pour aller plus loin ... (hors programme de lycée)}

Nous l'avons vu à travers les deux exemples précédents, il y a des cas qui se ramènent à des suites arithmétiques et d'autres à des suites géométriques. Mais les suites auxiliaires ne se trouvent pas au hasard ...

\begin{definition}
Soit \suite{u}{n}{} une suite définie par son premier terme $u_0$ et par la relation de récurrence :
$$ u_{n+1}=\dfrac{au_n+b}{cu_n+d}.$$
On appelle \emph{polynôme caractéristique} de \suite{u}{n}{} le polynôme défini par :
$$ \chi(x)= cx^2+(d-a)x-b.$$
\end{definition}

\begin{remarque}
Ce polynôme est obtenu à partir l'équation :
$$ x = \dfrac{ax+b}{cx+d}\;,$$
qui devient :
$$ x(cx+d)=ax+b$$
puis :
$$ cx^2+(d-a)x-b=0.$$
Le polynôme caractéristique est le membre de gauche de l'équation.
\end{remarque}

\begin{propriete}[Choix de la suite auxiliaire]
~\par 
\begin{itemize}
\item Si $\chi(x)$ admet deux racines distinctes $\alpha$ et $\beta$, alors la suite auxiliaire sera géométrique et définie par la relation :
$$ v_n=\dfrac{u_n-\alpha}{u_n-\beta}\qquad,\qquad\text{avec}\qquad 0<\left\vert\dfrac{a-c\alpha}{a-c\beta}\right\vert<1.$$

\item Si $\chi(x)$ admet une racine double $\alpha$, alors la suite auxiliaire sera arithmétique et définie par la relation :
$$
v_n=\dfrac{1}{u_n-\alpha}.
$$

\item Si $\chi(x)$ n'admet aucune racine réelle, alors la suite \suite{u}{n}{} diverge.
\end{itemize}
\end{propriete}

Bien entendu, je ne vais pas démontrer cette propriété, qui est présente ici uniquement pour inciter les élèves curieux à approfondir le sujet.

\newpage

\section{Corrigés des exercices}

\begin{correction}
\begin{enumerate}
\item Montrons par récurrence que $u_n\leqslant2$ pour tout entier naturel $n$.
\begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation.}

$u_0=1\leqslant2$ donc l'initialisation est vérifiée.

\item \textbf{Hérédité.}

Supposons que pour un entier naturel $k$ fixé, $u_k\leqslant2$.
$$
\begin{aligned}
u_{k+1} & = \dfrac{u_k-4}{u_k-3}\\
& = \dfrac{2(u_k-3)-u_k+2}{u_k-3}\\
& = 2-\dfrac{u_k-2}{u_k-3}.
\end{aligned}
$$
Or, par hypothèse de récurrence,
$$u_k-2\leqslant0$$
et donc
$$ u_k-3\leqslant0.$$
Par conséquent, $$\dfrac{u_k-2}{u_k-3}\geqslant0.$$
On en déduit donc que : $$ -\dfrac{u_k-2}{u_k-3}\leqslant0$$
et donc que :
$$u_{k+1}=2-\dfrac{u_k-2}{u_k-3}\leqslant2.$$
L'hérédité est alors démontrée.
\end{itemize}
Ainsi,pour tout entier naturel $n$, $u_n\leqslant2$, ce qui implique que la suite \suite{u}{n}{} est bien définie (car $u_n\neq3$ quel que soit l'entier naturel $n$).

\item
\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
v_{n+1} & = \dfrac{1}{u_{n+1}-2}\\
& = \dfrac{1}{\frac{u_n-4}{u_n-3}-2}\\
& = \dfrac{u_n-3}{u_n-4-2(u_n-3)}\\
& = \dfrac{u_n-3}{-u_n+2}\\
& = \dfrac{-u_n+3}{u_n-2}
\end{aligned}$

$\begin{aligned}[t]
& = \dfrac{-(u_n-2)+1}{u_n-2}\\
& = -1+\dfrac{1}{u_n-2}\\
& = -1+v_n.
\end{aligned}$

Ainsi, \suite{v}{n}{} est une suite arithmétique de raison $r=-1$ et de premier terme $v_0=\dfrac{1}{u_0-2}=\dfrac{1}{-1}=-1$.
\item De la question précédente, on déduite que :
$$ v_n=-1-n\;,$$
et donc :
$$ u_n=2+\dfrac{1}{v_n}=2-\dfrac{1}{1+n}.$$
\item $\limite{n}{+\infty}{(1+n)}=+\infty$ donc $\limite{n}{+\infty}{\dfrac{1}{1+n}}=0$.

Par conséquent, $\limite{n}{+\infty}{u_n}=2$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{correction}

\begin{correction}
\begin{enumerate}
\item Montrons par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $u_n\geqslant0$.
\begin{itemize}
\item \textbf{Initialisation.}

$u_0=2\geqslant0$ donc l'initialisation est vérifiée.

\item \textbf{Hérédité.}

Supposons que pour un entier naturel $k$ fixé, $u_k\geqslant0$. 

Alors, $u_k+12\geqslant0$ et $u_k+2\geqslant0$, ce qui implique que $u_{k+1}=\dfrac{u_k+12}{u_k+2}\geqslant0$.

L'hérédité est alors démontrée.
\end{itemize}

Ainsi, pour tout entier naturel $n$, $u_n\geqslant0$, ce qui assure le fait que $u_n\neq-2$ et donc que la suite \suite{u}{n}{} existe bien.

\item 
\begin{enumerate}
\item $\begin{aligned}[t]
v_{n+1} & = \dfrac{u_{n+1}-3}{u_{n+1}+4}\\
& = \dfrac{\frac{u_n+12}{u_n+2}-3}{\frac{u_n+12}{u_n+2}+4}\\
& = \dfrac{u_n+12-3(u_n+2)}{u_n+2}\times\dfrac{u_n+2}{u_n+12+4(u_n+2)}\\
& = \dfrac{-2u_n+6}{5u_n+20}\\
& = -\dfrac{2}{5}\times\dfrac{u_n-3}{u_n+4}\\
& = -\dfrac{2}{5}v_n\;.
\end{aligned}$

Ainsi, \suite{v}{n}{} est une suite géométrique de raison $q=-\dfrac{2}{5}$ et de premier terme $v_0=\dfrac{u_0-3}{u_0+4}=\dfrac{-1}{6}$.

\item $0<q<1$ donc $\limite{n}{+\infty}{v_n}=0$. Ainsi, $\limite{n}{+\infty}{\dfrac{u_n-3}{u_n+4}}=0$, d'où $\limite{n}{+\infty}{(u_n-3)}=0$. Par conséquent,
$$ \limite{n}{+\infty}{u_n}=3.$$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{correction}

\endinput