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\title{Les mathématiques du quotidien}
\author{Stéphane Pasquet}
\date{\today}	
\begin{document}
\maketitle

\chapter{Calculer l'impôt sur le revenu}

\section{Introduction}

Chaque foyer est composée de \textit{parts fiscales}. Par exemple,
\begin{itemize}
\item une personne célibataire correspond à 1 part fiscale;
\item un couple de deux personnes (mariées ou pacsées) constitue 2 parts fiscales;
\item un couple de deux personnes (mariées ou pacsées) avec un enfant correspond à 2,5 parts fiscales;
\item un couple de deux personnes (mariées ou pacsées) avec deux enfants correspond à 3 parts fiscales;
\item un couple de deux personnes (mariées ou pacsées) avec trois enfant correspond à 4 parts fiscales;
\item une personne divorcée avec un enfant en garde alternée correspond à 1,25 part fiscale.
\end{itemize}

À chaque foyer correspond un \textit{quotient familial}, qui est égal à :
\[
\text{quotient familial} = \frac{\text{revenu imposable}}{\text{nombre de parts fiscales}}.
\]

\section{Du côté des mathématiques}

L'impôt sur les revenus d'un foyer est calculé en fonction du quotient familial; c'est ce que l'on nomme la \textit{répartition en tranches fiscales}.

Par mesure de lisibilité, je vais noter $R$ le revenu fiscal annuel de référence du foyer.  Ce revenu est obtenu en prenant le revenu annuel total des membres du foyer et en enlevant les frais réels ou \pourcent{10} (selon l'option que l'on choisit) ainsi que diverses déductions.

Pour simplifier, dans un premier temps, considérons qu'il n'y a aucune déduction fiscale (nous y reviendrons plus tard) autre que les \pourcent{10} par défaut.

\medskip

Au 14 février 2018, le tableau suivant nous permet de calculer l'impôt du foyer.

\medskip

\begin{table}[ht]
\begin{center}
\begin{tabular}{|Sc|Sc|}
\hline
\rowcolor{tabularhead}\bfseries Tranche fiscale & \bfseries Impôt (en \euro)\\
\hline
$0\;\text{\euro}\leqslant R\leqslant \numprint{9807}\;\text{\euro}$ & 0 \\\hline
$\numprint{9808}\;\text{\euro}\leqslant R\leqslant \numprint{27086}\;\text{\euro}$ & $0,14\times(R-\numprint{9807})$\\
\hline
$\numprint{27087}\;\text{\euro}\leqslant R\leqslant \numprint{72617}\;\text{\euro}$ & $\numprint{2419}+0,3\times(R-\numprint{27086})$\\
\hline
$\numprint{72618}\;\text{\euro}\leqslant R\leqslant \numprint{153783}\;\text{\euro}$ & $\numprint{16078}+0,41\times(R-\numprint{72618})$\\
\hline
$R\geqslant \numprint{153784}\;\text{\euro}$ & $\numprint{49356}+0,45\times(R-\numprint{153783})$\\
\hline
\end{tabular}

\caption{Tranches d'imposition}
\label{tableau:tranchesimposition}
\end{center}
\end{table}

\newpage

Les formules permettant de calculer l'impôt (de base) -- colonne de droite -- sont, en termes mathématiques, des \textit{expressions algébriques}. 

On peut aussi dire que l'impôt est une \textit{fonction définie par morceaux} car sa représentation graphique est composée de plusieurs segments :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[xscale=0.5]
\draw[thick,->,>=latex] (0,0) -- (20,0) node[below left,inner ysep=1em] {Tranches};
\draw[thick,->,>=latex] (0,0) -- (0,7.5) node[right] {Impôts};
\draw[thick,courbescolor] (0,0) -- (0.9,0);
\draw[thick,courbescolor] plot[domain=0.9808:2.7086] (\x,{0.14*(\x-0.9807});
\draw[thick,courbescolor] plot[domain=2.7087:7.2617] (\x,{0.2419+0.3*(\x-2.7086});
\draw[thick,courbescolor] plot[domain=7.2617:15.3783] (\x,{1.6078+0.41*(\x-7.2618});
\draw[thick,courbescolor] plot[domain=15.3783:20] (\x,{4.9356+0.45*(\x-15.3783});
\draw[dotted] (2.7,{0.14*(2.7-0.9807}) -- (2.7,0) node[below,scale=0.75] {\numprint{27087}\;\euro};
\draw[dotted] (7.2,{0.2419+0.3*(7.2-2.7086}) -- (7.2,0) node[below,scale=0.75] {\numprint{72618}\;\euro};
\draw[dotted] (15.37,{1.6078+0.41*(15.37-7.2618}) -- (15.37,0) node[below,scale=0.75] {\numprint{153784}\;\euro};
\node[scale=0.75,below] at (0,0) {0\;\euro};
\draw[<-,>=latex] (0.98,0) -- (0.98,-0.5) node[below,scale=0.75]  {\numprint{9808}\;\euro};
\foreach\y in {1,2,3,4,5,6,7}
{
\draw[thick] (0.2,\y) -- (-0.2,\y) node[left,scale=0.75] {\y000\euro};
}
\end{tikzpicture}
\end{center}

Voici un exemple d'utilisation du tableau \ref{tableau:tranchesimposition} sur le cas d'un parent célibataire avec un enfant en garde alternée. Son quotient familial est alors égal à 1,25. Son revenu fiscal annuel est égal à \numprint{25087}\;\euro. En divisant par le quotient familial, le revenu retenu est alors :
\[
R = \numprint{25087}\div1,25\approx\numprint{20070}\;\text{\euro}.
\]
Par défaut, on enlève \pourcent{10} (si l'on n'opte pas pour les frais réels), ce qui transforme ce revenu en :
\[
R = 0,9\times\numprint{20070}=\numprint{18063}\;\text{\euro}.
\]
Je rappelle qu'enlever \pourcent{10} à un nombre revient à le multiplier par $1-\dfrac{10}{100}$, c'est-à-dire par 0,9.

\medskip

Le revenu fiscal de référence est donc égal à \numprint{18063}\;\text{\euro}. C'est à partir de ce revenu que les impôts sont calculé en fonction du tableau \ref{tableau:tranchesimposition} : on va donc regarder la 2\ieme{} ligne du tableau (car ce revenu est compris entre \numprint{9808}\;\euro{} et \numprint{27086}\;\euro) et on va alors faire le calcul suivant :
\[
0,14\times(\numprint{18063}-\numprint{9807})\approx\numprint{1437}.
\]
Ainsi, l'impôt du foyer fiscal sur les revenus est égal à \numprint{1437}\;\euro.

\subsection{Les avantages fiscaux}

Quand on emploie une personne à son domicile, on voir souvent comme argument : \og \pourcent{50} de déductions fiscales \fg. Regardons ce que cela signifie.

Supposons que notre parent isolé avec son enfant emploie un professeur de mathématiques pour dispenser des cours particuliers. Sur une année, il a versé en tout (salaire + charges) \numprint{5110}\;\euro. Il aura droit à déduire de son revenu fiscale de référence la moitié de cette somme, soit \numprint{2555}\;\euro. Son nouveau revenu fiscal de référence est alors :
\[
R=0,9\times(\numprint{25087}-\numprint{2555})\div1,25=\numprint{16223}\;\text{\euro}.
\]
Son impôt sera alors :
\[ 0,14\times(\numprint{16223}-\numprint{9807})\approx898\;\text{\euro}.
\]

Il y a énormément d'autres possibilités de voir ses impôts réduits, et je ne vais pas vous les expliquer ici. 

\bigskip

Avoir une connaissance des mathématiques de base permet de comprendre le \og mode d'emploi \fg{} des impôts sur les revenus. En général, les notions nécessaires pour comprendre sont acquises au collège.
\end{document}