\chapter{Introduction}

\section{Historique}

Le calcul intégral fait partie d'une branche plus vaste des mathématiques, que l'on nomme le \emph{calcul infinitésimal}.

\medskip

Le développement du calcul infinitésimal est attribué à Archimède, Leibniz et Newton. Cependant, lorsque le calcul infinitésimal a été ? initialement développé, une controverse fut soulevée sur qui en avait la paternité ; Leibniz et Newton  étant les principaux candidats. La vérité ne sera probablement jamais connue et de toute
façon, elle importe peu de nos jours. La contribution majeure de Leibniz fut sans conteste son système de notation.

\medskip

La controverse fut cependant malheureuse car elle a divisé pendant de nombreuses années les mathématiciens anglophones et ceux du reste de l'Europe. Cela a retardé le progrès de l'analyse (mathématiques basées sur le calcul infinitésimal) en Grande-Bretagne pendant longtemps. La terminologie et les notations de Newton étaient clairement moins flexibles que celles de Leibniz. Elles furent malgré tout conservées jusqu'au début du XIX\ieme{} siècle lorsque le travail de l'Analytical Society introduisit avec succès la notation de Leibniz en Grande-Bretagne.

\medskip

On pense que Newton a découvert plusieurs concepts bien avant Leibniz, mais que ce dernier fut le premier a les publier. Actuellement, on considère que Leibniz et Newton ont développé le calcul infinitésimal indépendamment.

\medskip

Barrow, Descartes, Fermat, Huygens et Wallis contribuèrent également dans une moindre mesure au développement du calcul infinitésimal.

\medskip

Kowa Seki, un mathématicien japonais contemporain de Leibniz et Newton, a aussi énoncé quelques principes fondamentaux du calcul intégral. Cependant, son travail ne fut pas connu en Occident à cette  époque suite au manque de contacts avec l'Extrême-Orient.

\medskip

La justification première du développement du calcul différentiel  était de trouver une solution du \og problème de la tangente \fg.

\medskip

Ce n'est qu'au XIX\ieme{} siècle que le concept de limite sera véritablement explicité. Et c'est seulement ainsi que le calcul différentiel pourra vraiment se développer.

\medskip

Car, en effet, ce ne sont pas sur des rapports que travaillent Newton et Leibniz, mais bien sur des limites de rapport, et c'est ce concept qui est la base de tout le reste. C'est à cette  époque que le nombre réel comme nous le connaissons est véritablement introduit chez les mathématiciens. Autant chez Newton que chez Leibniz, c'est cette conception qui manque et qui les empêche de fonder la limite
sur des bases rigoureuses. Le nombre comme ils le conçoivent est encore très inspiré de la vision d'Euclide. Et sans la caractérisation de la densité et du caractère intrinsèquement infini des réels, le concept de limite ne peut voir le jour.

\medskip

C'est ce qui fait que leurs détracteurs, au nombre desquels George Berkeley, seront très nombreux. On accusera aussi Leibniz d'avoir copié l'\oe uvre de Newton. S'en suivront de nombreuses disputes et des attaques personnelles entre les deux hommes. Nous pouvons cependant constater que leurs approches sont très différentes et c'est cette différence qui apporte toute sa richesse et toute son inventivité à ce nouveau concept. C'est aussi ces deux visions des choses, dans leurs points communs et dans leurs dissemblances, qui peuvent nous permettre, encore aujourd'hui, de mieux comprendre ce concept de valeur infinitésimale. En effet, c'est son rapport avec la physique, la philosophie ou la géométrie, qu'eux-mêmes ont dû faire pour le conceptualiser, qui nous donne la possibilité de le saisir dans son ensemble.

\medskip

Malgré les critiques, les méthodes simples et claires mises au point par Newton et Leibniz, en particulier le nouveau formalisme introduit par Leibniz, permettent de résoudre le problème des tangentes et de la quadrature, qui préoccupaient beaucoup les mathématiciens de l'époque. Et c'est pourquoi elles se sont petit à  petit fait accepter jusqu'à leur fondation sur des bases solides au XIX\ieme{} siècle. Nous devons encore beaucoup à ces concepts et nous utilisons encore d'ailleurs le formalisme de Leibniz de façon courante et même celui de Newton en physique. Et c'est pourquoi, encore aujourd'hui, Newton et Leibniz, au-delà de leurs querelles, sont considérés comme les fondateurs du calcul infinitésimal.

\begin{flushright}
Source : \url{http://fr.wikipedia.org}
\end{flushright}

\section{L'opérateur de dérivation \& d'intégration}

\begin{defin}
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $\mathcal{I}$ de variable $x$, dont la dérivée es( $f'$.\\
On appellera \bold{opérateur de dérivation}, et on notera $\dfrac{\text{d}}{\text{d}x}$, l'opérateur mathématique tel que :
\[
\forall x\in\mathcal{I},\: \dfrac{\text{d}f(x)}{\text{d}x}=f'(x)
\]
\end{defin}

On reconnaît ici une notation très utilisées en sciences physiques.

\medskip

Cet opérateur admet un \emph{opérateur réciproque}, que l'on va noter \og $\int$ \fg, c'est-à-dire tel que, pour une fonction $f$ dérivable sur un intervalle $\mathcal{I}$ :
\[
\forall x\in\mathcal{I},\: \int\dfrac{\text{d}f(x)}{\text{d}x}=\dfrac{\text{d}\int f(x)}{\text{d}x}=f(x)
\]

\begin{defin}
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $\mathcal{I}$.\\
On appelle \bold{primitive} de $f$ toute fonction $F$ telle que :
\[
F'(x)=f(x)
\]
\end{defin}

\begin{rem}
Il n'existe pas qu'une seule primitive à une fonction. En effet, si $F$ est une primitive de $f$, alors pour tout réel $k$, $F+k$ est aussi une primitive de $f$ car $(F+k)'=F'+k'=F'+0=F'=f$.
\end{rem}

\begin{exemple}
\begin{enumerateperso}
\item $f(x)=x^2$ donc $F(x)=\dfrac{1}{3}x^3+k$, $k\in\mathbb{R}$.
\item $f(x)=\cos x$ donc $F(x)=\sin x + k$, $k\in\mathbb{R}$.
\end{enumerateperso}
\end{exemple}

\begin{defin}
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $\mathcal{I}=[a;b]$.\\
On appellera \bold{intégrale} de $f$ sur $\mathcal{I}$ le nombre :
\[ F(b)-F(a) \] et on notera :
\[
\int_a^b f(x)\dx = \left[F(x)\right]_a^b=F(b)-F(a)
\]
\end{defin}

\begin{prop}[(Linéarité)]
Pour toutes fonctions $f$ et $g$ continues sur $[a;b]$, pour tout nombre réel $\lambda$, on a :
\begin{enumerateperso}
\item $\dint_a^b\left(f(x)+g(x)\right)\dx=\dint f(x)\dx + \dint g(x)\dx$
\item $\dint_a^b \lambda f(x)\dx = \lambda\dint_a^b f(x)\dx$
\end{enumerateperso}
\end{prop}

\begin{exemple}
\begin{enumerateperso}
\item $\dint_0^1\left(x^2+x^3\right)\dx=\dint_0^1 x^2\dx+\dint_0^1 x^3\dx=\left[\dfrac{1}{3}x^3\right]_0^1+\left[\dfrac{1}{4}x^4\right]_0^1=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{7}{12}$.
\item $\dint_0^1 \left(4x^2\right)\dx=4\dint_0^1 x^2\dx=4\left[\dfrac{1}{3}x^3\right]_0^1=4\times\dfrac{1}{3}=\dfrac{4}{3}$.
\end{enumerateperso}
\end{exemple}

\begin{prop}[(Relation de Chasles)]
Pour toute fonction $f$ continue sur $[a;b]$, pour tout nombre réel $c\in[a;b]$, on a :
\[
\int_a^b f(x)\dx = \int_a^c f(x)\dx+\int_c^b f(x)\dx
\]
\end{prop}

\section{Tableau des principales primitives}

\begin{tabular}{|*3{Sc|}}
\hline\rowcolor{bleu!20}
\makebox[0.3\textwidth]{\bfseries Fonctions} & \makebox[0.3\textwidth]{\bfseries Primitives} & \makebox[0.3\textwidth]{\bfseries Remarques}\\
\hline
$\lambda$ & $\lambda x$ & $\lambda\in\R$\\
\hline
$x$ & $\dfrac{1}{2}x^2+k$ & $k\in\R$ \\
\hline
$x^2$ & $\dfrac{1}{3}x^3+k$ & $k\in\R$\\
\hline
$\dfrac{1}{x}$ & $\ln x+k$ & $x>0$, $k\in\R$\\
\hline
$\dfrac{1}{x^2}$ & $-\dfrac{1}{x}+k$ & $x\neq 0$, $k\in\R$\\
\hline
$\dfrac{1}{x^3}$ & $-\dfrac{1}{2x^2}+k$ & $x\neq 0$, $k\in\R$\\
\hline
$x^n$ & $nx^{n-1}$ & $n\in\Z^*-\{1\}$\\
\hline
$\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ & $2\sqrt{x} +k$ & $x>0$, $k\in\R$\\
\hline
$\cos x$ & $\sin x+k$ &$k\in\R$ \\
\hline
$\sin x$ & $-\cos x+k$ & $k\in\R$\\
\hline
$\tan x$ & $\ln \vert \cos x \vert+k$ & $x \neq \dfrac{\pi}{2}+p\pi$, $p\in\Z$, $k\in\R$\\
\hline
$\e^x$ & $e^x+k$ & $k\in\R$\\
\hline
$\e^{\lambda x}$ & $\dfrac{1}{\lambda}e^{\lambda x}+k$ & $\lambda\in\R^*$, $k\in\R$\\
\hline
\hline
$u'u^n$ & $\dfrac{u^{n+1}}{n+1}$ & $n\in\Z-\{-1\}$\\
\hline
$\dfrac{u'}{u}$ & $\ln\vert u\vert$ & $u\neq 0$\\
\hline
$\dfrac{u'}{u^n}$ & $-\dfrac{1}{n-1}\times\dfrac{1}{u^{n-1}}$ & $n\neq 1$, $u\neq 0$\\
\hline
$\dfrac{u'}{\sqrt{u}}$ & $\sqrt{u}$ & $u>0$\\
\hline
$v'\times u'\circ v$ & $u\circ v$ & \\
\hline
$u'\e^u$ & $\e^u$ & \\
\hline
\end{tabular}

\newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% EXERCICES

\section{Exercices}

%%%%%%%%%%%%%%%%%% EX 1

\begin{exo}[1]{Primitives de polyn\^omes}
Pour chacune des fonctions suivantes, donner les primitives :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerateperso}
\item $f_1(x)=3x^2-5x+2$
\item $f_2(x)=\dfrac{1}{3}x^3+\dfrac{1}{2}x^2$
\item $f_3(x)=x\sqrt{3}-x^2\sqrt{2}+1$
\item $f_4(x)=10^9x^{10}-10^{-10}x^9$
\end{enumerateperso}
\end{multicols}
\begin{correction}
\begin{enumerateperso}
\item $F_1(x)=x^3-\dfrac{5}{2}x^2+2x+k$, $k\in\R$.
\item $F_2(x)=\dfrac{1}{12}x^4+\dfrac{1}{6}x^3+k$, $k\in\R$.
\item $F_3(x)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}x^2-\dfrac{\sqrt{2}}{3}x^3+x+k$, $k\in\R$.
\item $F_4(x)=\dfrac{10^9}{11}x^{11}-10^{-11}x^{10}+k$, $k\in\R$.
\end{enumerateperso}
\end{correction}
\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%% EX 2

\begin{exo}[1]{Primitives de fonctions inverses}
Pour chacune des fonctions suivantes, donner les primitives :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerateperso}
\item $f_1(x)=\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{3}{x^3}$
\item $f_2(x)=\dfrac{1}{3}x^{-3}+\dfrac{1}{2}x^{-2}$
\item $f_3(x)=\dfrac{\sqrt{10}}{x^{10}}$
\item $f_4(x)=10^9x^{-10}-10^{-10}x^{-9}$
\end{enumerateperso}
\end{multicols}
\begin{correction}
\begin{enumerateperso}
\item $F_1(x)=-x^{-1}+\dfrac{3}{2}x^{-2}+k=\dfrac{-1}{x}+\dfrac{3}{2x^2}+k$, $k\in\R$.
\item $F_2(x)=-\dfrac{1}{6}x^{-2}-\dfrac{1}{2}x^{-1}+k=-\dfrac{1}{6x^2}-\dfrac{1}{2x}+k$, $k\in\R$.
\item $F_3(x)=-\dfrac{\sqrt{10}}{9}x^{-9}+k=-\dfrac{\sqrt{10}}{9x^9}+k$, $k\in\R$.
\item $F_4(x)=-\dfrac{10^9}{9}x^{-9}+\dfrac{10^{-10}}{8}x^{-8}+k$, $k\in\R$.
\end{enumerateperso}
\end{correction}
\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%% EX 3

\begin{exo}[1]{Primitives de fractions rationnelles}
Pour chacune des fonctions suivantes, donner les primitives :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerateperso}
\item $f_1(x)=\dfrac{2x+1}{x^2+x+1}$
\item $f_2(x)=\dfrac{x^2+1}{x^3+3x}$
\item $f_3(x)=\dfrac{5x^4+9}{\left(x^5+9x+1\right)^5}$
\item $f_4(x)=\dfrac{16x^7+10x^4}{\left(x^8+x^5+9\right)^7}$
\end{enumerateperso}
\end{multicols}
\begin{correction}
\begin{enumerateperso}
\item $f_1(x)$ est de la forme $\dfrac{u'}{u}$, avec $u(x)=x^2+x+1$.\\
Donc $F_1(x)=\ln\left(x^2+x+1\right)+k$, $k\in\R$.
\paragraph*{N.B.} $x^2+x+1>0$ donc on ne met pas de valeur absolue au $\ln$.

\item $f_2(x)$ est de la forme $3\dfrac{u'}{u}$, avec $u(x) = x^3+3x$.\\
Donc $F_2(x)=3\ln\vert x^3+3x\vert+k$, $x>0$ et $k\in\R$.

\item $f_3(x)$ est de la forme $\dfrac{u'}{u^5}$, avec $u(x)=x^5+9x+1$.\\
Donc $F_3(x)=-\dfrac{1}{4\left(x^5+9x+1\right)^4}+k$, $k\in\R$.

\item $f_4(x)$ est de la forme $2\dfrac{u'}{u^7}$, où $u(x)=x^8+x^5+9$.\\
Donc $F_4(x)=-\dfrac{1}{3\left(x^8+x^5+9\right)^6}+k$, $k\in\R$.
\end{enumerateperso}
\pagebreak
\end{correction}
\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%% EX 4

\begin{exo}[1]{Primitives de fonctions composées}
Pour chacune des fonctions suivantes, donner les primitives :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerateperso}
\item $f_1(x)=\dfrac{2x+1}{\sqrt{x^2+x+1}}$
\item $f_2(x)=\left(3x^2-5\right)\e^{x^3-5x+1}$
\item $f_3(x)=(2x+7)\sin\left(x^2+7x+3\right)$
\item $f_4(x)=\dfrac{3x+1}{x^3+x+1}$
\end{enumerateperso}
\end{multicols}
\begin{correction}
\begin{enumerateperso}
\item $f_1(x)$ est de la forme $\dfrac{u'}{\sqrt{u}}$, avec $u(x)=x^2+x+1$.\\
Donc $F_1(x)=\sqrt{x^2+x+1}+k$, $k\in\R$.

\item $f_2(x)$ est de la forme $u'\e^u$, avec $u(x) = x^3-5x+1$.\\
Donc $F_2(x)=\e^{x^3-5x+1}+k$, $k\in\R$.

\item $f_3(x)$ est de la forme $u'\sin u$, avec $u(x)=x^2+7x+3$.\\
Donc $F_3(x)=-\cos\left(x^2+7x+3\right)+k$, $k\in\R$.

\item $f_4(x)$ est de la forme $2\dfrac{u'}{u}$, où $u(x)=x^3+x+1$.\\
Donc $F_4(x)=\ln\left\vert x^3+x+1\right\vert +k$, $k\in\R$.
\end{enumerateperso}
\end{correction}
\end{exo}

%%%%%%%%%%%%%%%%% EX 5

\begin{exo}[2]{Primitives de produits}
Pour chacune des fonctions suivantes, donner une primitive :
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerateperso}
\item $f_1(x)=\left(5^4x+9\right)\left(x^5+9x-8\right)$
\item $f_2(x)=(15x-25)\left(x^3-5x+1\right)^2$
\item $f_3(x)=(x+1)^2\left(\dfrac{1}{3}x^3+x^2+x-1\right)^5$
\item $f_4(x)=\dfrac{(2x+3)\ln\left(x^2+3x+7\right)}{x^2+3x+7}$
\item $f_5(x)=(2x+1)\left(\e^{x^2+x+1}\right)^9$
\item $f_6(x)=\sin x\left(\cos x\right)^3$
\end{enumerateperso}
\end{multicols}
\begin{correction}
\begin{enumerateperso}
\item $f_1(x)$ est de la forme $u'u$, où $u(x)=x^5+9x-8$.\\
Donc $F_1(x)=\dfrac{1}{2}\left(x^5+9x-8\right)$.

\item $f_2(x)$ est de la forme $5u'u^2$, où $u(x)=x^3-5x+1$.\\
Donc $F_2(x)=\dfrac{5}{3}\left(x^3-5x+1\right)^3$.

\item $f_3(x)$ est de la forme $u'u^5$, où $u(x)=\dfrac{1}{3}x^3+x^2+x-1$.\\
Donc $F_3(x)=\dfrac{1}{6}\left(\dfrac{1}{3}x^3+x^2+x-1\right)^6$.

\item $f_4(x)$ est de la forme $u'u$, où $u(x)=\ln\left(x^2+3x+7\right)$.\\
Donc $F_4(x)=\dfrac{1}{2}\left(\ln\left(x^2+3x+7\right)\right)^2$.

\item $f_5(x)$ est de la forme $u'u^8$, où $u(x)=\e^{x^2+x+1}$.\\
Donc $F_5(x)=\dfrac{1}{9}\left(\e^{x^2+x+1}\right)^9$.

\item $f_6(x)$ est de la forme $-u'u^3$, où $u(x)=\cos x$.\\
Donc $F_6(x)=-\dfrac{1}{4}\left(\cos x\right)^4$.
\end{enumerateperso}
\end{correction}
\end{exo}


\newpage

\AfficheCorrections