\chapter{Une histoire d'aire}

\begin{act}
Nous allons calculer l'aire $\mathscr{A}$ du domaine compris entre la courbe $\mathscr{C}$ ci-dessous, représentative de la fonction $f\: :\: x \mapsto x^2$, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x=a$ et $x=b$, où $b>a>0$.\\
On divise $[a;b]$ en $n$ subdivisions de même amplitude $\dfrac{b-a}{n}$, notées $I_k=\left[a;a+\dfrac{b-a}{n}k\right]$, pour $1\leqslant k\leqslant n$.

\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[yscale=0.2]
\draw[thick,->,>=stealth'] (0,0) -- (6,0);
\draw[thick,->,>=stealth'] (0,0) -- (0,30);
\shade[top color=theoreme,bottom color=white] (1,0)--plot[domain=1:4,samples=70] (\x,{\x*\x})--(4,0)--cycle;
\draw[thick] plot[domain=0:1,samples=70] (\x,{\x*\x});
\draw[thick,red] (1,0) node[below] {$a$} -- plot[domain=1:4,samples=70] (\x,{\x*\x}) -- (4,0) node[below] {$b$};
\draw[thick] plot[domain=4:5,samples=70] (\x,{\x*\x}) node[below right] {$\mathscr{C}$};
\draw[thick,->,>=stealth'] (0,0) -- (6,0);
\draw[thick,->,>=stealth'] (0,0) -- (0,30);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{enumerateperso}
\item On considère la famille de rectangles $r_k$ de base $I_k$ et de hauteur $f\left(a+\dfrac{(k-1)(b-a)}{n}\right)$, d'aire $a_k$, puis la famille de rectangles $R_k$ de base $I_k$ et de hauteur $f\left(a+\dfrac{k(b-a)}{n}\right)$, d'aire $A_k$, pour $1 \leqslant k \leqslant n$.\\
Montrer que $\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k \leqslant \mathscr{A} \leqslant \displaystyle\sum_{k=1}^n A_k$.
\item Exprimer $\lim\limits_{n\to+\infty}\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k$ et $\lim\limits_{n\to+\infty}\displaystyle\sum_{k=1}^n A_k$ et en déduire une expression de $\mathscr{A}$.
\item Exprimer $\dint_a^b f(x)\dx$. Comparer avec le résultat précédent.
\end{enumerateperso}
\end{minipage}
\end{act}

\begin{enumerateperso}
\item Voyons sur deux schémas ce qui se passe :

\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[yscale=0.15]
\draw[thick,->,>=stealth'] (0,0) -- (6,0);
\draw[thick,->,>=stealth'] (0,0) -- (0,30);
\draw[thick] plot[domain=0:1,samples=70] (\x,{\x*\x});
\draw[thick,red] (1,0) node[below] {$a$} -- plot[domain=1:4,samples=70] (\x,{\x*\x}) -- (4,0) node[below] {$b$};
\draw[thick] plot[domain=4:5,samples=70] (\x,{\x*\x}) node[below right] {$\mathscr{C}$};
\draw[thick,->,>=stealth'] (0,0) -- (6,0);
\draw[thick,->,>=stealth'] (0,0) -- (0,30);
%
\draw[very thick,orange] (1,0) rectangle +(1,1);
\draw[very thick,orange] (2,0) rectangle +(1,4);
\draw[very thick,orange] (3,0) rectangle +(1,9);
\node[below,orange] at (1.5,0) {$I_1$};
\node[below,orange] at (2.5,0) {$I_2$};
\node[below,orange] at (3.5,0) {$I_3$};
\node[orange] at (1.5,4) {$r_1$};
\node[orange] at (2.5,2) {$r_2$};
\node[orange] at (3.5,4) {$r_3$};
\node[right] at (1,16) {Ici, $n=3$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[yscale=0.15]
\draw[thick,->,>=stealth'] (0,0) -- (6,0);
\draw[thick,->,>=stealth'] (0,0) -- (0,30);
\draw[thick] plot[domain=0:1,samples=70] (\x,{\x*\x});
\draw[thick,red] (1,0) node[below] {$a$} -- plot[domain=1:4,samples=70] (\x,{\x*\x}) -- (4,0) node[below] {$b$};
\draw[thick] plot[domain=4:5,samples=70] (\x,{\x*\x}) node[below right] {$\mathscr{C}$};
\draw[thick,->,>=stealth'] (0,0) -- (6,0);
\draw[thick,->,>=stealth'] (0,0) -- (0,30);
%
\draw[very thick,purple] (1,0) rectangle +(1,4);
\draw[very thick,purple] (2,0) rectangle +(1,9);
\draw[very thick,purple] (3,0) rectangle +(1,16);
\node[below,purple] at (1.5,0) {$I_1$};
\node[below,purple] at (2.5,0) {$I_2$};
\node[below,purple] at (3.5,0) {$I_3$};
\node[above,purple] at (1.5,4) {$R_1$};
\node[purple] at (2.5,2) {$R_2$};
\node[purple] at (3.5,4) {$R_3$};
\node[right] at (1,16) {Ici, $n=3$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}

\pagebreak

Nous voyons alors que la somme des aires des $r_k$ est toujours inférieure à $\mathscr{A}$, alors que la somme des aires des $R_k$ est toujours supérieure à $\mathscr{A}$, d'où l'encadrement demandé.

\item 
\begin{align*}
a_k & =\dfrac{b-a}{n}\times f\left(a+(k-1)\dfrac{b-a}{n}\right)\\
& = \dfrac{b-a}{n}\times\left(a+(k-1)\dfrac{b-a}{n}\right)^2\\
& = \dfrac{b-a}{n}\times\left[a^2+2a(k-1)\dfrac{b-a}{n}+(k-1)^2\left(\dfrac{b-a}{n}\right)^2\right]\\
& = a^2\dfrac{b-a}{n}+2a(k-1)\dfrac{(b-a)^2}{n^2}+(k-1)^2\left(\dfrac{b-a}{n}\right)^3
\end{align*}
Donc :
\begin{align*}
\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k & = 
\displaystyle\sum_{k=1}^n a^2\dfrac{(b-a)^2}{n} + \displaystyle\sum_{k=1}^n 2a(k-1)\dfrac{b-a}{n^2} +
\displaystyle\sum_{k=1}^n (k-1)^2\left(\dfrac{b-a}{n}\right)^3\\
& = a^2\dfrac{b-a}{n}\times n + 2a\dfrac{(b-a)^2}{n^2}\displaystyle\sum_{k=1}^n (k-1) + \left(\dfrac{b-a}{n}\right)^3\displaystyle\sum_{k=1}^n (k-1)^2\\
& = a^2(b-a) + 2a\dfrac{(b-a)^2}{n^2}\cdot\dfrac{n(n-1)}{2}+ \left(\dfrac{b-a}{n}\right)^3\dfrac{n(n-1)(2n-1)}{6}\\
& = a^2b-a^3+\dfrac{a(b-a)^2n^2-a(b-a)^2n}{n^2}+\dfrac{2(b-a)^3n^3-3(b-a)^3n^2+(b-a)^3n}{6n^3}
\end{align*}
Ainsi,
\begin{align*}
\lim\limits_{n\to+\infty}\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k & = a^2b-a^3+a(b-a)^2+\dfrac{(b-a)^3}{3}\\
& = \dfrac{1}{3}b^3-\dfrac{1}{3}a^3
\end{align*}

On pourrait alors démontrer que $\lim\limits_{n\to+\infty}\displaystyle\sum_{k=1}^n A_k=\dfrac{1}{3}b^3-\dfrac{1}{3}a^3$.

\medskip

Ainsi, d'après le théorème des gendarmes, $\mathscr{A}=\dfrac{1}{3}b^3-\dfrac{1}{3}a^3$.

\item $\dint_a^b x^2\dx=\left[\dfrac{1}{3}x^3\right]_a^b=\dfrac{1}{3}b^3-\dfrac{1}{3}a^3=\mathscr{A}$.
\end{enumerateperso}

\pagebreak

\section{Fonctions à valeurs positives}

Considérons une fonction $f$, continue sur un intervalle $\mathcal{I}$ de $\R$, telle que :
\[
\forall x\in\mathcal{I},\: f(x)\geqslant 0
\]
Notons alors $\mathscr{A}(a)$ l'aire du domaine délimité par la courbe représentative de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x=0$ et $x=a$. Ainsi, l'aire du domaine représenté ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw[->,>=stealth'] (-1,0) -- (7,0);
\draw[->,>=stealth'] (0,-1) -- (0,5);
\shade[top color=bleunuit,bottom color=bleunuit!20] plot[domain=2:5]  (\x,{0.005*\x*\x*\x+0.07*\x*\x+0.03*\x+1}) -- (5,0) -- (2,0) -- cycle;
\draw[thick] plot[domain=-0.5:6] (\x,{0.005*\x*\x*\x+0.07*\x*\x+0.03*\x+1}) node[below right] {$y=f(x)$};
\node[below] at (2,0) {$a$};
\node[below] at (5,0) {$a+h$};
\node[scale=2,text=white] at (3.5,1) {$\mathscr{A}$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

est égale à :
\[ \mathscr{A}=\mathscr{A}(a+h)-\mathscr{A}(a)\quad , \quad h \geqslant 0 \]
Or, le rectangle de longueur $h$ et de largeur $\max\left(f(a);f(a+h)\right)$ a une aire supérieure à $\mathscr{A}$ et le rectangle de longueur $h$ et de largeur $\min\left(f(a);f(a+h)\right)$ a une aire inférieure à $\mathscr{A}$. D'où :
\[
h\times\min\left(f(a);f(a+h)\right) \leqslant \mathscr{A} \leqslant h\times\max\left(f(a);f(a+h)\right)
\]
Ainsi :
\[
\min\left(f(a);f(a+h)\right) \leqslant \frac{\mathscr{A}}{h} \leqslant \max\left(f(a);f(a+h)\right)
\]
ou encore :
\[
\min\left(f(a);f(a+h)\right) \leqslant \frac{\mathscr{A}(a+h)-\mathscr{A}(h)}{h} \leqslant \max\left(f(a);f(a+h)\right)
\]
On en déduit alors, par passage à la limite :
\[
\lim_{h\to 0} \frac{\mathscr{A}(a+h)-\mathscr{A}(h)}{h} = f(a)
\]
Ce dernier résultat est valable pour tout $a$, donc la fonction $\mathscr{A}\: :\: x \mapsto \mathscr{A}(x)$ est une primitive de $f$.\\
On peut alors écrire :
\[
\mathscr{A}=\mathscr{A}(a+h)-\mathscr{A}(h)=\int_a^{a+h} f(x)\dx
\]
On peut alors écrire le théorème suivant :

\begin{thm}
Soit $f$ une fonction continue sur $[a;b]$, de courbe représentative $\mathscr{C}$, telle que $f(x) \geqslant 0$ sur $[a;b]$. \\
L'aire du domaine délimité par $\mathscr{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=a$ et $x=b$ est :
\[
\mathscr{A}=\int_a^b f(x)\dx
\]
\end{thm}

\section{Fonctions à valeurs négatives}

Considérons la fonction $f$, positive sur $\mathscr{I}$, et la fonction $g$ telle que $g(x)=-f(x)$ sur $\mathscr{I}$.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[yscale=0.5]
\draw[->,>=stealth'] (-1,0) -- (7,0);
\draw[->,>=stealth'] (0,-5) -- (0,5);
\shade[top color=bleunuit,bottom color=bleunuit!20] plot[domain=2:5]  (\x,{0.005*\x*\x*\x+0.07*\x*\x+0.03*\x+1}) -- (5,0) -- (2,0) -- cycle;
\shade[top color=theoreme!50,bottom color=theoreme!20] plot[domain=2:5]  (\x,{-0.005*\x*\x*\x-0.07*\x*\x-0.03*\x-1}) -- (5,0) -- (2,0) -- cycle;
\draw[thick] plot[domain=-0.5:6] (\x,{0.005*\x*\x*\x+0.07*\x*\x+0.03*\x+1}) node[below right] {$y=f(x)$};
\draw[thick] plot[domain=-0.5:6] (\x,{-0.005*\x*\x*\x-0.07*\x*\x-0.03*\x-1}) node[above right] {$y=g(x)$};
\node[below left] at (2,0) {$a$};
\node[below right] at (5,0) {$a+h$};
\node[text=white] at (3.5,1) {$\mathscr{A}$};
\node at (3.5,-1) {$\mathscr{A}^\prime$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

On a alors :
\[
\mathscr{A}^\prime=\int_a^b g(x)\dx=\int_a^b(-f(x))\dx=-\int_a^b f(x)\dx=-\mathscr{A}
\]

De plus, par rapport à ce qui a été écrit dans la section précédente, on peut affirmer que $\dint_b^a f(x)\dx=-\dint_a^b f(x)\dx$.

\medskip

D'où le théorème suivant :

\begin{thm}
Soit $f$ une fonction continue négative que $[a;b]$, de courbe représentative $\mathscr{C}$, telle que $f(x) \geqslant 0$ sur $[a;b]$. \\
L'aire du domaine délimité par $\mathscr{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=a$ et $x=b$ est :
\[
\mathscr{A}=-\int_a^b f(x)\dx=\int_b^a f(x)\dx
\]
\end{thm}

\section{Fonctions à signe non constant}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[yscale=0.5]
\shade[bottom color=bleu!10,top color=bleu!50] plot[domain=0:4] (\x,{\x*\x-5*\x+2}) -- (4,0) -- (0,0) -- cycle;
\draw[->,>=stealth',thick] (-2,0) -- (7,0);
\draw[->,>=stealth',thick] (-1,-5) -- (-1,8);
\draw[thick] plot[domain=-0.5:6] (\x,{\x*\x-5*\x+2}) ;
\node[below] at (0,0) {$a$};
\node[above] at (0.6,0) {$b$};
\node[above] at (4,0) {$c$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

J'ai représenté ci-dessus la courbe représentative d'une fonction $f$ sur un intervalle $\mathcal{I}$ de $\R$. Sur $[a;c]\subseteq\mathcal{I}$, $f(x)$ n'est pas de signe constant. Ainsi, pour calculer l'aire $\mathscr{A}$ du domaine représenté en bleu, nous devons utiliser la relation de Chasles : 
\[
\mathscr{A}=\int_a^b f(x)\dx + \int_b^c (-f(x))\dx
\]
Dans un cas général, on peut énoncer le théorème suivant :

\begin{prop}
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $\mathcal{I}$ de $\R$, de courbe représentative $\mathscr{C}$, telle que :
\[
\left\lbrace
\begin{array}{l}
\mathcal{I}=\mathcal{P}_1\bigoplus\mathcal{P}_2\bigoplus\cdots \bigoplus\mathcal{P}_n\bigoplus\mathcal{N}_1\bigoplus\mathcal{N}_2 \bigoplus\cdots\mathcal{N}_p\\
\forall x\in\mathcal{P}_1,\ \mathcal{P}_2,\ \ldots,\ \mathcal{P}_n,\ f(x)\geqslant 0\\
\forall x\in\mathcal{N}_1,\ \mathcal{N}_2,\ \ldots,\ \mathcal{N}_p,\ f(x)\leqslant 0\\
\end{array}
\right.
\]
Alors, l'aire du domaine délimité par $\mathscr{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x=a$ et $x=b$ est :
\[
\mathscr{A}=\sum_{k=1}^n\int_{\mathcal{P}_k} f(x)\dx - \sum_{k=1}^p\int_{\mathcal{N}_k} f(x)\dx
\]
où $\dint_{A}f(x)\dx$ représente l'intégrale de $f$ sur l'intervalle $A$.
\end{prop}

\section{Exercices}

\begin{exo}[2]{(Calcul d'aires)}
Dans chacun des cas suivants, déterminer l'aire du domaine colorié.\\
Un carreau a toujours 1 unité de côté.

\begin{enumerateperso}
\begin{multicols}{2}
\item $\mathscr{C}$ est la courbe représentative de la fonction $f : x \mapsto x^3-2x^2+x-1$, où $f(\alpha)=0$, avec $\alpha\approx 1,7548$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=stealth']
\shade[bottom color=bleu,top color=bleu!10] (0,0) -- (0,-1) plot[domain=0:1.7548,samples=70] (\x,{\x*\x*\x-2*\x*\x+\x-1}) -- (0,0);
\draw[gray] (-1,-2) grid (3,3);
\draw[->,thick] (-1,0) -- (3,0);
\draw[->,thick] (0,-2) -- (0,3);
\clip (-1,-2) rectangle (3,3);
\draw[thick,bleu] plot[domain=-0.5:2.5,samples=70] (\x,{\x*\x*\x-2*\x*\x+\x-1});
\node[above] at (1.6,0) {$\alpha$};
\node[bleu] at (2.6,2.7) {$\mathscr{C}$};
\node[below left] at (0,0) {O};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\item $\mathscr{P}$ est la courbe représentative de la fonction $f : x \mapsto -\dfrac{5}{4}x^2+\dfrac{7}{4}x+\dfrac{3}{2}$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=stealth']
\shade[bottom color=bleu,top color=bleu!10] (0,0) -- (0,1.5) plot[domain=0:2,samples=70] (\x,{-5*\x*\x/4+7*\x/4+3/2}) -- (0,0);
\draw[gray] (-1,-2) grid (3,3);
\draw[->,thick] (-1,0) -- (3,0);
\draw[->,thick] (0,-2) -- (0,3);
\clip (-1,-2) rectangle (3,3);
\draw[thick,bleu] plot[domain=-1:2.5,samples=70] (\x,{-5*\x*\x/4+7*\x/4+3/2});
\node[below left] at (0,0) {O};
\node[bleu] at (2.8,-1.6) {$\mathscr{P}$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{multicols}

\begin{multicols}{2}
\item $\mathscr{E}$ est la courbe représentative de la fonction $f : x \mapsto (x+1)\e^{x^2+2x}$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=stealth']
\shade[bottom color=bleu,top color=bleu!10] (-2,0) -- (-2,-1) plot[domain=-2:0,samples=70] (\x,{(\x+1)*exp(\x*\x+2*\x)}) -- (0,0) -- (-2,0);
\draw[gray] (-3,-2) grid (1,3);
\draw[->,thick] (-3,0) -- (1,0);
\draw[->,thick] (0,-2) -- (0,3);
\clip (-3,-2) rectangle (1,3);
\draw[thick,bleu] plot[domain=-3:1,samples=70] (\x,{(\x+1)*exp(\x*\x+2*\x)});
\node[below left] at (0,0) {O};
\node[bleu] at (-1.8,-1.8) {$\mathscr{E}$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\columnbreak
\item $\mathscr{L}$ est la courbe représentative de la fonction\\ $f~:~x~\mapsto~\dfrac{(2x+1)}{x^2+x+1}\ln\left(x^2+x+1\right)$.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=stealth']
\shade[bottom color=bleu,top color=bleu!10] (-2,0) -- (-2,{-ln(3)}) plot[domain=-2:0,samples=70] (\x,{(2*\x+1)*ln(\x*\x+\x+1)/(\x*\x+\x+1)}) -- (-2,0);
\draw[gray] (-3,-2) grid (1,2);
\draw[->,thick] (-3,0) -- (1,0);
\draw[->,thick] (0,-2) -- (0,2);
\clip (-3,-2) rectangle (1,2);
\draw[thick,bleu] plot[domain=-3:1,samples=70] (\x,{(2*\x+1)*ln(\x*\x+\x+1)/(\x*\x+\x+1)});
\node[below right] at (0,0) {O};
\node[bleu] at (-2.5,-1.5) {$\mathscr{L}$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{multicols}
\end{enumerateperso}
\end{exo}
\begin{correction}
\begin{enumerateperso}
\item Une primitive de $f(x)$ est $F(x)=\dfrac{1}{4}x^4-\dfrac{2}{3}x^3+\dfrac{1}{2}x-x$ et la fonction est négative sur $[0;\alpha]$. Donc l'aire du domaine est :
\begin{align*}
-\dint_0^\alpha f(x)\dx & = F(0)-F(\alpha)\\
& = -\dfrac{1}{4}\alpha^4+\dfrac{2}{3}\alpha^3-\dfrac{1}{2}\alpha+\alpha\\
& \approx 2,8522
\end{align*}

\item $f$ est positive sur $[0;2]$ et une primitive de $f$ est la fonction $F$ définie par $F(x)=-\dfrac{5}{12}x^3+\dfrac{7}{8}x^2+\dfrac{3}{2}x$. Donc l'aire du domaine est :
\begin{align*}
\dint_0^2f(x)\dx & = F(2)-F(0)\\
& = -\dfrac{5}{12}\times 8+\dfrac{7}{8}\times 4+\dfrac{3}{2}\times 2\\
& = -\dfrac{10}{3}+\dfrac{7}{2}+3\\
& = \dfrac{-20+21+18}{6}\\
& = \dfrac{19}{6}
\end{align*}

\item $f$ est négative sur $[-2;-1]$ puis positive sur $[-1;0]$, et une primitive de $f$ est définie par $F(x)=\dfrac{1}{2}e^{x^2+2x}$. Donc l'aire du domaine est :
\begin{align*}
-\dint_{-2}^{-1}f(x)\dx+\dint_{-1}^0f(x)\dx & =F(-2)-F(-1)+F(0)-F(-1)\\
& = \dfrac{1}{2}-\e^{-1}+\dfrac{1}{2}\\
& = 1-\e^{-1}
\end{align*}

\item $f$ est négative sur $[-2;-1[$ et sur $\left]-\dfrac{1}{2};0\right]$, puis positive sur $\left]-1;-\dfrac{1}{2}\right[$. De plus, une primitive de $f$ est la fonction définie par $F(x)=\dfrac{1}{2}\left[\ln\left(x^2+x+1\right)\right]^2$. Donc l'aire du domaine est :
\begin{align*}
\dint_{-1}^{-2}f(x)\dx+\dint_{-1}^{-\frac{1}{2}}f(x)\dx+\dint_0^{-\frac{1}{2}}f(x)\dx & = F(-2)-2F(-1)+2F\left(-\frac{1}{2}\right)-F(0)\\
& = \dfrac{1}{2}\left(\ln 3\right)^2+\left(\ln\left(\dfrac{3}{4}\right)\right)^2
\end{align*}
\end{enumerateperso}
\end{correction}

\begin{exo}[2]{(Limite d'une somme)}
Montrer que :
\[
\forall\lambda\geqslant 0,\ \lim_{n\to+\infty}\left(\frac{\lambda}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\e^{k\frac{\lambda}{n}} \right)=\e^{\lambda}-1
\]
\end{exo}
\begin{correction}
Posons $f(x)=\e^x$ définie sur $[0;\lambda]$, où $\lambda\geqslant 0$.\\
Subdivisons l'intervalle $[0;\lambda]$ en $n$ sous-intervalles de même amplitude.\\
Alors, $\dfrac{\lambda}{n}\e^{k\frac{\lambda}{n}}$ est l'aire du rectangle de base $k\dfrac{\lambda}{n}$ et de hauteur $\e^{k\frac{\lambda}{n}}$ :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[xscale=2,yscale=0.5]
\fill[top color=bleu,bottom color=bleu!20] (1,0) rectangle (1.5,{exp(1)});
\draw[thick,->,>=stealth'] (-1,0) -- (3,0);
\draw[thick,->,>=stealth'] (0,-1) -- (0,10);
\clip (-1,-2) rectangle (3,10);
\draw[thick,bleu] plot[domain=0:3] (\x,{exp(\x)});
\draw[thick] (2,0.2) -- (2,-0.2) node[below] {$\lambda$};
\foreach \x in {0.5,1,1.5}
{
\draw[thick] (\x,0.2) -- (\x,-0.2);
}
\node[below] at (1.25,0) {$\frac{\lambda}{n}$};
\draw[dashed] (0,{exp(1)}) node[left] {$\e^{k\frac{\lambda}{n}}$} -- (1,{exp(1)});
\end{tikzpicture}
\end{center}
Ainsi, on a :
\begin{align*}
\lim_{n\to+\infty}\left(\frac{\lambda}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\e^{k\frac{\lambda}{n}} \right) & = \int_0^\lambda \e^x\dx\\
& = \left[\e^x\right]_0^\lambda\\
& =\e^{\lambda}-1
\end{align*}
\end{correction}

\begin{exo}[3]{(Constante d'Euler)}
On considère la suite $\left(\gamma_n\right)_{n\in\N^*}$ définie par $\gamma_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k} - \ln n$.\\
Montrez qu'elle converge.
\end{exo}
\begin{correction}
Posons $f(x)=\dfrac{1}{x}$. On a :
\[
\forall k\in\mathbb{N}^*,\ \frac{1}{k+1}<\int_k^{k+1}f(x)\text{d}x < \frac{1}{k}
\]
Pour s'en convaincre, il suffit de regarder le graphique suivant :

\begin{multicols}{2}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=stealth']
\draw[->] (-.25,0) -- (6,0);
\draw[->] (0,-.25) -- (0,3);
\clip (-.25,-2) rectangle (6,3);
\fill[bottom color=ciel,top color=bleu] (2,0) -- (2,0.5) plot[domain=2:4] (\x,{1/\x}) -- (4,0) -- (2,0) -- cycle;
\draw plot[domain=0.01:9,samples=100] (\x,{1/\x});
\draw[chapitre] (2,0) rectangle +(2,0.5);
\draw[theoreme] (2,0) rectangle +(2,0.25);
\draw[chapitre,<-] (3,0.5) to[bend left=30] (4,1) node[right] {$\dfrac{1}{k}$};
\draw[theoreme,<-] (3,0) to[bend right=30] (4,-0.5) node[right] {$\dfrac{1}{k+1}$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

La partie colorée (\tikz\fill[bottom color=ciel,top color=bleu] (0,0) rectangle +(0.5,0.25);) représente $\dint_k^{k+1} f(x)\dx$ ; elle est \og encadrée \fg{} par les deux rectangles de base 1 et de hauteur respective $k$ et $k+1$.
\end{multicols}

On a alors, pour tout entier naturel non nul $k$ :

\begin{align*}
& \frac{1}{k+1} < \ln(k+1)-\ln(k) < \frac{1}{k}\\
\Leftrightarrow\ & \sum_{k=1}^n \frac{1}{k+1} < \sum_{k=1}^n \left(\ln(k+1)-\ln(k)\right) < \sum_{k=1}^n\frac{1}{k}\\
\Leftrightarrow\ & \sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{k}-1<\ln(n+1)<\sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{k}-\frac{1}{n+1}\\
\Leftrightarrow\ & -1<\ln(n+1)-\sum_{k=1}^{n+1}< -\frac{1}{n+1}\\
\Leftrightarrow\ & 0 < \frac{1}{n+1}<\gamma_{n+1}<1
\end{align*}

Ainsi, $\left(\gamma_n\right)_{n\in\N^*}$ est bornée.\\
De plus,
\[
\gamma_{n+1}-\gamma_n=\frac{1}{n+1}+\ln\left(\frac{n}{n+1}\right)
\]
La fonction $g$ définie par :
\[
g(x)=\frac{1}{x+1}+\ln\left(\frac{x}{x+1}\right)
\]
est strictement croissante sur $[1;+\infty[$ avec $\lim\limits_{n\to+\infty} g(x)=0$. Donc $g(x)<0$ sur $[1;+\infty[$.

\medskip

Ainsi,
\[ \gamma_{n+1}-\gamma_n<0\]
La suite $\left(\gamma_n\right)_{n\in\N^*}$ est donc décroissante, donc elle converge puisqu'elle est bornée.

\medskip

Cette limite est appelée la \bold{constante d'Euler}, et est notée $\gamma$.On ne sait toujours pas si $\gamma$ est transcendant ou pas.\\
Une approximation est :
\[
\gamma\approx\numprint{0,577215664901532860606512090082402431042159335939923}
\]
\end{correction}
\newpage

\AfficheCorrections