\chapter{Calculs de volumes}

\section{Engendrer un solide à partir d'une courbe}

Considérons une courbe $\mathscr{C}$ quelconque d'équation $y=f(x)$ sur un intervalle $[a;b]$. :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=2]
\draw[thick,->,>=stealth'] (-1,0) -- (3,0);
\draw[thick,->,>=stealth'] (-1,0) -- (-1,2.1);
\draw[thick] plot[domain=0:2.35] (\x,{2*exp(-0.25*\x*\x)-0.5});
\draw[dashed] (0,0) node[below] {$a$} -- (0,1.5);
\node[below] at (2.35,0) {$b$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

En faisant tourner $\mathscr{C}$ autour de l'axe des abscisses, et en gardant la trace du mouvement, on engendre un solide :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=2]
\draw[thick,->,>=stealth'] (-1,0) -- (3,0);
\draw[thick,->,>=stealth'] (-1,0) -- (-1,2.1);
\draw[thick] plot[domain=0:2.35] (\x,{2*exp(-0.25*\x*\x)-0.5});
\draw[thick] plot[domain=0:2.35] (\x,{-2*exp(-0.25*\x*\x)+0.5});
\node[below] at (0,0) {$a$} -- (0,1.5);
\node[below] at (2.35,0) {$b$};
\foreach \x in {0,0.5,1,1.5,2}
{
	\pgfmathparse{2*exp(-0.25*\x*\x)-0.5}\let\r\pgfmathresult
	\draw[dotted] (\x,0) circle[x radius=0.125,y radius=\r];
}
\draw[theoreme] (0.5,0) -- (0.5,{2*exp(-0.25*0.5*0.5)-0.5}) node[midway,right] {$f(x)$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

le volume du solide ainsi formé peut donc se voir comme une accumulation de disques à rayons variables.\\
Prenons le disque situé à l'abscisse $x\in[a;b]$ : il aura un rayon égal à $f(x)$. Ainsi, son aire est égale à $\pi \left[f(x)\right]^2$. Par conséquent, le volume du solide peut s'exprimer par :
\[
\mathscr{V}=\int_a^b \pi\left[f(x)\right]^2\dx=\pi\int_a^b\left[f(x)\right]^2\dx
\]

\section{Calcul du volume d'une boule}

Une sphère est obtenue par rotation autour de l'axe des abscisses de la courbe représentative de la fonction définie sur $[0;1]$ par :
\[ f(x) = \sqrt{r^2-x^2}\]
et par symétrie par rapport au plan perpendiculaire à l'axe des abscisses contenant l'axe des ordonnées.\\
Le volume de la boule ainsi formée est donc :
\begin{align*}
\mathscr{V} & = 2\int_0^r \left(\sqrt{r^2-x^2}\right)^2\dx\\
& = 2\times\pi\int_0^r \left(r^2-x^2\right)\dx\\
& = 2\pi\left[r^2x - \frac{1}{3}x^3\right]_0^r\\
& = 2\pi\left(r^3-\frac{1}{3}r^3\right)\\
& = 2\pi\times\frac{2}{3}r^3\\
\mathscr{V}& = \frac{4}{3}\pi r^3
\end{align*}

\section{Calcul du volume d'une ellipso\"ide}

Une ellipse a pour équation cartésienne :
\[
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1
\]
Ainsi, pour $x\geqslant 0$ et $y\geqslant 0$, on a :
\[
y=b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}
\]
Donc, le volume de l'ellipso\"ide est :
\begin{align*}
\mathscr{V} & =2\times \pi\int_0^a \left(b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}\right)^2\dx\\
& = 2b^2\pi\int_0^a\left(1-\frac{x^2}{a^2}\right)\dx\\
& = 2b^2\pi\left[x-\frac{1}{3a^2}x^3\right]_0^a\\
& = 2b^2\pi\times\left(a-\frac{1}{3}a\right)\\
& = \frac{4}{3}ab^2\pi
\end{align*}

\begin{rem}
Dans un cas général, une ellipso\"ide d'équation cartésienne : \[\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\]
a un volume égal à $\dfrac{4}{3}abc\pi$ mais dans notre cas, $b=c$.
\end{rem}

\section{Volume d'un c\^one de révolution}

\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=stealth']
\draw[->] (-2.5,0) -- (2.5,0);
\draw[->] (0,0) -- (0,3.5);
\draw[dotted] (0,1.5) circle[x radius=1,y radius=0.25];
\draw[theoreme] (0,1.5) node[left] {$y$} -- (1,1.5)  node[midway,above] {$r(y)$};
\draw[thick] (-2,3) -- (0,0) -- (2,3);
\draw[thick] (0,3) circle[x radius=2,y radius=0.25];
\draw[dotted] (0,3) node[left] {$h$} -- (2,3) node[midway,fill=white,inner sep=2pt] {$r$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
Considérons un cône de révolution de hauteur $h$ et dont la base a un rayon $r$.\\
Le disque passant par l'ordonnée $y\in[0;h]$ a un rayon égal à $r(y)$, que l'on peut calculer à l'aide du théorème de Thalès :
\[
\frac{y}{h}=\frac{r(y)}{r} \Rightarrow r(y)=\frac{ry}{h}
\]
\end{minipage}

\bigskip

Ainsi, le volume de ce cône est :

\begin{align*}
\mathscr{V} & = \pi\int_0^h \left(r(y)\right)^2 \text{d}y\\
& = \pi\int_0^h \frac{r^2}{h^2}y^2\text{d}y\\
& = \pi\left[\frac{1}{3}\times\frac{r^2}{h^2}y^3\right]_0^h\\
& = \frac{1}{3}\pi r^2h
\end{align*}
