\chapter{Longueur d'une courbe}

L'intégrale est uen somme infinitésimale : quand on calcule $\dint_a^b f(x)\dx$, c'est comme si on faisant une somme infinie des longueurs $f(x)$, longueurs qui forment l'aire sous la courbe sur $[a;b]$.\\
Ainsi, on pourrait se dire qu'il est possible, à l'aide d'une intégrale, de calculer la longueur d'une courbe en la voyant comme une somme infinie de points mis bout-à-bout. 

\section{Courbes paramétrées}

Considérons une courbe paramétrée d'équation $\left(x(t);y(t)\right)$, $t\in[a;b]$. Considérons alors le zoom de cette courbe suivant :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) .. controls (2.5,1.5) .. (5,2) -- (0,0) node[midway,below,rotate=27] {$\text{d}h$};
\node[rotate=30] at (2.2,1.7) {d$\ell$};
\draw[dashed] (0,0) -- (5,0) node[midway,below] {d$x$} -- (5,2) node[midway,right] {d$y$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\`A une telle échelle, on peut assimiler la portion de courbe de longueur d$\ell$ au segment de longueur d$h$.\\
Ainsi, la longueur totale de la courbe peut être exprimée par :
\[
\mathscr{L}=\int_a^b \text{d}\ell=\int_a^b\text{d}h=\int_a^b\sqrt{\left(\frac{\text{d}x(t)}{\text{d}t}\right)^2+\left(\frac{\text{d}y(t)}{\text{d}t}\right)^2}\text{d}t
\]

\begin{prop}
Soit $\mathcal{C}$ une courbe paramétrée d'équation $\left(x(t);y(t)\right)$, $t\in[a;b]$.\\
Alors, sa longueur est ; 
\[
\mathscr{L}=\int_a^b\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}\text{d}t
\]
\end{prop}

\begin{exemple}[(Astroïde)]
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=stealth']
\draw[->,thick] (-2.5,0) -- (2.5,0);
\draw[->,thick] (0,-2.5) -- (0,2.5);
\draw[domain=0:6.283] plot[parametric,id=04-astroide,samples=100] function  {2*(cos(t))**3,2*(sin(t))**3};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
L'astroïde a pour équation paramétrique :
\[
\left\lbrace
\begin{array}{l}
x(t)=a(\cos t)^3\\
y(t)=a(\sin t)^3
\end{array}
\right.\quad , \quad a\in\mathbb{R}_+^*, t\in[0;2\pi]
\]
Ainsi,
\begin{align*}
\mathscr{L} & = \int_0^{2\pi}\sqrt{\cos^2 t+\sin^2 t}\text{d}t\\
\mathscr{L}& = \int_0^{2\pi}\text{d}t\\
\mathscr{L} & = 2\pi
\end{align*}
\end{minipage}
\end{exemple}

\section{Courbes cartésiennes}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) .. controls (2.5,1.5) .. (5,2) -- (0,0) node[midway,below,rotate=27] {$\text{d}h$};
\node[rotate=30] at (2.2,1.7) {d$\ell$};
\draw[dashed] (0,0) -- (5,0) node[midway,below] {d$x$} -- (5,2) node[midway,right] {d$y=f(x+\text{d}x)-f(x)$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

Sur une partie infinitésimale de la courbe, nous pouvons assimiler la courbe a un segment de longueur d$h=\sqrt{(\text{d}x)^2+(\text{d}y)^2}$. \\
Dans la mesure où d$x$ est négligeable devant $x$, nous pouvons écrire une approximation linéaire de $f(x)$ au voisinage de $x$ : 
\[ f(x+\text{d}x)=f(x)+f'(x)\text{d}x\]
Ainsi, d$y=f'(x)\text{d}x$ et donc d$h=\sqrt{(\text{d}x)^2+[f'(x)\text{d}x]^2}=\sqrt{1+[f'(x)]^2}\text{d}x$.\\
D'où le résultat suivant :

\begin{prop}
Soit $\mathscr{C}$ une courbe d'équation $y=f(x)$ sur $[a;b]$.\\
Alors, sa longueur est :
\[
\mathscr{L}=\int_a^b\sqrt{1+\left[f'(x)\right]^2}\dx\]
\end{prop}

\begin{exemple}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=stealth']
\draw[->,thick] (-.5,0) -- (5,0);
\draw[->,thick] (0,-3) -- (0,3);
\clip (0,-3) rectangle (5,3);
\draw plot[domain=0.1:4,samples=70] (\x,{ln(\x)});
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
J'ai représenté ci-contre la courbe d'équation $y=\ln x$. Sa longueur sur $[1;3]$ est :
\begin{align*}
\mathscr{L} & = \int_1^3\ln x\dx\\
& = \left[x\ln x-x\right]_1^3\\
& = 3\ln 3-3+1\\
\mathscr{L} & = 3\ln 3-2
\end{align*}
\end{minipage}
\end{exemple}

\section{Courbes polaires}

Le principe est le même que pour les courbes paramétrées : en effet,\linebreak $\left(x(t);y(t)\right)=\left(r\cos t;r\sin t\right)$, avec :
\renewcommand{\arraystretch}{3}
\[
\left\lbrace
\begin{array}{l}
\dfrac{\text{d}x(t)}{\text{d}t}=\dfrac{\text{d}r(t)}{\text{d}t}\cos t-r(t)\sin t\\
\dfrac{\text{d}y(t)}{\text{d}t}=\dfrac{\text{d}r(t)}{\text{d}t}\sin t+r(t)\cos t
\end{array}
\right.
\]
\renewcommand{\arraystretch}{1}
Ainsi,
\begin{align*}
\mathscr{L} & = \dint_a^b \sqrt{\left(\dfrac{\text{d}x(t)}{\text{d}t}\right)^2+\left(\dfrac{\text{d}y(t)}{\text{d}t}\right)^2}\text{d}t\\
& = \dint_a^b \sqrt{\left(\dfrac{\text{d}r(t)}{\text{d}t}\right)^2\left(\cos^2 t+\sin^2 t\right) +r^2(t)\left(\cos^2 t+\sin^2 t\right)}\text{d}t\\
& = \dint_a^b \sqrt{\left(\dfrac{\text{d}r(t)}{\text{d}t}\right)^2 +r^2(t)}\text{d}t
\end{align*}

\begin{prop}
Soit $\mathscr{C}$ une courbe d'équation $\left(t;r(t)\right)$ sur $[a;b]$.\\
Alors, sa longueur est :
\[
\mathscr{L}=\int_a^b \sqrt{r^2(t)+[r'(t)]^2}\text{d}t
\]
\end{prop}

\begin{exemple}

\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=stealth']
\draw[->,thick] (-.5,0) -- (5,0);
\draw[->,thick] (0,-3) -- (0,3);
\draw plot[parametric,domain=0:6.283,samples=70,id=04-cardioide] function {2*(1+cos(t))*cos(t),2*(1+cos(t))*sin(t)};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
L'équation d'une cardioïde est :
\[
r(t)=a\left(1+\cos t\right)\quad , \quad a\in\mathbb{R}^*, t\in[0;2\pi]
\]
Donc sa longueur est :
\begin{align*}
\mathscr{L} & = \dint_0^{2\pi} \sqrt{a^2\left(1+\cos t\right)^2+a^2\sin^2 t}\text{d}t\\
& = a\sqrt{2}\dint_0^{2\pi} \sqrt{1+\cos t}\text{d}t\\
& = a\sqrt{2}\dint_0^{2\pi} \sqrt{1+\cos^2\frac{t}{2}-\sin^2\frac{t}{2}}\text{d}t\quad (*)\\
& = a\sqrt{2}\dint_0^{2\pi} \sqrt{1-\sin^2\frac{t}{2}+\cos^2\frac{t}{2}}\text{d}t\\
& = a\sqrt{2}\dint_0^{2\pi} \sqrt{2\cos^2\frac{t}{2}}\text{d}t\quad (**)\\
& = 2a\dint_0^{2\pi}\left\vert\cos\frac{t}{2}\right\vert\text{d}t\\
& = 4a\dint_0^\pi\cos\frac{t}{2}\text{d}t\\
& = 4a\left[2\sin\frac{t}{2}\right]_0^\pi\\
\mathscr{L} & = 8a
\end{align*}
\end{minipage}

\medskip

$(*)$ en faisant appel à la formule : $\cos(2a)=\cos^2a-\sin^2a$\\
$(**)$ en faisant appel à la formule : $1-\sin^2 a = \cos^2a$
\end{exemple}