\chapter{Int�grales multiples}

\section{Int�grales doubles}

\begin{thm}[(de Fubini)]
Soit $f$ une fonction continue sur $[a;b]\times[c;d]$ � valeurs dans $\C$. Alors :
\[
\int_a^b\left(\int_c^d f(x,y)\text{d}y\right)\dx=\int_c^d\left(\int_a^b f(x,y)\dx\right)\text{d}y
\]
\end{thm}

\begin{exemple}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=5,>=stealth']
\shade[top color=bleu,bottom color=bleu!20] (0,0) -- plot[samples=70,domain=0:1] (\x,{\x*\x}) -- plot[domain=1:0,samples=70] (\x,{\x*\x*\x});
\draw[thick,->] (0,0) -- (1.1,0);
\draw[thick,->] (0,0) -- (0,1.1);
\draw[thick,bleu] plot[domain=0:1] (\x,{\x*\x});
\draw[thick,theoreme] plot[domain=0:1] (\x,{\x*\x*\x});
\draw[dotted] (0,1) node[left] {1} -- (1,1) -- (1,0) node[below] {1};
\node[below left] at (0,0) {O};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
Soit $\mathscr{D}=\left\lbrace (x;y)\in\R^2\vert 0\leqslant x \leqslant 1, x^3\leqslant y\leqslant x^2\right\rbrace$, repr�sent� ci-contre.\\
Soit $f(x,y)=x^2y$. Alors,
\begin{align*}
\iint_{\mathscr{D}}f(x,y)\dx\dy & = \int_{x=0}^{x=1}\int_{y=x^3}^{y=x^2} x^2y\dx\dy\\
& = \int_{x=0}^{x=1}\left[\dfrac{1}{2}x^2y^2\right]_{x^3}^{x^2}\dx\\
& = \int_{x=0}^{x=1}\left(\dfrac{1}{2}x^6-x^8\right)\dx\\
& = \dfrac{1}{2}\left[\dfrac{1}{7}x^7-\dfrac{1}{9}x^9\right]_0^1\\
& = \dfrac{1}{63}
\end{align*}
\end{minipage}
\end{exemple}

\begin{att}
L'int�grale double calcul�e dans cet exemple ne correspond nullement � l'aire du domaine $\mathscr{D}$, que l'on peut calcul�e avec une int�grale simple : $\dint_0^1\left(x^2-x^3\right)\dx$.
\end{att}

\begin{defin}
Soit $\varphi$ une application bijective de $\R^2$ dans $\R^2$. On note alors $\varphi(x;y)=(u;v)$.\\
On appelle \bold{d�terminant Jacobien} de $\varphi$  le nombre :
\[
J=\begin{vmatrix}
\frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y}\\
\frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y}
\end{vmatrix}
\]
\end{defin}

\begin{exemple}
Consid�rons l'application :
\[
\varphi\: :\: (r;\theta) \mapsto (r\cos\theta;r\sin\theta)
\]
Alors,
\[
J=\begin{vmatrix}
\cos\theta & -r\sin\theta\\
\sin\theta & r\cos\theta
\end{vmatrix}=r
\]
\end{exemple}

\begin{prop}
Soit $\varphi$ une application bijective de $\R^2$ dans $\R^2$. On note alors $\varphi(x;y)=(u;v)$.\\
Alors,
\[
\text{d}u\text{d}v = \vert J\vert\dx\dy
\]
\end{prop}

\begin{exemple}
Consid�rons l'application :
\[
\varphi\: :\: (r;\theta) \mapsto (r\cos\theta;r\sin\theta)=(x;y)
\]
Alors,
\[
\dx\dy = r\text{d}r\text{d}\theta
\]
\end{exemple}

\begin{thm}[(Changement de variable)]
Soit $\varphi$ une application bijective de $\mathscr{U}\subseteq\R^2$ dans $\mathscr{V}\subseteq\R^2$, $\mathscr{U}$ et $\mathscr{V}$ �tant ouverts. On note alors $\varphi(x;y)=(u;v)$.\\
Soient $\mathscr{D}$ et $\Delta$ deux ferm�s de $\R^2$, $\mathscr{D}\subset\mathscr{U}$ et $\Delta\subset\mathscr{V}$ tels que $\varphi(\mathscr{D})=\Delta$.\\
Alors,
\[
\iint_{\Delta} f(x;y)\dx\dy = \iint_{\mathscr{D}}\varphi(x;y)\vert J\vert\text{d}u\text{d}v
\]
\end{thm}

\begin{exemple}[(Coordonn�es polaires)]
On pose :
\[
\varphi(r;\theta)=(r\cos\theta;r\sin\theta)
\]
puis $f(x;y)=xy$ et $\mathscr{D}=\left\lbrace x\geqslant0,y\geqslant0,x^2+y^2\leqslant1\right\rbrace$.\\
Alors, $\varphi(\mathscr{D})=\left\lbrace\theta\in\left[0;\frac{\pi}{2}\right],r\in[0;1]\right\rbrace$.\\
D'o� :
\begin{align*}
\iint_{\mathscr{D}} f(x;y)\dx\dy & = \int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^1 \left(r\cos\theta\right)\left(r\sin\theta\right)r\text{d}r\text{d}\theta\\
& = \int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^1 r^3\sin\theta\cos\theta\text{d}r\text{d}\theta\\
& = \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin\theta\cos\theta\int_0^1 r^3\text{d}r\text{d}\theta\\
& = \dfrac{1}{4}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin\theta\cos\theta\text{d}\theta\\
& = \dfrac{1}{4}\left[\dfrac{\sin^2\theta}{2}\right]_0^{\frac{\pi}{2}}\\
& = \dfrac{1}{8}
\end{align*}
\end{exemple}

\section*{Int�grales triples}

\begin{defin}[(Jacobien)]
Soit $\varphi$ une application bijective de $\R^3$ dans $\R^3$. On note alors $\varphi(x;y;z)=(u,v,w)$.\\
On appelle \bold{d�terminant Jacobien} de $\varphi$ le nombre :
\[
J=\begin{vmatrix}
\frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} & \frac{\partial u}{\partial z} \\
\frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y} & \frac{\partial v}{\partial z} \\
\frac{\partial w}{\partial x} & \frac{\partial w}{\partial y} & \frac{\partial w}{\partial z} 
\end{vmatrix}
\]
\end{defin}

\begin{exemple}[(Coordonn�es cylindriques)]
Soit $\varphi(r;\theta;z)=(r\cos\theta;r\sin\theta;z)$.\\
Alors :
\[
J=\begin{vmatrix}
\cos\theta & -r\sin\theta & 0\\
\sin\theta & r\cos\theta & 0\\
0 & 0 & 1
\end{vmatrix}=r
\]
\end{exemple}

\begin{exemple}[(Coordonn�es sph�riques)]
Soit le changement de variables :$\left\lbrace
\begin{array}{l}
x=r\cos\theta\sin\varphi\\
y=r\sin\theta\cos\varphi\\
z=r\sin\varphi
\end{array}
\right.$.\\
Alors,
\[
J=\begin{vmatrix}
\cos\theta\sin\varphi & -r\sin\theta\cos\varphi & r\cos\theta\cos\varphi\\
\sin\theta\cos\varphi & r\cos\theta\cos\varphi & -r\sin\theta\sin\varphi\\
\sin\varphi & 0 & r\cos\varphi
\end{vmatrix}=r^2\sin\theta
\]
\end{exemple}

Le calcul d'une int�grale triple sur un domaine est comparable � celui que l'on effectue pour calculer une int�grale double. Voyons cela sur un exemple :

\begin{exemple}[(Changement de variable en coordonn�es cylindriques)]
On consid�re le domaine $\mathscr{D}=\left\lbrace (x;y;z)\in\R^3\vert 1\leqslant\sqrt{x^2+y^2}\leqslant2,0\leqslant z\leqslant 1\right\rbrace$ et posons :
\[
I=\iiint_{\mathscr{D}}z\e^{x^2+y^2}\dx\dy\dz
\]
Mettons nous en coordonn�es cylindriques : $\left\lbrace
\begin{array}{l}
x=r\cos\theta\\
y=r\sin\theta\\
z=z
\end{array}
\right.$. Alors :
\begin{align*}
I & =\dint_{z=0}^{z=1}\dint_{\theta=0}^{\theta=2\pi}\dint_{r=1}^{r=2} z\e^{r^2}r\text{d}r\text{d}\theta\dz\\
& = \dint_0^1\dint_0^{2\pi}\left[\dfrac{1}{2}z\e^{r^2}\right]_1^2\text{d}\theta\dz\\
& = \dint_0^1\dint_0^{2\pi}\dfrac{1}{2}\left(\e^4-\e\right)z\text{d}\theta\dz\\
& = \dint_0^1\dfrac{1}{2}\left(\e^4-\e\right)z\left[\theta\right]_0^{2\pi}\dz\\
& = \dint_0^1\pi\left(\e^4-\e\right)z\dz\\
& = \pi\left(\e^4-\e\right)\left[\dfrac{z^2}{2}\right]_0^1\\
& = \dfrac{\pi\left(\e^4-\e\right)}{2}
\end{align*}
\end{exemple}

Voyons un autre exemple maintenant :

\begin{exemple}[(Changement de variable en coordonn�es sph�riques)]
Soit $\mathscr{D}=\left\lbrace (x;y;z)\in\R^3\vert x^2+y^2\leqslant z^2,z \geqslant0,x^2+y^2+z^2\leqslant 1 \right\rbrace$. Posons :
\[
I=\iiint_{\mathscr{D}} \left(x^2+y^2+z^2\right)^{\frac{3}{2}}\dx\dy\dz
\]
Alors, 
\begin{align*}
I & = \dint_{r=0}^{r=1}\dint_{\theta=0}^{\theta=2\pi}\dint_{\varphi=0}^{\varphi=\frac{\pi}{4}} \left(r^2\right)^{\frac{3}{2}}r^2\sin\varphi\text{d}r\text{d}\theta\text{d}\varphi\\
& = \dint_0^1 \left( \dint_0^{2\pi} \left( \dint_0^{\frac{\pi}{4}} r^5 \sin\varphi \text{d}\varphi\right)\text{d}\theta\right)\text{d}r\\
& = \dint_0^1 \left( \dint_0^{2\pi} r^5\left[-\cos\varphi \right]_0^{\frac{\pi}{4}}\text{d}\theta\right)\text{d}r\\
& = \dint_0^1\left(\dint_0^{2\pi} r^5\left(1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) \text{d}\theta\right)\text{d}r\\
& = \dint_0^1 r^5\left(1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\left[\theta\right]_0^{2\pi}\text{d}r\\
& = \dint_0^1 \pi r^5\left(2-\sqrt{2}\right)\text{d}r\\
& = \pi\left(2-\sqrt{2}\right)\left[\dfrac{r^6}{6}\right]_0^1\\
& = \dfrac{\pi\left(2-\sqrt{2}\right)}{6}
\end{align*}
\end{exemple}