\begin {corrige}[\thechapter ]{\i }
\begin{enumerateperso}
\item Une primitive de $f(x)$ est $F(x)=\dfrac{1}{4}x^4-\dfrac{2}{3}x^3+\dfrac{1}{2}x-x$ et la fonction est négative sur $[0;\alpha]$. Donc l'aire du domaine est :
\begin{align*}
-\dint_0^\alpha f(x)\dx & = F(0)-F(\alpha)\\
& = -\dfrac{1}{4}\alpha^4+\dfrac{2}{3}\alpha^3-\dfrac{1}{2}\alpha+\alpha\\
& \approx 2,8522
\end{align*}

\item $f$ est positive sur $[0;2]$ et une primitive de $f$ est la fonction $F$ définie par $F(x)=-\dfrac{5}{12}x^3+\dfrac{7}{8}x^2+\dfrac{3}{2}x$. Donc l'aire du domaine est :
\begin{align*}
\dint_0^2f(x)\dx & = F(2)-F(0)\\
& = -\dfrac{5}{12}\times 8+\dfrac{7}{8}\times 4+\dfrac{3}{2}\times 2\\
& = -\dfrac{10}{3}+\dfrac{7}{2}+3\\
& = \dfrac{-20+21+18}{6}\\
& = \dfrac{19}{6}
\end{align*}

\item $f$ est négative sur $[-2;-1]$ puis positive sur $[-1;0]$, et une primitive de $f$ est définie par $F(x)=\dfrac{1}{2}e^{x^2+2x}$. Donc l'aire du domaine est :
\begin{align*}
-\dint_{-2}^{-1}f(x)\dx+\dint_{-1}^0f(x)\dx & =F(-2)-F(-1)+F(0)-F(-1)\\
& = \dfrac{1}{2}-\e^{-1}+\dfrac{1}{2}\\
& = 1-\e^{-1}
\end{align*}

\item $f$ est négative sur $[-2;-1[$ et sur $\left]-\dfrac{1}{2};0\right]$, puis positive sur $\left]-1;-\dfrac{1}{2}\right[$. De plus, une primitive de $f$ est la fonction définie par $F(x)=\dfrac{1}{2}\left[\ln\left(x^2+x+1\right)\right]^2$. Donc l'aire du domaine est :
\begin{align*}
\dint_{-1}^{-2}f(x)\dx+\dint_{-1}^{-\frac{1}{2}}f(x)\dx+\dint_0^{-\frac{1}{2}}f(x)\dx & = F(-2)-2F(-1)+2F\left(-\frac{1}{2}\right)-F(0)\\
& = \dfrac{1}{2}\left(\ln 3\right)^2+\left(\ln\left(\dfrac{3}{4}\right)\right)^2
\end{align*}
\end{enumerateperso}
\end {corrige}
