\begin {corrige}[\thechapter ]{\i }
Posons $f(x)=\e^x$ définie sur $[0;\lambda]$, où $\lambda\geqslant 0$.\\
Subdivisons l'intervalle $[0;\lambda]$ en $n$ sous-intervalles de même amplitude.\\
Alors, $\dfrac{\lambda}{n}\e^{k\frac{\lambda}{n}}$ est l'aire du rectangle de base $k\dfrac{\lambda}{n}$ et de hauteur $\e^{k\frac{\lambda}{n}}$ :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[xscale=2,yscale=0.5]
\fill[top color=bleu,bottom color=bleu!20] (1,0) rectangle (1.5,{exp(1)});
\draw[thick,->,>=stealth'] (-1,0) -- (3,0);
\draw[thick,->,>=stealth'] (0,-1) -- (0,10);
\clip (-1,-2) rectangle (3,10);
\draw[thick,bleu] plot[domain=0:3] (\x,{exp(\x)});
\draw[thick] (2,0.2) -- (2,-0.2) node[below] {$\lambda$};
\foreach \x in {0.5,1,1.5}
{
\draw[thick] (\x,0.2) -- (\x,-0.2);
}
\node[below] at (1.25,0) {$\frac{\lambda}{n}$};
\draw[dashed] (0,{exp(1)}) node[left] {$\e^{k\frac{\lambda}{n}}$} -- (1,{exp(1)});
\end{tikzpicture}
\end{center}
Ainsi, on a :
\begin{align*}
\lim_{n\to+\infty}\left(\frac{\lambda}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\e^{k\frac{\lambda}{n}} \right) & = \int_0^\lambda \e^x\dx\\
& = \left[\e^x\right]_0^\lambda\\
& =\e^{\lambda}-1
\end{align*}
\end {corrige}
