\begin {corrige}[\thechapter ]{\i }
Posons $f(x)=\dfrac{1}{x}$. On a :
\[
\forall k\in\mathbb{N}^*,\ \frac{1}{k+1}<\int_k^{k+1}f(x)\text{d}x < \frac{1}{k}
\]
Pour s'en convaincre, il suffit de regarder le graphique suivant :

\begin{multicols}{2}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=stealth']
\draw[->] (-.25,0) -- (6,0);
\draw[->] (0,-.25) -- (0,3);
\clip (-.25,-2) rectangle (6,3);
\fill[bottom color=ciel,top color=bleu] (2,0) -- (2,0.5) plot[domain=2:4] (\x,{1/\x}) -- (4,0) -- (2,0) -- cycle;
\draw plot[domain=0.01:9,samples=100] (\x,{1/\x});
\draw[chapitre] (2,0) rectangle +(2,0.5);
\draw[theoreme] (2,0) rectangle +(2,0.25);
\draw[chapitre,<-] (3,0.5) to[bend left=30] (4,1) node[right] {$\dfrac{1}{k}$};
\draw[theoreme,<-] (3,0) to[bend right=30] (4,-0.5) node[right] {$\dfrac{1}{k+1}$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

La partie colorée (\tikz\fill[bottom color=ciel,top color=bleu] (0,0) rectangle +(0.5,0.25);) représente $\dint_k^{k+1} f(x)\dx$ ; elle est \og encadrée \fg{} par les deux rectangles de base 1 et de hauteur respective $k$ et $k+1$.
\end{multicols}

On a alors, pour tout entier naturel non nul $k$ :

\begin{align*}
& \frac{1}{k+1} < \ln(k+1)-\ln(k) < \frac{1}{k}\\
\Leftrightarrow\ & \sum_{k=1}^n \frac{1}{k+1} < \sum_{k=1}^n \left(\ln(k+1)-\ln(k)\right) < \sum_{k=1}^n\frac{1}{k}\\
\Leftrightarrow\ & \sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{k}-1<\ln(n+1)<\sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{k}-\frac{1}{n+1}\\
\Leftrightarrow\ & -1<\ln(n+1)-\sum_{k=1}^{n+1}< -\frac{1}{n+1}\\
\Leftrightarrow\ & 0 < \frac{1}{n+1}<\gamma_{n+1}<1
\end{align*}

Ainsi, $\left(\gamma_n\right)_{n\in\N^*}$ est bornée.\\
De plus,
\[
\gamma_{n+1}-\gamma_n=\frac{1}{n+1}+\ln\left(\frac{n}{n+1}\right)
\]
La fonction $g$ définie par :
\[
g(x)=\frac{1}{x+1}+\ln\left(\frac{x}{x+1}\right)
\]
est strictement croissante sur $[1;+\infty[$ avec $\lim\limits_{n\to+\infty} g(x)=0$. Donc $g(x)<0$ sur $[1;+\infty[$.

\medskip

Ainsi,
\[ \gamma_{n+1}-\gamma_n<0\]
La suite $\left(\gamma_n\right)_{n\in\N^*}$ est donc décroissante, donc elle converge puisqu'elle est bornée.

\medskip

Cette limite est appelée la \bold{constante d'Euler}, et est notée $\gamma$.On ne sait toujours pas si $\gamma$ est transcendant ou pas.\\
Une approximation est :
\[
\gamma\approx\numprint{0,577215664901532860606512090082402431042159335939923}
\]
\end {corrige}
