T- Suites arithmétiques et géométriques N- Première, enseignement de spécialité C- Pour chacune des questions suivantes, une seule réponse est exacte. Laquelle ? Cochez la bonne réponse. DEBUT- Q- La suite \suite{u}{n}{} définie par la relation $u_n=3n+2$ est: R- Arithmétique|1 Géométrique|0 Ni l'une, ni l'autre|0 I- Le terme $u_n$ est définie par une fonction affine. La suite est donc arithmétique car elle est de la forme $u_n=rn+u_0$. La raison de la suite est donc égale à 3. Q- La suite \suite{v}{n}{} définie par la relation $v_n=3n^2+2$ est: R- Arithmétique|0 Géométrique|0 Ni l'une, ni l'autre|1 I- Le terme général $v_n$ n'est ni de la forme $v_0+nr$ (fonction affine), ni de la forme $v_0\times q^n$. La suite n'est donc ni arithmétique, ni géométrique. Q- La suite \suite{w}{n}{} définie par la relation $w_n=-\dfrac{1}{3}\times0,7^n$ est: R- Arithmétique|0 Géométrique|1 Ni l'une, ni l'autre|0 I- Le terme $w_n$ est de la forme $w_0 \times q^n$, avec $q=0,7$. Donc la suite est géométrique. Q- La suite \suite{u}{n}{} définie par son premier terme $u_0=5$ et par la relation de récurrence $u_{n+1}=3u_n^2$ est: R- Arithmétique|0 Géométrique|0 Ni l'une, ni l'autre|1 I- La relation de récurrence n'est ni de la forme $u_{n+1}=u_n+r$, ni de la forme $u_{n+1}=qu_n$. Q- La suite \suite{v}{n}{} définie par son premier terme $v_0=5$ et par la relation de récurrence $v_{n+1}=3+v_n$ est: R- Arithmétique|1 Géométrique|0 Ni l'une, ni l'autre|0 I- La relation de récurrence nous dit ici que pour calculer un terme ($v_{n+1}$), il faut ajouter 3 au terme précédent ($u_n$). C'est donc une suite arithmétique. Q- La suite \suite{w}{n}{} définie par son premier terme $w_0=5$ et par la relation de récurrence $w_{n+1}=3w_n$ est: R- Arithmétique|0 Géométrique|1 Ni l'une, ni l'autre|0 I- La relation de récurrence nous dit ici que pour calculer un terme ($w_{n+1}$), il faut multiplier par 3 le terme précédent ($w_n$). C'est donc une suite géométrique. Q- Quelle est la raison de la suite arithmétique \suite{u}{n}{} définie pour tout entier naturel $n$ par: $u_n=7-5n$? R- 7|0 $-5$|1 $\dfrac{-5}{7}$|0 Q- Quelle est la raison de la suite arithmétique \suite{v}{n}{} définie pour tout entier naturel $n$ par: $v_n=3-6(n+1)$? R- 3|0 $-6$|1 $-2$|0 I- $v_n=3-6(n+1)=-3-6n=v_0+r \times n$ donc $r=-6$. Q- Quel est le premier terme de la suite arithmétique \suite{v}{n}{} définie pour tout entier naturel $n$ par: $v_n=3-6(n+1)$? R- 3|0 $-6$|0 $-3$|1 I- $v_n=3-6(n+1)=-3-6n=v_0+r \times n$ donc $v_0=-3$. Q- Quelle est la raison de la suite géométrique \suite{w}{n}{n\geqslant0} définie pour tout entier naturel $n$ par: $w_n=-\dfrac12(-0,7)^n$? R- $-0,7$|1 $-\dfrac12$|0 $0,7$|0 Q- Quelle est le premier terme de la suite géométrique \suite{t}{n}{n\geqslant1} définie pour tout entier naturel $n$ par: $t_n=-\dfrac12(-0,6)^{n+1}$? R- $-\dfrac12$|0 $-0,6$|0 $-0,18$|1 I- La suite commence au rang $n=1$ d'après sa définition. Donc son premier terme est\newline $t_1=-\dfrac12(-0,6)^2=0,18$. -NEWPAGE- Q- Quelle est le premier terme de la suite géométrique \suite{z}{n}{n\geqslant1} définie pour tout entier naturel $n$ par: $z_n=12\times\dfrac{0,6^{n+1}}{0,5^n}$? R- $12$|0 $8,64$|1 $7,2$|0 I- La suite commence au rang $n=1$ d'après sa définition. Donc son premier terme est\newline $z_1=12 \times \dfrac{0,6^2}{0,5^1}=8,64$. Q- Quelle est la raison de la suite géométrique \suite{z}{n}{n\geqslant1} définie pour tout entier naturel $n$ par: $z_n=12\times\dfrac{0,6^{n+1}}{0,5^n}$? R- $1,2$|1 $0,6$|0 $\dfrac56$|0 I- $z_n=12\times\dfrac{0,6^n}{0,5^n}\times0,6=7,2\times\left(\dfrac{0,6}{0,5}\right)^n=7,2\times\dfrac{0,6}{0,5}\times\left(\dfrac{0,6}{0,5}\right)^{n-1}$. Comme la suite commence au rang $n=1$, $z_n=z_1\times q^{n-1}$. Donc $q=\dfrac{0,6}{0,5}=1,2$. Q- La suite \suite{u}{n}{} est arithmétique. Sa raison vaut $r=5$. On sait que $u_8=12$. Que vaut $u_2$? R- $-18$|1 $-13$|0 42|0 I- $u_8=u_2 + (8-2)r \iff 12 = u_2 + 6\times5 \iff u_2 = 12-30 = -18$. Q- La suite \suite{u}{n}{} est arithmétique. On sait que $u_4=12$ et $u_7=45$. Que vaut sa raison $r$? R- $\dfrac{57}{3}$|0 11|1 $\dfrac{1}{11}$|0 I- $u_9=u_4+(9-4)r$. Q- La suite \suite{u}{n}{} est géométrique de raison négative. On sait que $u_5=10$ et $u_7=102,4$. Que vaut sa raison $q$? R- 1,8|0 3,2|0 $-3,2$|1 I- $u_7=q^2u_5 \iff q^2 = \dfrac{102,4}{10} \iff q = -\sqrt{102,4}{10}=-3,2$ car $q>0$. -NEWPAGE- Q- Que vaut la somme: $S=1+2+3+4+\cdots+60$? R- \numprint{1770}|0 \numprint{1830}|1 \numprint{1990}|0 I- $1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$ donc $S=\dfrac{60 \times 61}{2}=\numprint{1830}$. Q- Que vaut la somme $A=125+130+135+\cdots+255$? R- \numprint{4875}|0 \numprint{5130}|1 \numprint{5390}|0 I- $A$ est la somme des premiers termes d'une suite arithmétique de premier terme $u_0=125$ et de raison $r=5$. Notons $u_n=255=u_0+5n$. On en déduit que $n=26$. Il y a donc 27 termes dans la somme $A$. D'où $A=27\times\dfrac{125+255}{2}=\numprint{5130}$. Q- Que vaut la somme $G=333+111+37 + \cdots + \dfrac{37}{3^{10}}$? R- $333\left(1-\dfrac{1}{3^{10}}\right)$|0 $\dfrac{999}{2}\left(1-\dfrac{1}{3^{10}}\right)$|0 $\dfrac{999}{2}\left(1-\dfrac{1}{3^{12}}\right)$|1 I- Il y a 12 termes dans cette somme. Q- Mon capital financier est placé sur un compte qui rapporte \pourcent{5} chaque année. La suite qui modélise ce capital est: R- Arithmétique|0 Géométrique|1 Ni l'une, ni l'autre|0 I- Chaque année, le capital est multiplié par 1,05; la suite est donc géométrique. FIN-