T-
Produit scalaire

N-
Première, enseignement de spécialité\\\url{mathweb.fr}

C-
Pour chacune des questions suivantes, une seule réponse est exacte. Laquelle ? Cochez la bonne réponse.

DEBUT-

Q-
Si $\|\vv{u}\|=3$, $\|\vv{v}\|=6$  et $\cos(\vv{u},\vv{v})=\frac{1}{2}$, alors:

R-
$\prodscal{u}{v}=36$|0
$\prodscal{u}{v}=9$|1
$\prodscal{u}{v}=-36$|0
$\prodscal{u}{v}=-9$|0

Q-
Si $\|\vv{u}\|=2$, $\|\vv{v}\|=5$  et $\big( \vv{u},\vv{v} \big)=\frac{2\pi}{3}$, alors:

R-
$\prodscal{u}{v}=-5$|1
$\prodscal{u}{v}=5$|0
$\prodscal{u}{v}=-5\sqrt3$|0
$\prodscal{u}{v}=5\sqrt3$|0

Q-
Si \(\|\vv{u}\| = 4\), \(\|\vv{v}\| = 5\) et \(\cos(\vv{u}, \vv{v}) = \frac{1}{2}\), alors:

R-
$\prodscal{u}{v} = 20$|0
$\prodscal{u}{v} = 10$|1
$\prodscal{u}{v} = -20$|0
$\prodscal{u}{v} = -10$|0

Q-
Si \(\|\vv{u}\| = 7\), \(\|\vv{v}\| = 3\) et \(\big( \vv{u},\vv{v} \big) = \frac{\pi}{3}\), alors:

R-
$\prodscal{u}{v} = 21$|0
$\prodscal{u}{v} = \frac{21}{2}$|1
$\prodscal{u}{v} = -\frac{21}{2}$|0
$\prodscal{u}{v} = -21$|0

Q-
Si \(\|\vv{u}\| = 2\), \(\|\vv{v}\| = 3\) et \(\big( \vv{u},\vv{v} \big) = \frac{\pi}{4}\), alors quelle est la valeur de \(\|\vv{u} + \vv{v}\|\) ?

R-
$\sqrt{13 + 6\sqrt{2}}$|1
$\sqrt{13 - 6\sqrt{2}}$|0
$\sqrt{13 + 4\sqrt{2}}$|0
$\sqrt{13 - 4\sqrt{2}}$|0

I-
On utilise la formule: \( \|\vv{u}+\vv{v}\|^2 = \|\vv{u}\|^2 + 2\vv{u}\cdot\vv{v} + \|\vv{v}\|^2 \).

-NEWPAGE-

Q-
Si \(\|\vv{u}\| = 6\), \(\|\vv{v}\| = 4\) et \(\big( \vv{u},\vv{v} \big) = \frac{2\pi}{3}\), alors:

R-
$\prodscal{u}{v} = 24$|0
$\prodscal{u}{v} = -12$|1
$\prodscal{u}{v} = 12$|0
$\prodscal{u}{v} = -24\sqrt{3}$|0

Q-
Si \(\|\vv{u}\| = 5\), \(\|\vv{v}\| = 2\) et \(\cos(\vv{u}, \vv{v}) = -\frac{1}{\sqrt{2}}\), alors:

R-
$\prodscal{u}{v} = -5\sqrt{2}$|0
$\prodscal{u}{v} = 5\sqrt{2}$|0
$\prodscal{u}{v} = -5$|1
$\prodscal{u}{v} = 5$|0

Q-
Si \(\|\vv{u}\| = 3\), \(\|\vv{v}\| = 4\) et \(\big( \vv{u},\vv{v} \big) = \frac{2\pi}{3}\), alors quelle est la valeur de \(\|\vv{u} - \vv{v}\|\) ?

R-
5|0
13|0
0|0
37|1

I-
On utilise la formule: \( \|\vv{u}-\vv{v}\|^2 = \|\vv{u}\|^2 - 2\vv{u}\cdot\vv{v} + \|\vv{v}\|^2 \).

Q-
Si \(\|\vv{u}\| = 8\), \(\|\vv{v}\| = 5\) et \(\big( \vv{u},\vv{v} \big) = \frac{5\pi}{6}\), alors:

R-
$\prodscal{u}{v} = -20\sqrt{3}$|0
$\prodscal{u}{v} = 20\sqrt{3}$|0
$\prodscal{u}{v} = -20$|1
$\prodscal{u}{v} = 20$|0

Q-
Si $\vv{u}\cdot\vv{v}=5$, que vaut $\big(-2\vv{u}\big)\cdot\big(3\vv{v}\big)$ ?

R-
$-5$|0
$5$|0
$-30$|1
$30$|0

I-
On utilise ici la propriété de bilinéarité du produit scalaire: $\big(k\vv{u}\big)\cdot\big(k'\vv{v}\big)=kk'\vv{u}\cdot\vv{v}$.

Q-
Si $\vv{u}\cdot\vv{v}=-2$, que vaut $\big(5\vv{u}\big)\cdot\big(-2\vv{v}\big)$ ?

R-
$6$|0
$-6$|0
$20$|0
$20$|1

Q-
Si $ABCD$ est un carré de côté 1 et de centre $O$, alors $\prodscal{AB}{AO}=\ldots$:

R-
$\frac{1}{2}$|1
1|0
$-\frac{1}{2}$|0
$-1$|0

I-
On peut utiliser le projeté orthogonal $H$ de $O$ sur $[AB]$, qui est en son milieu.\\Ainsi, $\prodscal{AB}{AO}=AB \times AH=1\times\frac{1}{2}=\frac12$.

-NEWPAGE-

Q-
Si $A\coord{-1}{2}$ et $B\coord{3}{1}$ dans un repère orthonormé d'origine $O$, alors $\prodscal{OA}{OB}=\ldots$:

R-
1|0
0|0
$-1$|1
$-2$|0

Q-
Si $A\coord{-1}{2}$, $B\coord{3}{1}$ et $C\coord{1}{-2}$ dans un repère orthonormé, alors $\prodscal{CA}{CB}=\ldots$:

R-
8|1
7|0
$-8$|0
$-16$|0

Q-
Si $\vv{u}\dbinom{x}{3}$ et $\vv{v}\dbinom{-5}{2}$, quelle doit être la valeur de $x$ pour que ces vecteurs soient orthogonaux?

R-
$x=\frac56$|0
$x=1,2$|1
$x=-1,2$|0
$x=-\frac56$|0

Q-
Si $A\coord{-1}{2}$, $B\coord{3}{1}$ et $C\coord{1}{-2}$ dans un repère orthonormé, alors $\angleor{CA}{CB}\approx\ldots$:

R-
$60^\circ$|1
$63^\circ$|0
$8^\circ$|0
$73^\circ$|0

FIN-