T-
Variables aléatoires

N-
Première, enseignement de spécialité\\\url{mathweb.fr}

C-
Pour chacune des questions suivantes, une seule réponse est exacte. Laquelle ? Cochez la bonne réponse.

DEBUT-

Q-
Un dé cubique est lancé 2 fois. On note $X$ la variable aléatoire représentant la somme des faces obtenues à l'issue de ces deux lancers. Alors, le nombre d'éléments de $X$ est égal à:

R-
6|0
11|1
12|0
36|0

I-
En effet, $X=\{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}$.

Q-
On dispose d'un dé cubique, dont les faces sont numérotées de 1 à 6, et d'un dé tétraédrique (dont les faces sont numérotées de 1 à 4). Ces dés sont parfaitement équilibrés.\newline On lance ces deux dés et on s'intéresse à la somme des deux chiffres obtenus. \newline Soit X la variable aléatoire représentant l'ensemble des sommes possibles. Alors, l'expérance de $X$ est égale à:

R-
4|0
5|0
6|1
7|0

I-
On a:\begin{center}\begin{tabular}{|>{\columncolor{gray!10}\bfseries}Sr|*9{Sc|}}\hline\rowcolor{gray!10}X & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10\\\hline P(X) & $\dfrac{1}{24}$ & $\dfrac{1}{12}$ & $\dfrac{1}{8}$ & $\dfrac{1}{6}$ & $\dfrac{1}{6}$ & $\dfrac{1}{6}$ & $\dfrac{1}{8}$ & $\dfrac{1}{12}$ & $\dfrac{1}{24}$\\\hline\end{tabular}\end{center} et donc:\[ \begin{aligned}[t]\esp{X} & = 2\times\dfrac{1}{24}+3\times\dfrac{1}{12}+\cdots+10\times\dfrac{1}{24}\\\Aboxed{\esp{X} & = 6}\end{aligned}\]

Q-
On jette trois fois de suite une pièce de monnaie. Si on obtient trois fois \og pile \fg{} ou trois fois \og face \fg, on gagne 100 \euro. Sinon, on perd 10~\euro{} (ce qui correspond à un gain de $-10$ \euro).\newline L'espérance de la variable aléatoire représentant le gain algébrique de ce jeu est égale à:

R-
16,5|0
17,5|1
18,5|0
19,5|0

Q-
On jette trois fois de suite une pièce de monnaie. Si on obtient trois fois \og pile \fg{} ou trois fois \og face \fg, on gagne 100 \euro. Sinon, on perd 10~\euro{} (ce qui correspond à un gain de $-10$ \euro). On ajoute ensuite 5 \euro.\newline L'espérance de la variable aléatoire représentant le gain algébrique de ce jeu est égale à:

R-
22,5|1
20,5|0
20|0
19,5|0

I-
Il suffit d'ajouter 5 à l'espérance trouvée à la question pécédente d'après la formule $\esp{X+5}=\esp{X}+5$ (linéarité de l'espérance).

-NEWPAGE-

Q-
Une variable aléatoire $X$ est telle que son espérance est $\esp{X}=10$. On pose alors $Y=2X+5$. Alors, $\esp{Y}=\ldots$:

R-
10|0
20|0
25|1
30|0

I-
$\esp{2X+5}=2\esp{X}+5=25$.

Q-
Une variable aléatoire $X$ est telle que sa variance $\var{X}=10$. On pose alors $Y=2X+5$. Alors, $\var{Y}=\ldots$:

R-
25|0
20|0
40|1
45|0

I-
$\var{2X+5}=2^2\var{X}=4\times10=40$.

Q-
Une variable aléatoire $X$ est telle que son écart-type est $\sigma(X)=10$. On pose alors $Y=2X+5$. Alors, $\sigma(Y)=\ldots$:

R-
25|0
20|1
40|0
45|0

I-
$\sigma{2X+5}=2\sigma{X}=2\times10=20$.

Q-
Une variable aléatoire $X$ est telle que son espérance vaut $\exp{X}=5$ et telle que $\mathbb{E}\big(X^2\big)=40$. Alors, la variance de $X$ est égale à:

R-
15|1
20|0
40|0
45|0

I-
D'après la formule de Koenig-Huygens, $\var{X}=\esp{$X^2$}-\big(\esp{X}\big)^2=40-5^2=40-25=15$.

FIN-