T-
PPCM et PGCD

N-
Seconde générale

C-
Pour chacune des questions suivantes, une seule réponse est exacte. Laquelle ? Cochez la bonne réponse.

DEBUT-

Q-
Une méthode pour déterminer le PGCD de deux nombres entiers est:

R-
L'algorithme d'Euler|0
L'algorithme d'Euclide|1
Le crible d'Ératosthène|0
La table des diviseurs|0

Q-
Pour deux entiers naturels $a$ et $b$, le produit $\text{PPCM}\coord{a}{b}\times\text{PGCD}\coord{a}{b}$ vaut:

R-
$a \times b$|1
$a-b$|0
$\dfrac{a}{b}$|0
$a+b$|0

Q-
Voici l'algorithme d'Euclide exécuté pour $\numprint{2037}$ et $519$:\[ \begin{array}{r@{~=~}l}\numprint{2037} & 3 \times 519 + 480\\519 & 1 \times 480 + 39\\480 & 12 \times  39 + 12\\ 39 & 3 \times 12 + 3\\12 & 4 \times 3 + 0 \end{array} \]On peut alors déduire que le PGCD de \numprint{2037} et 512 vaut:

R-
0|0
12|0
3|1
39|0

Q-
$\text{PGCD}\coord{\numprint{1010}}{111}=$

R-
0|0
1|1
11|0
111|0

I-
On a: \[ \begin{array}{r@{~=~}l}\numprint{1010} & 9 \times 111 + 11\\111 & 10 \times 11 + 1\\11 & 11 \times  1 + 0\end{array} \]Donc $\text{PGCD}\coord{\numprint{1010}}{111}=1$.

Q-
$\text{PGCD}\coord{\numprint{9909}}{99}=$

R-
0|0
1|0
9|1
99|0

I-
On a: \[ \begin{array}{r@{~=~}l}\numprint{9909} & 100 \times 99 + 9\\99 & 11 \times 9 + 0\end{array} \]Donc $\text{PGCD}\coord{\numprint{9909}}{99}=9$.

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Q-
On sait que $\text{PGCD}\coord{84}{18}=6$. Que vaut $\text{PPCM}\coord{84}{18}$ ?

R-
$84\times18$|0
$84\times3$|1
$\dfrac{84}{18\times6}$|0
$84\times18\times6$|0

I-
On sait que $\text{PGCD}\coord{84}{18}\times\text{PPCM}\coord{84}{18}=84\times18$ donc:\[ \text{PPCM}\coord{84}{18}=\dfrac{84\times18}{6}=84\times\frac{18}{6}=84\times3.\]

Q-
On sait que $\text{PGCD}\coord{a}{b}=2$ et $\text{PPCM}\coord{a}{b}=46$. Alors, $a\times b=$:

R-
92|0
23|1
44|0
48|0

Q-
On sait que $\text{PPCM}\coord{a}{b}=170$ et que $b$ est un nombre premier. Alors:

R-
$b\in\{1;2;5;10;17;34;85;170\}$|1
$a=10$ et $b=17$|0
$a=2$ et $b=85$|0
$a=1$ et $b=170$|0

I-
Examinons les propositions 2, 3 et 4:\begin{itemize}\item si $a=10$ et $b=17$ alors $\text{PGCD}\coord{a}{b}=1$ et $\text{PGCD}\coord{a}{b}=170$. Cette proposition est possible;\item si $a=2$ et $b=85$ alors $\text{PGCD}\coord{a}{b}=1$ et $\text{PGCD}\coord{a}{b}=170$. Cette proposition est possible;\item si $a=1$ et $b=170$ alors $\text{PGCD}\coord{a}{b}=1$ et $\text{PGCD}\coord{a}{b}=170$. Cette proposition est possible.\end{itemize}Ces trois propositions sont donc possibles mais pas obligatoires: on ne peut pas affirmer que la proposition $a=10$ et $b=17$ est vraie à tous les coups.\\Par conséquent, les trois propositions sont fausses. Seule la première proposition est exacte car $b$ est nécessairement un diviseur de 170 (par définition), et tous les diviseurs de 170 se trouvent dans l'ensemble $\{1;2;5;10;17;34;85;170\}$.

Q-
Un chef d'orchestre fait répéter 372 choristes hommes et 775 choristes femmes pour un concert. Il veut faire des groupes de répétition de sorte que le nombre de choristes femmes soit le même dans chaque groupe, que celui d'hommes soit le même dans chaque groupe, et que chaque choriste appartienne à un unique groupe. Combien de groupes peut-il former au maximum ?

R-
5|0
31|1
71|0
101|0

I-
$\text{PGCD}\coord{372}{775}=31$ donc il peut former au maximum 31 groupes en respectant ses contraintes.

Q-
Le Robot Shaun exécute une tâche A toutes les \numprint{2037} secondes, et le robot Mimo exécute une tâche B toutes les 519 secondes.\\S'ils exécutent en même temps ces tâches, combien de secondes devra-t-on attendre au minimum pour qu'ils exécutent à nouveau ces tâches en même temps ?

R-
519|0
2037|0
\numprint{109765}|0
\numprint{352401}|1

I-
Le temps minimum à attendre correspond au $\text{PPCM}$ des deux nombres.

FIN-