T- Vecteurs N- Seconde générale C- Pour chacune des questions suivantes, une ou plusieurs réponses sont exactes. Laquelle/lesquelles ? Cochez la ou les bonnes réponses. DEBUT- Q- Quel est le vecteur qui a même direction et même sens que $\vv{AB}$, mais dont la norme est deux fois plus grande ? R- $\dfrac{1}{2}\vv{AB}$|0 $2\vv{AB}$|1 $-\vv{AB}$|0 $\vv{BA}$|0 I- Multiplier un vecteur par un réel positif ne change ni sa direction ni son sens, mais modifie sa norme. $2\vv{AB}$ a donc même direction, même sens, mais une norme doublée. Q- Le vecteur $\vv{u}$ est défini par un segment orienté. Dans ce contexte, que représente l'extrémité de $\vv{u}$ ? R- Le point d'arrivée du vecteur|1 Le point de départ du vecteur|0 Le centre du segment associé|0 Le point situé à égale distance des extrémités|0 I- L'origine d'un vecteur est son point de départ, l'extrémité est son point d'arrivée. Q- Parmi les affirmations suivantes, laquelle caractérise le mieux la direction d'un vecteur ? R- C'est l'inclinaison de la droite qui peut le supporter|1 C'est le point de départ du vecteur|0 C'est la longueur du vecteur|0 C'est le sens de son mouvement|0 I- La direction d'un vecteur correspond à la droite qui porte le vecteur, indépendamment du sens. Q- Soient deux vecteurs $\vv{u}$ et $\vv{v}$ de même direction, mais de sens contraires. Laquelle des affirmations suivantes est vraie ? R- $\vv{u} = \vv{v}$|0 $\vv{u} = -\vv{v}$|1 $\vv{u} + \vv{v} = \vv{u}$|0 $\vv{u}$ et $\vv{v}$ ont nécessairement la même norme|0 I- Si deux vecteurs ont même direction mais sens contraires et même norme, alors l'un est l'opposé de l'autre : $\vv{u} = -\vv{v}$. Q- Laquelle des affirmations suivantes est vraie concernant la relation de Chasles ? R- $\vv{AB} + \vv{BC} = \vv{BA}$|0 $\vv{AB} + \vv{CB} = \vv{AC}$|0 $\vv{AB} + \vv{BC} = \vv{AC}$|1 $\vv{AB} + \vv{AC} = \vv{BC}$|0 I- La relation de Chasles s’écrit : $\vv{AB} + \vv{BC} = \vv{AC}$. -NEWPAGE- Q- Si $\vv{AI}=\vv{IB}$ alors: R- $I$ est le milieu de $[AB]$|1 $A$ est le milieu de $[IA]$|0 $B$ est le milieu de $[IB]$|0 $\vv{AB}=2\vv{IB}$|1 I- C'est une propriété vectorielle du milieu d'un segment. Q- Si $\vv{IA}+\vv{IB}=\vv{0}$ alors: R- $I$ est le milieu de $[AB]$|1 $A$ est le milieu de $[IA]$|0 $B$ est le milieu de $[IB]$|0 $\vv{AB}=2\vv{IB}$|1 I- C'est une propriété vectorielle du milieu d'un segment. Q- Si $ABCD$ est un rectangle, alorson a toujours: R- $\vv{AB}+\vv{CD}=2\vv{BC}$|0 $\vv{AB}+\vv{BC}=\vv{BD}$|0 $\vv{BC}+\vv{DA}=\vv{0}$|1 $\vv{BC}=2\vv{AB}$|0 I- $\vv{BC}=\vv{AD}=-\vv{DA}$ donc $\vv{BC}+\vv{DA}=\vv{0}$. Q- Soient A\coord{1}{2} et B\coord{4}{-1}. Quelles sont les coordonnées du vecteur $\vv{AB}$ ? R- $\dbinom{3}{-3}$|1 $\dbinom{-3}{3}$|0 $\dbinom{5}{1}$|0 $\dbinom{2}{-1}$|0 I- $\vv{AB}\dbinom{x_B - x_A}{y_B - y_A} = \dbinom{4 - 1}{-1 - 2} = \dbinom{3}{-3}$. Q- Soient les points A\coord{-2}{3} et B\coord{4}{-1}. Quelle est la norme du vecteur $\vv{AB}$ ? R- $\sqrt{52}$|1 $\sqrt{6^2 + (-4)^2}$|1 $\sqrt{(-6)^2 + 4^2}$|1 $2\sqrt{13}$|1 I- La norme de $\vv{AB}$ est $\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \sqrt{(6)^2 + (-4)^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52}$. Mais c'est aussi la même que celle de $\vv{BA}=\sqrt{(-6)^2+4^2}=\sqrt{52}=\sqrt{4\times13}=2\sqrt{13}$. Q- Soient A\coord{2}{1}, B\coord{6}{3}, et C\coord{10}{5}. Les vecteurs $\vv{AB}$ et $\vv{AC}$ sont-ils colinéaires ? R- Oui|1 Non|0 I- $\vv{AB}\dbinom{4}{2}$ et $\vv{AC}\dbinom{8}{4}$, donc $\vv{AC} = 2\vv{AB}$; ils sont colinéaires. Q- Soient les vecteurs $\vv{u}\dbinom{2}{3}$ et $\vv{v}\dbinom{-5}{7}$. Quelles sont les coordonnées de $\vv{u} + \vv{v}$ ? R- $\dbinom{-3}{10}$|1 $\dbinom{7}{4}$|0 $\dbinom{-7}{-4}$|0 $\dbinom{3}{-4}$|0 I- On additionne les coordonnées : $\big(\vv{u} + \vv{v}\big)\dbinom{2 + (-5)}{3 + 7} = \dbinom{-3}{10}$. Q- Soient $\vv{u}\dbinom{-3}{2}$ et $\vv{v}\dbinom{5}{-2}$. Leur déterminant vaut: R- $-4$|1 16|0 4|0 $-16$|0 I- $\det\big(\vv{u},\vv{v}\big)=-3\times(-2)-2\times5=6-10=-4$. -NEWPAGE- Q- Les vecteurs $\vv{u}\dbinom{\sqrt3-1}{2}$ et $\vv{v}\dbinom{1}{\sqrt3+1}$ sont-ils colinéaires? R- Oui|1 Non|0 I- $\det\big(\vv{u},\vv{v}\big)=\big(\sqrt3-1\big)\big(\sqrt3+1\big)-2\times1=3-1-2=0$ donc les vecteurs sont colinéaires. Q- Soient les vecteurs $\vv{u}\dbinom{-5}{y}$ et $\vv{v}\dbinom{1}{2}$. Pour quelle valeur de $y$ sont-ils colinéaires? R- 10|0 $-10$|1 $\frac52$|0 $-\frac52$|0 I- Il faut que $\det\big(\vv{u},\vv{v}\big)=-5\times2-y\times1=-10-y=0$ donc que $y=-10$. FIN-