T-
\'Equations de droites

N-
Seconde générale

C-
Pour chacune des questions suivantes, une ou plusieurs réponses sont exactes. Laquelle/lesquelles ? Cochez la ou les bonnes réponses.

DEBUT-

Q-
La droite $(AB)$ passant par les points $A\coord{-3}{2}$ et $B\coord{5}{-1}$ a pour équation réduite :

R- 
$y = \dfrac{3}{8}x - \dfrac{7}{8}$|0  
$y = -\dfrac{1}{2}x + 1$|0  
$y = -\dfrac{3}{8}x + \dfrac{7}{8}$|1 
$y = -\dfrac{3}{8}x - \dfrac{7}{8}$|0

I-
On commence par calculer le coefficient directeur de la droite (AB) : $$m = \dfrac{-1 - 2}{5 - (-3)} = \dfrac{-3}{8}.$$ On utilise ensuite le point $A\coord{-3}{2}$ dans l'équation $y = mx + p$ pour déterminer $p$ :  $$2 = -\dfrac{3}{8} \times (-3) + p \Rightarrow p = 2 - \dfrac{9}{8} = \dfrac{7}{8}.$$ Donc l'équation réduite est $y = -\dfrac{3}{8}x + \dfrac{7}{8}$.

Q-
La droite $(CD)$ passant par les points $C\coord{2}{-4}$ et $D\coord{-6}{2}$ a pour équation réduite :

R-
$y = -\dfrac{3}{4}x - \dfrac{5}{2}$|1  
$y = -\dfrac{3}{4}x - \dfrac{1}{2}$|10 
$y = \dfrac{3}{4}x - \dfrac{1}{2}$|0  
$y = -\dfrac{4}{3}x - \dfrac{1}{2}$|0

I-
Le coefficient directeur est:$$m = \dfrac{2 - (-4)}{-6 - 2} = \dfrac{6}{-8} = -\dfrac{3}{4}.$$ On remplace dans $y = mx + p$ avec le point $C\coord{2}{-4}$ : $$ -4 = -\dfrac{3}{4} \times 2 + p \Rightarrow -4 = -\dfrac{3}{2} + p \Rightarrow p = -4 + \dfrac{3}{2} = -\dfrac{5}{2}.$$ Donc l'équation réduite est $y = -\dfrac{3}{4}x - \dfrac{1}{2}$.

Q-
Le point de coordonnées \coord{-3}{5} appartient-il à la droite d'équation $y=-5x-10$?

R-
Oui|1
Non|0

I-
On remplace $x$ dans l'équation réduite de la droite par $-3$: $$y=-5\times(-3)-10=15-10=5.$$On trouve l'ordonnée du point, donc ce point appartient à la droite.

Q-
Le point de coordonnées \coord{-\frac13}{10} appartient-il à la droite d'équation $y=9x-7$?

R-
Oui|0
Non|1

I-
On remplace $x$ dans l'équation réduite de la droite par $-\frac13$: $$y=9\times\left(-\frac13\right)-7=-3-7=-10.$$On ne trouve pas l'ordonnée du point, donc ce point n'appartient à la droite.

Q-
La droite d'équation $y=-3x+2$ passe par:

R-
A\coord{0}{2}|1
B\coord{1}{1}|0
C\coord{-1}{-5}|0
D\coord{-2}{8}|1

I-
Si $x=0$, $y=-3\times0+2=2=y_A$ donc $A$ est sur la droite.\newline Si $x=1$, $y=-3\times1+2=-1\neq y_B$ donc $B$ n'est pas sur la droite.\newline Si $x=-1$, $y=-3\times(-1)+2=5\neq y_C$ donc $C$ n'est pas sur la droite.\newline Si $x=-2$, $y=-3\times(-2)+2=8=y_D$ donc $D$ est sur la droite.

Q-
Un vecteur directeur de la droite d'équation $y=-3x+2$ a pour coordonnées:

R-
$\dbinom{1}{-3}$|1
$\dbinom{3}{-1}$|0
$\dbinom{-3}{9}$|1
$\dbinom{-3}{2}$|0

I-
Un vecteur directeur d'une droite d'équation $y=mx+p$ est $\vv{u}\dbinom{1}{m}$ ou tout autre vecteur colinéaire. Ici, cela donne $\vv{u}\dbinom{1}{-3}$, mais comme $\vv{v}=-3\vv{u}\dbinom{-3}{9}$, les vecteurs sont colinéaires et sont donc bien deux vecteurs directeurs de la droite.

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Q-
Une équation cartésienne de la droite $(AB)$ où $A\coord{1}{2}$ et $B\coord{-1}{-2}$ est:

R-
$y=2x$|0
$2x-y=0$|1
$x-2y=0$|0
$x+2y=0$|0

I-
\og $y=2x$ \fg{} est une équation réduite de $(AB)$, mais pas cartésienne. Seule $2x-y=0$ convient.

Q-
Une équation cartésienne de la droite $(AB)$ où $A\coord{-3}{2}$ et $B\coord{-1}{-1}$ est:

R-
$3x+2y-5=0$|0
$-3x-2y+5=0$|0
$-3x+2y+5=0$|0
$3x+2y+5=0$|1

I-
Si $M\coord{x}{y}\in(AB)$, alors $\det\big(\vv{BM},\vv{AB}\big)=0$ soit $\begin{vmatrix}x+1 & 2\\y+1 & -3\end{vmatrix}=0$. En développant, on trouve $-3x-2y-5=0$, soit $3x+2y+5=0$.

Q-
Soit $mx+(2m-1)y+4=0$ une équation cartésienne de droite.

R-
Pour $m=0$, elle est parallèle à l'axe des\newline abscisses.|1
Pour $m=\frac12$, elle est parallèle à l'axe des\newline ordonnées.|1
Pour $m=-1$, elle est parallèle à la droite d'équation $y=x$.|0
Le point $A\coord{-8}{4}$ appartient toujours à cette droite.|1

I-
$\bullet$ Pour $m=0$, l'équation devient $y=4$, équation de droite horizontale, donc parallèle à l'axe des abscisses.\\ $\bullet$ Pour $m=\frac12$, l'équation devient $x=-16$, équation de droite verticale, donc parallèle à l'axe des ordonnées.\\ $\bullet$ Pour $m=-1$, l'équation devient $x+3y+4=0$, soit de vecteur directeur $\vv{u}\dbinom{-3}{1}$, non colinéaire au vecteur directeur de la droite d'équation $y=x$, de coordonnées $\dbinom{1}{1}$. Donc les droites ne sont pas parallèles.\\ $\bullet$ Si on remplace $x$ et $y$ par $-8$ et 4 dans l'équation, on trouve bien 0, donc $A$ est bien sur toutes les droites, quel que soit $m$.

Q-
Un vecteur directeur de la droite d'équation cartésienne $-5x+2y-7=0$ est un vecteur de coordonnées:

R-
$\dbinom{2}{-5}$|0
$\dbinom{-2}{-5}$|1
$\dbinom{-7}{5}$|0
$\dbinom{2}{5}$|1

I-
Un vecteur directeur de la droite d'équation $ax+by+c=0$ a pour coordonnées $\dbinom{-b}{a}$, ou tout vecteur colinéaire à ce dernier.


FIN-