T-
Raisonnement par récurrence

N-
Terminale, enseignement de spécialité

C-
Pour chacune des questions suivantes, une seule réponse est exacte. Laquelle ? Cochez la bonne réponse.

DEBUT-

Q-
La propriété suivante peut être démontrée par récurrence:$$\forall x\in\R,\ (1+x)^3 > 1 + 3x.$$

R-
Vrai|0
Faux|1

I-
La propriété ne dépend pas d'un ENTIER mais d'un R\'EEL. Sa démonstration ne peut donc pas être par récurence (qui ne concerne que les propriétés dépendant d'un entier naturel).

Q-
La proposition suivante peut être démontrée par récurrence:$$(\mathcal{P}_n)~:~\forall n\in\N*,\ 1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}.$$

R-
Vrai|1
Faux|0


Q-
La proposition suivante peut être démontrée par récurrence:$$(\mathcal{P}_n)~:~\forall n\in\N*,\ 1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.$$

R-
Vrai|1
Faux|0

Q-
La proposition suivante peut être démontrée par récurrence:$$(\mathcal{P}_n)~:~\forall n\in\N,\ 10^n+1\text{ est divisible par 9}.$$

R-
Vrai|0
Faux|1

Q-
Soit $(\mathcal{P}_n)$ une propriété arithmétique dépendant de l'entier $n$.\\ Le \og principe de récurrence \fg{} stipule que si $(\mathcal{P}_0)$ est vraie, et si $(\mathcal{P}_k) \Rightarrow (\mathcal{P}_{k+1})$ pour tout entier naturel $k$, alors $(\mathcal{P}_n)$ est vraie pour tout entier naturel $n$.

R-
Vrai|0
Faux|1

I-
Dans l'hérédité, ce n'est pas :\\ \og $(\mathcal{P}_k) \Rightarrow (\mathcal{P}_{k+1})$ pour tout entier naturel $k$ \fg, mais:\\ \og $(\mathcal{P}_k) \Rightarrow (\mathcal{P}_{k+1})$ pour UN entier naturel $k$ arbitrairement fixé. \fg

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Q-
La proposition suivante peut être démontrée par récurrence:$$(\mathcal{P}_n)~:~\forall n\in\N,\ \forall p \in\N,\ n+p^2 \in\N.$$

R-
Vrai|0
Faux|1

Q-
$f$ est une fonction strictement \textit{croissante} définie sur $[0;5]$. On définit la suite $(u_n)$ par son premier terme $u_0=1$ et par la relation de récurrence  $u_{n+1}=f(u_n)$ pour tout entier naturel $n$. On sait que $u_1 > u_0$ et que $u_n\in[0;5]$, quel que soit $n$.\\On peut alors démontrer par récurrence que la suite $(u_n)$ est strictement croissante.

R-
Vrai|1
Faux|0

I-
Le fait que la fonction soit croissante nous assure que l'on peut démontrer l'hérédité de la propriété, à savoir que la suite est croissante. En effet, dans l'hérédité, $$u_{k+1} > u_k \Rightarrow f(u_{k+1}) > f(u_k) \Rightarrow u_{k+2} > u_{k+1}.$$ 

Q-
$f$ est une fonction strictement \textit{décroissante} définie sur $[0;5]$. On définit la suite $(u_n)$ par son premier terme $u_0=4$ et par la relation de récurrence $u_{n+1}=f(u_n)$ pour tout entier naturel $n$. On sait que $u_1 < u_0$ et que $u_n\in[0;5]$, quel que soit $n$.\\On peut alors démontrer par récurrence que la suite $(u_n)$ est strictement décroissante.

R-
Vrai|0
Faux|1

I-
Le fait que la fonction soit décroissante ne permet pas de démontrer l'hérédité de la propriété, à savoir que la suite est décroissante. En effet, $$u_{k+1} < u_k \Rightarrow f(u_{k+1}) > f(u_k) \Rightarrow u_{k+2} > u_{k+1}.$$L'inégalité est inversée.

FIN-