T-
Limites de suites

N-
Terminale, enseignement de spécialité

C-
Pour chacune des questions suivantes, une seule réponse est exacte. Laquelle ? Cochez la bonne réponse.

DEBUT-

Q-
La limite de la suite \suite{u}{n}{} définie par:\[u_n=\frac{4n^2-5n+2}{2n+5}\]vaut:

R-
0|0
2|0
$+\infty$|1
$-\infty$|0

I-
\[\limite{n}{+\infty}{\dfrac{4n^2-5n+2}{2n+5}}=\limite{n}{+\infty}{\dfrac{4n^2}{2n}}=\limite{n}{+\infty}{2n}=+\infty.\]

Q-
La limite de la suite \suite{u}{n}{} définie par:\[u_n=\frac{4n^2-5n+2}{2n^2+5}\]vaut:

R-
0|0
2|1
$+\infty$|0
$-\infty$|0

I-
\[\limite{n}{+\infty}{\dfrac{4n^2-5n+2}{2n^2+5}}=\limite{n}{+\infty}{\dfrac{4n^2}{2n^2}}=\limite{n}{+\infty}{2}=2.\]

Q-
La limite de la suite \suite{u}{n}{} définie par:\[u_n=\frac{4n^2-5n+2}{2n^3+5}\]vaut:

R-
0|1
2|0
$+\infty$|0
$-\infty$|0

I-
\[\limite{n}{+\infty}{\dfrac{4n^2-5n+2}{2n^3+5}}=\limite{n}{+\infty}{\dfrac{4n^2}{2n^3}}=\limite{n}{+\infty}{\frac{2}{n}}=0.\]

-NEWPAGE-

Q-
La limite de la suite \suite{u}{n}{} définie par:\[u_n=\frac{\sqrt{n}-1}{\sqrt{n}+1}\]vaut:

R-
0|0
1|1
$+\infty$|0
$-\infty$|0

I-
\[\limite{n}{+\infty}{\frac{\sqrt{n}-1}{\sqrt{n}+1}}=\limite{n}{+\infty}{\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}}}=\limite{n}{+\infty}{1}=1.\]

Q-
Pour déterminer la limite de la suite \suite{u}{n}{n>0} définie par:\[u_n=\frac{\cos(n)}{n}\;,\]on peut utiliser:

R-
La méthode par factorisation|0
Le théorème des gendarmes|1
Le théorème de comparaison|0

I-
On peut en effet montrer que:\[ -\frac{1}{n} \leqslant u_n \leqslant \frac{1}{n} \] et utiliser le théorème des gendarmes car $\limite{n}{+\infty}{\dfrac{1}{n}}=0$.

Q-
Si $\limite{n}{+\infty}{a_n}=\limite{n}{+\infty}{b_n}=+\infty$ et si, pour tout entier naturel $n$, $a_n \leqslant u_n \leqslant b_n$, alors on peut montrer que $\limite{n}{+\infty}{u_n}=+\infty$ à l'aide du théorème:

R-
des gendarmes|0
de comparaison|1

I-
$a_n \leqslant u_n \leqslant b_n$ donc $u_n \geqslant a_n$. Comme $\limite{n}{+\infty}{a_n}=+\infty$, on utilise le théorème de comparaison pour trouver la limite de $\suite{u}{n}{}$. Lorsqu'une limite est infinie, on ne peut pas utiliser le théorème des gendarmes (qui ne fonctionne que lorsque les deux limites sont communes et finies).

Q-
Si $-n^2 \leqslant u_n \leqslant n^2$ pour tout entier naturel $n$ alors que vaut $\limite{n}{+\infty}{u_n}$ ?

R-
$-\infty$|0
$+\infty$|0
0|0
On ne peut pas savoir|1

Q-
$\suite{u}{n}{}$ est une suite strictement croissante telle que $\forall n\in\N,\ -1 \leqslant u_n \leqslant 3$. Alors:

R-
$\suite{u}{n}{}$ converge vers 3|0
$\suite{u}{n}{}$ converge|1
$\limite{n}{+\infty}{u_n}=+\infty$|0
$\limite{n}{+\infty}{u_n}=-\infty$|0

Q-
La suite $\suite{u}{n}{}$ définie par son premier terme $u_0=7$ et par la relation de récurrence $u_{n+1}=\sqrt{u_n}$ converge. Quelle est sa limite?

R-
0|0
1|1
$\sqrt7$|0
On ne peut pas savoir|0

I-
Si $\ell = \limite{n}{+\infty}{u_n}$ alors $\ell = \sqrt\ell$. Les seules solutions à cette dernière équation sont 0 et 1. Mais $u_n\geqslant 1$ (on peut le montrer par récurrence) donc $\ell\neq0$. La limite vaut donc 1.

Q-
Soit $\suite{u}{n}{}$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_0=7$ et $u_{n+1}=f(u_n)$, où $f$ est une fonction continue strictement croissante sur \intervFF{0}{10} telle que $f(0)=4$ et $f(10)=6$. Alors, nécessairement:

R-
$\suite{u}{n}{}$ est croissante|0
$\suite{u}{n}{}$ n'existe pas|0
Si $u_1<u_0$ alors $\suite{u}{n}{}$ converge|1
On ne peut rien conclure|0

I-
$f$ est croissante donc $u_1<u_0 \Rightarrow f(u_1) < f(u_0) \Rightarrow u_2 < u_3$. On peut montrer par récurrence que la suite est décroissante. Comme elle est minorée (par 4), elle converge (pas nécessairement vers 4). 

FIN-