T-
Limites de fonctions

N-
Terminale, enseignement de spécialité

C-
Pour chacune des questions suivantes, plusieurs réponses peuvent être exactes. Lesquelles ? Cochez la ou les bonnes réponses.

DEBUT-

Q-
$f(x)=\dfrac{1}{x+4}$. Alors, $\limite{x}{+\infty}{f(x)}=$:

R-
0|1
1|0
$+\infty$|0
$-\infty$|0

Q-
$f(x)=\dfrac{1}{x+4}$. Alors, $\limite[x<-4]{x}{-4}{f(x)}=$:

R-
0|0
1|0
$+\infty$|0
$-\infty$|1

Q-
La courbe représentative de la fonction $f$ telle que $f(x)=\dfrac{1}{x+4}$ admet:

R-
Une asymptote verticale|1
Une asymptote horizontale|1
Aucune asymptote|0
Une tangente au point d'abscisse $-4$|0

Q-
$f(x)=\dfrac{3x+2}{x-3}$. Alors, $\limite{x}{-\infty}{f(x)}=$:

R-
0|0
3|1
$+\infty$|0
$-\infty$|0

Q-
La courbe représentative de la fonction $f$ telle que $f(x)=\dfrac{3x-1}{x^2+x+1}$ admet :

R-
Une asymptote horizontale|1
Une asymptote verticale|0
Deux asymptotes verticales|0
Une infinité d'asymptotes|0

Q-
La courbe représentative de la fonction $f$ telle que $f(x)=\dfrac{3x^3-1}{x^2+2x+1}$ admet :

R-
Une asymptote horizontale|0
Une asymptote verticale|1
Deux asymptotes verticales|0
Une infinité d'asymptotes|0

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Q-
La courbe représentative de la fonction $f$ telle que $f(x)=\dfrac{x-1}{x^2-2x+1}$ admet :

R-
Une asymptote horizontale|0
Une asymptote verticale|1
Deux asymptotes verticales|0
Une infinité d'asymptotes|0

Q-
La courbe représentative de la fonction $f$ telle que $f(x)=\dfrac{2x+5}{x^2-3x+2}$ admet :

R-
Une asymptote horizontale|1
Une asymptote verticale|0
Deux asymptotes verticales|1
Une infinité d'asymptotes|0

Q-
$\limite{x}{+\infty}{\left(\dfrac{x+7}{3-x}\right)}=$

R-
$-1$|1
1|0
$-\infty$|0
$+\infty$|0

Q-
La courbe représentative de la fonction $f$ définie par $f(x)=-2+\dfrac{7}{x^2}$ admet pour asymptote la droite d'équation:

R-
$y=0$|0
$y=-2$|1
$x=0$|1
$x=1$|0

Q-
$\limite[x<\pi]{x}{\pi}{\left(\dfrac{1}{1+\cos x}\right)}=$

R-
0|0
1|0
$+\infty$|1
$-\infty$|0

I-
$\forall x\in\R, -1 \leqslant \cos x \leqslant 1 \iff 0 \leqslant 1+\cos x\leqslant 2$. Le dénominateur est donc positif, et sa limite aussi.

Q-
$f(x)=-5x^3 + 2x-4$. Alors, $\limite{x}{-\infty}{f(x)}=$:

R-
$+\infty$|1
$-\infty$|0

Q-
$f(x)=\sqrt{x+1}-\sqrt{x+2}$. Alors, $\limite{x}{+\infty}{f(x)}=$:

R-
0|1
1|0
$+\infty$|0
$-\infty$|0

I-
$f(x)=\dfrac{\big(\sqrt{x+1}-\sqrt{x+2}\big)\big(\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}\big)}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}}=\dfrac{-1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}}$.

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Q-
$f(x)=\dfrac{x-1}{\sqrt{x+1}}$. Alors, $\limite{x}{+\infty}{f(x)}=$:

R-
0|0
1|0
$+\infty$|1
$-\infty$|0

I-
$f(x)=\dfrac{(x-1)\sqrt{x+1}}{x+1}=\dfrac{x-1}{x+1}\sqrt{x+1}$. $\limite{x}{+\infty}{\left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)}=1$ et $\limite{x}{+\infty}\sqrt{x+1}=+\infty$.

Q-
$f(x)=\dfrac{\sqrt{x^2-3x+2}}{x-1}$. Alors, $\limite{x}{-\infty}{f(x)}=$:

R-
$-1$|1
1|0
$+\infty$|0
$-\infty$|0

I-
$f(x)=\dfrac{|x|\sqrt{1-\dfrac3x+\dfrac{2}{x^2}}}{x\left(1-\dfrac1x\right)} = \dfrac{-\sqrt{1-\dfrac3x+\dfrac{2}{x^2}}}{\left(1-\dfrac1x\right)}$ pour $x<0$.

Q-
$f(x)=-x^2\e^{-x}$. Alors, $\limite{x}{+\infty}{f(x)}=$:

R-
0|1
$-\infty$|0
$+\infty$|0
$\e$|0

I-
$f(x)=-\frac{x^2}{\e^x}$: croissante comparée en $+\infty$. La limite vaut 0.

Q-
$f(x)=\frac{1}{\e}(x-1)\e^x$. Alors, $\limite{x}{1}{f(x)}=$:

R-
0|1
$-\infty$|0
$+\infty$|0
$\frac{1}{\e}$|0

I-
$f(x)=\e^{-1}(x-1)\e^x=(x-1)\e^{x-1}$ et $\limite{x}{1}{f(x)}=\limite{X}{0}{X\e^X}=0$ (croissance comparée en 0).

Q-
$f(x)=\frac{\e^x - 1}{x}$. Alors, $\limite{x}{0}{f(x)}=$:

R-
0|0
1|1
$+\infty$|0
$-\infty$|0

I-
En posant $u(x)=\e^x$ et $x=0+h$, $\limite{x}{0}{f(x)}=\limite{h}{0}{\frac{u(0+h)-u(0)}{h}}=u'(0)=\e^0=1$.

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Q-
$f(x)=\frac{\e^{x^2-3x+2}-1}{x-1}$. Alors, $\limite{x}{1}{f(x)}=$:

R-
0|0
1|0
$-1$|1
$+\infty$|0

I-
En posant $u(x)=\e^{x^2-3x+2}$ et $h=x-1$, on a $u'(x)=(2x-3)\e^{x^2-3x+2}$ et: \[ \limite{x}{1}{f(x)} = \limite{h}{0}{\frac{u(1+h)-u(1)}{h}}=u'(1)=-1. \]

Q-
$f(x)=\frac{\e^{x^2-1}}{x^2-3x+2}$. Alors, $\limite{x}{1}{f(x)}=$:

R-
$-2$|0
$-1$|1
0|0
1|0

I-
En posant $u(x)=\e^{x^2-1}$, $v(x)=x^2-3x+2$ et $h=x-1$, on a, pour $x\neq1$: \[ f(x)=\frac{\e^{x^2-1}}{x-1}\times\frac{x-1}{x^2-3x+2}= \frac{u(1+h)-u(1)}{h} \times \frac{h}{v(1+h)-v(1)}. \] Donc, \[ \limite{x}{1}{f(x)}=\limite{h}{0}{\frac{u(1+h)-u(1)}{h}}\times \limite{h}{0}{\frac{h}{v(1+h)-v(1)}}=u'(1) \times \frac{1}{v'(1)} = 1 \times\frac{1}{-1}=-1. \]

FIN-