T- Logarithme népérien N- Terminale, enseignement de spécialité C- Pour chacune des questions suivantes, plusieurs réponses peuvent être exactes. Lesquelles ? Cochez la ou les bonnes réponses. DEBUT- Q- Simplifiez l'expression suivante : $\ln(a^3b^2) - \ln(ab)$ : R- $\ln(a^2b)$|1 $\ln(a^3b)$|0 $\ln(a^2b^2)$|0 $\ln(a^3b^2)$|0 I- On utilise les propriétés algébriques du logarithme népérien : \[ \ln(a^3b^2) - \ln(ab) = \ln\left(\frac{a^3b^2}{ab}\right)= \ln(a^2b).\] Q- Simplifiez l'expression suivante : $\ln\left(\frac{a^2}{b}\right) + \ln(b^2)$ : R- $\ln(a^2b)$|1 $\ln(a^2b^2)$|0 $\ln(a^2)$|0 $\ln(b^2)$|0 I- On utilise les propriétés algébriques du logarithme népérien : \[ \ln\left(\frac{a^2}{b}\right) + \ln(b^2) = \ln\left(\frac{a^2}{b}\times b^2\right) = \ln(a^2b). \] Q- Simplifiez l'expression suivante : $\ln\left(\frac{a^3}{b^2}\right) - \ln\left(\frac{a}{b}\right)$ : R- $\ln(a^2b)$|0 $\ln(a^2b^{-1})$|1 $\ln(a^2b^2)$|0 $\ln(a^3b^2)$|0 I- On utilise les propriétés algébriques du logarithme népérien : \[ \ln\left(\frac{a^3}{b^2}\right) - \ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln\left(\frac{a^3}{b^2}\times\frac{b}{a}\right) = \ln(a^2b^{-1}).\] -NEWPAGE- Q- Simplifiez l'expression suivante : $\ln(8) + \ln(2)$ : R- $\ln(10)$|0 $\ln(16)$|1 $\ln(6)$|0 $\ln(4)$|0 I- On utilise la propriété algébrique du logarithme népérien : $\ln(a) + \ln(b) = \ln(ab)$.\newline Ainsi, $\ln(8) + \ln(2) = \ln(8 \times 2) = \ln(16)$. Q- Simplifiez l'expression suivante : $\ln(100) - \ln(10)$ : R- $\ln(90)$|0 $\ln(10)$|0 $\ln(1000)$|0 $\ln(10)$|1 I- On utilise la propriété algébrique du logarithme népérien : $\ln(a) - \ln(b) = \ln\left(\frac{a}{b}\right)$.\newline Ainsi, $\ln(100) - \ln(10) = \ln\left(\frac{100}{10}\right) = \ln(10)$. Q- Simplifiez l'expression suivante : $3\ln(2) + 2\ln(3)$ : R- $\ln(12)$|0 $\ln(24)$|0 $\ln(72)$|1 $\ln(36)$|0 I- On utilise les propriétés algébriques du logarithme népérien : \[ a\ln(b) = \ln(b^a) \text{ et } \ln(a) + \ln(b) = \ln(ab).\] Ainsi, \[ 3\ln(2) + 2\ln(3) = \ln(2^3) + \ln(3^2) = \ln(8) + \ln(9) = \ln(8 \times 9) = \ln(72). \] Q- Simplifiez l'expression suivante : $\ln(25) - \ln(5)$ : R- $\ln(5)$|0 $\ln(20)$|1 $\ln(30)$|0 $\ln(125)$|0 I- On utilise la propriété algébrique du logarithme népérien : $\ln(a) - \ln(b) = \ln\left(\frac{a}{b}\right)$.\newline Ainsi, $\ln(25) - \ln(5) = \ln\left(\frac{25}{5}\right) = \ln(5)$. Q- Résolvez l'équation suivante : $\ln(x^2) = \ln(4x - 3)$ : R- $x = 1$ ou $x = 3$|1 $x = 0$ ou $x = 4$|0 $x = 2$ ou $x = 5$|0 $x = -1$ ou $x = 3$|0 I- Pour résoudre $\ln(x^2) = \ln(4x - 3)$, nous avons d'abord $x^2 = 4x - 3$ par la propriété du logarithme. Ensuite, nous formons l'équation quadratique $x^2 - 4x + 3 = 0$, qui se factorise en $(x - 1)(x - 3) = 0$. Ainsi, les solutions sont $x = 1$ ou $x = 3$ (qui sont bien dans le domaine de définition des deux logarithmes). -NEWPAGE- Q- Résolvez l'équation suivante : $\ln(x + 1) = \ln(2x - 3)$ : R- $x = 4$|1 $x = 2$|0 $x = 0$|0 $x = -1$|0 I- Pour résoudre $\ln(x + 1) = \ln(2x - 3)$, nous avons d'abord $x + 1 = 2x - 3$ par la propriété du logarithme. Ensuite, nous résolvons pour $x$: $x + 1 = 2x - 3$ donne $x = 4$, qui est bien dans le domaine de définition des logarithmes. Q- Résolvez l'équation suivante : $\ln(x^2 - 1) = \ln(3x + 1)$ : R- $x = 2$|0 $x = 3$|0 $x = 4$ ou $x=-1$|0 $x = 4$|1 I- Pour résoudre $\ln(x^2 - 1) = \ln(3x + 1)$, nous avons d'abord $x^2 - 1 = 3x + 1$ par la propriété du logarithme. Ensuite, nous formons l'équation quadratique $x^2 - 3x - 2 = 0$. Résolvant cette équation quadratique, nous trouvons que les solutions possibles sont $x = 4$ et $x = -1$. Cependant, $-1$ n'est pas dans le domaine de définition de $\ln(x^2-1)$, donc n'est pas solution. Q- Résolvez l'équation suivante : $\ln(x + 5) = \ln(7x - 1)$ : R- $x = 1$|1 $x = 2$|0 $x = 3$|0 $x = 0.6$|0 I- Pour résoudre $\ln(x + 5) = \ln(7x - 1)$, nous avons d'abord $x + 5 = 7x - 1$ par la propriété du logarithme. Ensuite, nous résolvons pour $x$: $x + 5 = 7x - 1$ donne $6x = 6$ donc $x = 1$. Q- Calculez la dérivée de la fonction suivante : $f(x) = \ln(x^2 + 1)$ : R- $f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}$|1 $f'(x) = \frac{x^2}{x^2 + 1}$|0 $f'(x) = \frac{2x}{x^2}$|0 $f'(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$|0 I- Pour calculer la dérivée de $f(x) = \ln(x^2 + 1)$, nous utilisons la formule de la dérivée de $\ln(u)$, qui est $\frac{u'}{u}$, où $u = x^2 + 1$. Ainsi, $u' = 2x$. Par conséquent, la dérivée de $f(x)$ est $f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}$. Q- Calculez la dérivée de la fonction suivante : $f(x) = \ln(\sqrt{x^2 + 1})$ : R- $f'(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$|1 $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}}$|0 $f'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$|0 $f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$|0 I- La dérivée de $\ln(u)$ est $\frac{u'}{u}$, où $u = \sqrt{x^2 + 1}$. Ainsi, $u' = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$. Par conséquent, la dérivée de $f(x)$ est $f'(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$. -NEWPAGE- Q- Calculez la dérivée de la fonction suivante : $f(x) = x \ln(x)$ : R- $f'(x) = \ln(x) + 1$|1 $f'(x) = \frac{1}{x}$|0 $f'(x) = \ln(x)$|0 $f'(x) = \frac{x}{\ln(x)}$|0 I- $f=u\times v$, avec $u=x$, $u'=1$, et $v=\ln x$, $v'=\frac1x$. Par conséquent, la dérivée de $f(x)$ est $f'(x) = \ln(x) + x \times \frac{1}{x} = \ln(x) + 1$. Q- Un phénomène suit une loi de décroissance exponentielle donnée par $N(t) = N_0 \e^{-kt}$. Exprimez $t$ en fonction de $N(t)$ et des autres paramètres : R- $t = \frac{1}{k} \ln\left(\frac{N(t)}{N_0}\right)$|0 $t = \frac{k}{\ln\left(\frac{N_0}{N(t)}\right)}$|0 $t = \frac{k}{\ln\left(\frac{N(t)}{N_0}\right)}$|0 $t = \frac{1}{k} \ln\left(\frac{N_0}{N(t)}\right)$|1 I- Nous partons de l'équation $N(t) = N_0 \e^{-kt}$. En prenant le logarithme népérien des deux côtés, nous obtenons $\ln(N(t)) = \ln(N_0) - kt$. En isolant $t$, nous avons $t = \frac{1}{k} \ln\left(\frac{N_0}{N(t)}\right)$. Q- La population d'une ville croît exponentiellement selon la formule $P(t) = P_0 \e^{kt}$, où $P_0$ est la population initiale, $k$ est une constante et $t$ est le temps en années. Si la population double en 10 ans, trouvez la valeur de $k$ : R- $k = \frac{10}{\ln(2)}$|0 $k = \frac{\ln(2)}{10}$|1 $k = \ln(2)$|0 $k = \frac{1}{\ln(2)}$|0 I- Nous savons que la population double en 10 ans, donc $P(10) = 2P_0$. En substituant dans la formule, nous avons $P_0 \e^{k \times 10} = 2P_0$. En simplifiant, nous obtenons $\e^{10k} = 2$. En prenant le logarithme népérien des deux côtés, nous avons $10k = \ln(2)$, donc $k = \frac{\ln(2)}{10}$. Q- Calculez $\limite{x}{+\infty}{\frac{\ln(x)}{x}}$. R- $0$|1 $+\infty$|0 $1$|0 $-\infty$|0 I- Pour calculer la limite $\limite{x}{+\infty}{\frac{\ln(x)}{x}}$, nous utilisons la croissance comparée des fonctions logarithmiques et polynômiales. La fonction $\ln(x)$ croît beaucoup plus lentement que la fonction linéaire $x$, donc la limite est $0$. -NEWPAGE- Q- Calculez $\limite{x}{+\infty}{ \frac{\ln(x^2 + 1)}{\ln(x)} }$. R- $2$|1 $0$|0 $1$|0 $+\infty$|0 I- On factorise dans un premier temps l'opérande du logarithme: \[ \ln(x^2 + 1) = \ln\left[ x^2\left(1+\frac{1}{x^2}\right) \right] = \ln(x^2) + \ln\left(1+\frac{1}{x^2}\right)=2\ln(x)+\ln\left(1+\frac{1}{x^2}\right). \] Ensuite, on peut écrire: \[ \limite{x}{+\infty}{\frac{\ln(x^2 + 1)}{\ln(x)}} = \limite{x}{+\infty}{ \frac{2\ln(x) + \ln\left(1+\frac{1}{x^2}\right)}{\ln(x)}} = \limite{x}{+\infty}{\left[2+\frac{\ln\left(1+\frac{1}{x^2}\right)}{\ln(x)}}\right]=2+0=2.\] Q- Calculez $\limite{x}{2}{\frac{\ln(x^2-3x+4)-\ln2}{x-2}}$. R- 0|0 $\frac12$|1 $-\frac23$|0 $+\infty$|0 I- En posant $u(x)=\ln(x^2-3x+4)$ et $h=x-2$, et en constatant que $u(2)=\ln2$, on a: \[ \limite{x}{2}{\frac{\ln(x^2-4x+6)-\ln2}{x-2}} = \limite{h}{0}{\frac{u(2+h)-u(2)}{h}}=u'(2)=\frac12. \] Q- Calculez $\limite{x}{1}{\frac{x\ln(x)-x}{x-1}}$. R- 0|1 1|0 $-\infty$|0 $+\infty$|0 I- En posant $u(x)=x\ln(x)-x$ et $h=x-1$, et en constatant que $u(1)=0$ et $u'(x)=\ln(x)$, on a: \[ \limite{x}{1}{\frac{x\ln(x)-x}{x-1}} = \limite{h}{0}{\frac{u(1+h)-u(1)}{h}} = u'(1) = \ln(1) = 0. \] FIN-