T-
Convexité

N-
Terminale, enseignement de spécialité

C-
Pour chacune des questions suivantes, plusieurs réponses peuvent être exactes. Lesquelles ? Cochez la ou les bonnes réponses.

DEBUT-

Q-
$f$ est une fonction convexe sur \intervFF{3}{8} dont la courbe représentative est notée $\mathcal{C}$. Alors, la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 5 est:

R-
au-dessus de $\mathcal{C}$|0
en-dessous de $\mathcal{C}$|1
coupe $\mathcal{C}$ en un point|1
coupe $\mathcal{C}$ en deux points|0

Q-
$f$ est une fonction concave sur \intervFF{1}{4} puis convexe sur \intervFF{4}{10}. Alors, sur \intervFF{1}{10}, la courbe représentative de $f$:

R-
admet aucun point d'inflexion|0
un point d'inflexion|1
est au-dessus de ses tangentes|0
est en dessous de ses tangentes|0

Q-
$f$ est une fonction telle que $f''(x) \geqslant 0$ sur \intervFF{-3}{0} et $f''(x)\leqslant0$ sur \intervFF{0}{5}. Alors:

R-
$f$ est concave sur \intervFF{1}{2}|1
$f$ est convexe sur \intervFF{-1}{0}|1
$f'$ est croissante sur \intervFF{-2}{-1}|1
$f'$ est décroissante sur \intervFF{-1}{1}|0

Q-
La fonction $f$ définie sur \R par $f(x)=(x+1)\e^{-x}$:

R-
$f$ est convexe sur \intervFF{1}{4}|0
$f$ est concave sur \intervFF{1}{4}|1
La courbe admet un point d'inflexion|1
La courbe admet deux points d'inflexion|0

Q-
La fonction $f$ définie sur \R par $f(x)=(x^2-3x+2)\e^{x}$:

R-
n'admet aucun point d'inflexion|0
admet un point d'inflexion|0
admet deux points d'inflexion|1
est concave sur \intervFF{-2}{1}|1

I-
$f''(x)=(x+2)(x-1)\e^x$ donc s'annule en chageant de signe deux fois et est négative sur \intervFF{-2}{1}.

-NEWPAGE-

Q-
Soit $f$ la fonction dont on donne la représentation graphique ci-dessous:\input{graphique01.tex}

R-
$f$ est convexe sur \intervFF{1}{4}|0
$f$ est concave sur \intervFF{1}{4}|1
La courbe admet un point d'inflexion|1
La courbe admet deux points d'inflexion|0

Q-
Soit $f$ la fonction dont on donne la représentation graphique ci-dessous:\input{graphique02.tex}

R-
n'admet aucun point d'inflexion|0
admet un point d'inflexion|0
admet deux points d'inflexion|1
est convexe sur \intervFF{-1}{0}|1

I-
Points d'inflexion en $x=0$ et $x=2$.

Q-
Soit la fonction $f$ définie sur \R par $f(x)=x\ln(\e^x+1)$, de courbe représentative $\cal{C}$.

R-
$f$ est convexe sur \R|1
$f$ est concave sur \R|0
$\cal C$ admet un point d'inflexion|0
$\cal C$ admet deux points d'inflexion|0

-NEWPAGE-

Q-
Soit $f$ la fonction telle que $f'(x)=(x-2)\e^x$ sur \R. On note $\cal C$ la courbe représentative de $f$.

R-
$f$ est concave sur \intervFO{1}{+\infty}|0
$f$ est convexe sur \intervFO{1}{+\infty}|1
$\cal C$ admet un point d'inflexion|1
$\cal C$ admet deux points d'inflexion|0

Q-
Soit $f$ la fonction définie sur \R par $f(x)=\frac{\e^x-1}{\e^x+1}$, dont la courbe représentative est notée $\cal C$.

R-
$\cal C$ admet un point d'inflexion|1
$\cal C$ admet deux points d'inflexion|0
$f$ est concave sur \intervFO{0}{+\infty}|1
$f$ est convexe sur \intervFO{0}{+\infty}|1

I-
$f''(x)=-\frac{2\e^x\big(\e^x-1\big)}{\big(\e^x+1\big)^3}$

FIN-