T-
\'Equations différentielles, primitives

N-
Terminale, enseignement de spécialité

C-
Pour chacune des questions suivantes, plusieurs réponses peuvent être exactes. Lesquelles ? Cochez la ou les bonnes réponses.

DEBUT-

Q-
Résolvez l'équation différentielle $y' = x$.

R-
$y(x) = x^2 + C$ où $C$ est une constante|0
$y(x) = x + C$ où $C$ est une constante|0
$y(x) = \frac{x^2}{2}$|0
$y(x) = \frac{x^2}{2} + C$ où $C$ est une constante|1

Q-
Résolvez l'équation différentielle $y' = \sin(x)$.

R-
$y(x) = -\cos(x) + C$ où $C$ est une constante|1
$y(x) = \cos(x) + C$ où $C$ est une constante|0
$y(x) = \sin(x) + C$ où $C$ est une constante|0
$y(x) = -\sin(x) + C$ où $C$ est une constante|0

Q-
Résolvez l'équation différentielle $y' = \e^x$.

R-
$y(x) = x\e^x + C$ où $C$ est une constante|0
$y(x) = \e^x$|0
$y(x) = \e^x + C$ où $C$ est une constante|1
$y(x) = x\e^x$|0

Q-
Résolvez l'équation différentielle $y' = \frac{1}{x}$.

R-
$y(x) = \ln(x) + C$ où $C$ est une constante|0
$y(x) = \ln\vert x \vert + C$ où $C$ est une constante|1
$y(x) = \frac{1}{x^2} + C$ où $C$ est une constante|0
$y(x) = -\frac{1}{x^2} + C$ où $C$ est une constante|0


Q-
Résolvez l'équation différentielle $y' = \ln(x)$.

R-
$y(x) = x\ln(x) - x + C$ où $C$ est une constante|1
$y(x) = \frac{\ln(x)}{x} + C$ où $C$ est une constante|0
$y(x) = \ln(x) + C$ où $C$ est une constante|0
$y(x) = x\ln(x) + C$ où $C$ est une constante|0

I-
Ici, on peut dériver les propositions et ne retenir que celle dont la dérivée vaut $\ln(x)$.

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Q-
Résolvez l'équation différentielle $y' = \frac{1}{2}x^3 + 2x^2-1$.

R-
$y(x) = \frac{1}{6}x^4+ x^3 - x + C$ où $C$ est une constante|0
$y(x) = \frac{1}{8}x^4 + \frac{2}{3}x^3 - x + C$ où $C$ est une constante|1
$y(x) = \frac{1}{2}x^4 + \frac{1}{3}x^3 - 1 + C$ où $C$ est une constante|0
$y(x) = \frac{1}{8}x^4 + \frac{1}{3}x^3 - x  + C$ où $C$ est une constante|0

Q-
Résolvez l'équation différentielle $y' = \frac{2}{3}\e^{3x+1}$.

R-
$y(x) = \frac{2}{3}\e^{3x+1} + C$ où $C$ est une constante|0
$y(x) = 2\e^{3x+1} + C$ où $C$ est une constante|0
$y(x) = \frac{2}{9}\e^{3x+1} + C$ où $C$ est une constante|1
$y(x) = \frac{2}{9}\e^{3x}  + C$ où $C$ est une constante|0

Q-
Résolvez l'équation différentielle suivante : $y' = y$ :

R-
$y(x) = \e^x$|0
$y(x) = C\e^x$ où $C$ est une constante|1
$y(x) = C$ où $C$ est une constante|0
$y(x) = x + C$ où $C$ est une constante|0

Q-
Résolvez l'équation différentielle suivante : $y' = -2y$ :

R-
$y(x) = C\e^{-2x}$ où $C$ est une constante|1
$y(x) = \e^{-2x}$|0
$y(x) = C$ où $C$ est une constante|0
$y(x) = x + C$ où $C$ est une constante|0

Q-
Résolvez l'équation différentielle suivante : $y' = 3y + 2$ :

R-
$y(x) = C\e^{3x}$ où $C$ est une constante|0
$y(x) = C\e^{3x} - \frac{2}{3}$ où $C$ est une constante|1
$y(x) = C\e^{3x} + 2$ où $C$ est une constante|0
$y(x) = C\e^{3x} + \frac{2}{3}$ où $C$ est une constante|0

Q-
Résolvez l'équation différentielle suivante : $y' = y + \e^x$ :

R-
$y(x) = C\e^x$ où $C$ est une constante|0
$y(x) = C\e^x + \e^x$ où $C$ est une constante|0
$y(x) = C\e^x - x\e^x$ où $C$ est une constante|1
$y(x) = C\e^x + x\e^x$ où $C$ est une constante|0

I-
L'équation différentielle $y' = y + \e^x$ est une équation différentielle linéaire du premier ordre. Nous utilisons la méthode de variation des constantes pour trouver la solution. La solution homogène est $y_h(x) = C\e^x$. Pour trouver une solution particulière, nous supposons une solution de la forme $y_p(x) = u(x)\e^x$. En substituant dans l'équation différentielle, nous obtenons : \[ u'(x)\e^x = \e^x \implies u'(x) = 1 \implies u(x) = x + C. \] Ainsi, la solution générale est $y(x) = C\e^x - x\e^x$, où $C$ est une constante.

Q-
Résolvez l'équation différentielle suivante : $y' = 2y + 3$ :

R-
$y(x) = C\e^{2x}$ où $C$ est une constante|0
$y(x) = C\e^{2x} - \frac{3}{2}$ où $C$ est une constante|1
$y(x) = C\e^{2x} + 3$ où $C$ est une constante|0
$y(x) = C\e^{2x} + \frac{3}{2}$ où $C$ est une constante|0

Q-
Résolvez l'équation différentielle suivante : $y' = -y + x$ :

R-
$y(x) = C\e^{-x} + x - 1$ où $C$ est une constante|1
$y(x) = C\e^{-x}$ où $C$ est une constante|0
$y(x) = C\e^{-x} + x$ où $C$ est une constante|0
$y(x) = C\e^{-x} + x + 1$ où $C$ est une constante|0

-NEWPAGE-

Q-
Résolvez l'équation différentielle suivante : $y' = y + \sin(x)$ :

R-
$y(x) = C\e^x - \frac{1}{2}(\sin(x) + \cos(x))$, $C\in\R$|0
$y(x) = C\e^x$, $C\in\R$|0
$y(x) = C\e^x + \sin(x)$, $C\in\R$|0
$y(x) = C\e^x - \frac{1}{2}(\sin(x) - \cos(x))$, $C\in\R$|1

Q-
Résolvez l'équation différentielle suivante : $y' = -2y + \e^{-x}$ :

R-
$y(x) = C\e^{-2x} + \e^{-x}$ où $C$ est une constante|0
$y(x) = C\e^{-2x} + x\e^{-x}$ où $C$ est une constante|0
$y(x) = C\e^{-2x} + \frac{1}{2}\e^{-x}$ où $C$ est une constante|0
$y(x) = C\e^{-2x} + x\e^{-2x}$ où $C$ est une constante|1


FIN-