T- Combinatoire N- Terminale, enseignement de spécialité C- Pour chacune des questions suivantes, plusieurs réponses peuvent être exactes. Lesquelles ? Cochez la ou les bonnes réponses. DEBUT- Q- Combien de façons différentes peut-on ordonner les lettres du mot "ALGÈBRE" si toutes les lettres sont distinctes ? R- $7$|0 $7!$|1 $6!$|0 $6$|0 I- Il y a $7$ lettres distinctes, donc le nombre d’arrangements possibles est $7! = \numprint{5040}$. Q- Combien de \og mots \fg{} de 3 lettres peut-on faire avec les lettres A, B, C, D, E (pas de répétition de lettres) ? R- $5^3$|0 $3!$|0 $5!$|0 $5 \times 4 \times 3$|1 I- C’est un arrangement de 3 éléments parmi 5 sans répétition, soit $A_5^3 = 5 \times 4 \times 3 = 60$. Q- Combien de groupes de 4 élèves peut-on former sur un ensemble de 10 élèves, sans ordre ni répétition ? R- $10 \times 4$|0 $\binom{10}{4}$|1 $10^4$|0 $\frac{10!}{4!}$|0 I- Le nombre de combinaisons de 4 éléments parmi 10 est donné par $\binom{10}{4} = \dfrac{10!}{4!(10-4)!} = 210$. Q- On lance deux dés à 6 faces. Combien y a-t-il de résultats possibles différents pour le couple (résultat du premier dé, résultat du second dé) ? R- $36$|1 $12$|0 $6$|0 $2 \times 6!$|0 I- Chaque dé a 6 issues, et les lancers sont indépendants. Il y a donc $6 \times 6 = 36$ couples possibles. -NEWPAGE- Q- Combien de mots de 3 lettres peut-on former avec les lettres A, B, C si la répétition est autorisée et l’ordre compte ? R- $3 \times 2 \times 1$|0 $3^3$|1 $3!$|0 $9!$|0 I- On a 3 choix pour chaque lettre, avec répétition, donc $3 \times 3 \times 3 = 3^3 = 27$ mots possibles. Q- Un sac contient 5 boules rouges et 3 boules bleues indiscernables au toucher. On tire successivement 2 boules sans remise. Combien de couples différents de boules (rouge ou bleue) peut-on obtenir ? R- $8 \times 7$|0 $8^2$|0 $\binom{8}{2}$|1 $\binom{5}{2} + \binom{3}{2}$|0 I- Le nombre total de façons de choisir 2 boules parmi 8 sans remise et sans tenir compte de l’ordre est $\binom{8}{2} = 28$. Q- Dans un club, il y a 6 filles et 4 garçons. Combien de façons peut-on constituer une équipe de 3 personnes comprenant exactement 2 filles et 1 garçon ? R- $\binom{10}{3}$|0 $\binom{6}{2} \times \binom{4}{1}$|1 $\binom{6}{3} + \binom{4}{3}$|0 $\binom{6}{2} + \binom{4}{1}$|0 I- On choisit 2 filles parmi 6 et 1 garçon parmi 4 : $\binom{6}{2} \times \binom{4}{1} = 15 \times 4 = 60$ équipes possibles. Q- Un mot de passe est composé de 4 lettres choisies parmi les 26 lettres de l’alphabet, sans répétition. Combien de mots différents peut-on former ? R- $4!$|0 $26^4$|0 $\binom{26}{4}$|0 $26 \times 25 \times 24 \times 23$|1 I- C’est un arrangement de 4 lettres parmi 26, sans répétition : $A_{26}^4 = 26 \times 25 \times 24 \times 23$. Q- Dans le développement de $(2x - 3)^5$, combien de termes contient l’expression développée et réduite ? R- $5$|0 $10$|0 $6$|1 $2^5$|0 I- Il y a $n+1$ termes distincts dans le développement de $(a + b)^n$. Ici, $n = 5$, donc il y a $6$ termes. -NEWPAGE- Q- On tire au hasard 3 fois une boule dans une urne contenant 5 boules numérotées de 1 à 5, avec remise. Combien d’issues possibles pour ce tirage ? R- $5^3$|1 $5 \times 4 \times 3$|0 $\binom{5}{3}$|0 $3^5$|0 I- Chaque tirage offre 5 possibilités, et les tirages sont indépendants (avec remise), donc $5 \times 5 \times 5 = 5^3 = 125$ issues. Q- Combien de mains de 5 cartes tirées dans un jeu de 32 cartes contiennent exactement 1 roi ? R- $\binom{4}{1} \times \binom{31}{4}$|0 $\binom{4}{1} \times \binom{4}{4}$|0 $\binom{4}{1} \times \binom{28}{4}$|1 $\binom{32}{5} - \binom{28}{5}$|0 I- On choisit 1 roi parmi 4, puis 4 cartes parmi les 28 autres cartes (hors rois), soit $\binom{4}{1} \times \binom{28}{4}$. Q- Combien de mains de 5 cartes ne contenant que des cartes rouges peut-on tirer dans un jeu de 52 cartes ? R- $2^5$|0 $\binom{26}{5}$|1 $\binom{52}{5}$|0 $26^5$|0 I- Il y a 26 cartes rouges (cœurs et carreaux), donc on choisit 5 cartes parmi elles : $\binom{26}{5}$. Q- Combien de mains de 5 cartes contiennent exactement 3 figures (valet, dame ou roi) dans un jeu de 32 cartes ? R- $\binom{12}{3} \times \binom{20}{2}$|1 $\binom{12}{3} \times \binom{20}{3}$|0 $\binom{32}{5}$|0 $\binom{12}{5}$|0 I- Il y a 12 figures (3 par couleur), donc $\binom{12}{3}$ façons de choisir 3 figures, et $\binom{20}{2}$ façons de choisir 2 cartes parmi les autres (cartes non figures). Q- Combien de mains de 5 cartes tirées dans un jeu de 52 cartes contiennent au moins un as ? R- $\binom{4}{1} \times \binom{48}{4}$|0 $\binom{4}{5}$|0 $\binom{52}{5} - \binom{48}{5}$|1 $4^5$|0 I- On enlève les cas sans aucun as (on tire parmi les 48 cartes restantes) du total des mains : $\binom{52}{5} - \binom{48}{5}$. -NEWPAGE- Q- Parmi les propositions suivantes, lesquelles donnent le nombre de mains de 5 cartes contenant au moins une figure (valet, dame ou roi) dans un jeu de 32 cartes ? R- $\binom{32}{5} - \binom{20}{5}$|1 $12 \times \binom{31}{4}$|0 $\displaystyle\sum_{k=1}^{5} \binom{12}{k} \binom{20}{5-k}$|1 $\binom{12}{1} \times \binom{20}{4}$|0 I- Il y a 12 figures et 20 cartes non figures. \newline Le nombre de mains sans aucune figure est $\binom{20}{5}$, donc celles avec au moins une figure est $\binom{32}{5} - \binom{20}{5}$. \newline On peut aussi sommer les cas avec exactement 1, 2, ..., 5 figures : $$\sum_{k=1}^{5} \binom{12}{k} \binom{20}{5-k}$$. Q- Laquelle ou lesquelles des expressions suivantes donnent un nombre de combinaisons de 3 objets choisis parmi 7, sans tenir compte de l’ordre ? R- $\dfrac{7 \times 6 \times 5}{3!}$|1 $A_7^3$|0 $3 \times \binom{7}{3}$|0 $\binom{7}{3}$|1 I- La formule du nombre de combinaisons de 3 éléments parmi 7 est $\binom{7}{3}$. \newline On peut aussi écrire : $\binom{7}{3} = \dfrac{7 \times 6 \times 5}{3!}$. \newline $A_7^3 = 7 \times 6 \times 5$ correspond à un arrangement, donc avec ordre. Multiplier par 3 ne correspond à aucune logique combinatoire ici. Q- On dispose de 6 livres différents. Parmi les propositions suivantes, lesquelles donnent un nombre possible de façons de choisir et d'ordonner 4 livres parmi eux ? R- $A_6^4$|1 $\dfrac{6!}{2!}$|0 $6 \times 5 \times 4 \times 3$|1 $\dfrac{6!}{(6-4)!}$|1 I- Choisir et ordonner 4 livres parmi 6 revient à un arrangement de 4 éléments parmi 6 : $$A_6^4 = \dfrac{6!}{(6 - 4)!} = 6 \times 5 \times 4 \times 3.$$ La formule $\dfrac{6!}{2!}$ ne correspond à rien de pertinent ici : elle n'a pas de sens combinatoire dans ce contexte. -NEWPAGE- Q- On dispose de 8 personnes. On souhaite former un comité de 3 membres. Parmi les propositions suivantes, lesquelles donnent correctement le nombre de comités distincts possibles ? R- $\binom{8}{3}$|1 $\dfrac{8!}{5! \times 3!}$|1 $8 \times 7 \times 6$|0 $\dfrac{8 \times 7 \times 6}{3!}$|1 I- Un comité de 3 personnes parmi 8 est une combinaison, donc sans ordre : $\binom{8}{3} = \dfrac{8!}{5! \times 3!}$. \newline On peut aussi écrire : $\dfrac{8 \times 7 \times 6}{3!}$, qui est une écriture équivalente. \newline $8 \times 7 \times 6$ est un arrangement, donc tient compte de l’ordre, ce qui est faux ici. Q- On considère le mot \og STATISTIQUES \fg. Parmi les propositions suivantes, lesquelles permettent de calculer le nombre d’anagrammes différentes de ce mot ? R- $\dfrac{12!}{3! \times 2! \times 2!}$|1 $12!$|0 $\dfrac{12!}{6 \times 4}$|1 $\dfrac{12!}{3! \times 3! \times 2! \times 2!}$|0 I- Le mot contient 12 lettres dont 3 T, 2 S, 2 I, et 4 lettres apparaissant une seule fois, donc le nombre d’anagrammes est $\dfrac{12!}{3! \times 2! \times 2!}=\dfrac{12!}{6\times4}$. Q- Combien y a-t-il d’anagrammes différentes du mot \og RENDEMENT \fg ? R- $\dfrac{9!}{2! \times 2!}$|1 $9!$|0 $\dfrac{9!}{4}$|1 $\dfrac{9!}{2!}$|0 I- Le mot \og RENDEMENT \fg{} contient 9 lettres dont 2 E et 2 N, les autres lettres apparaissant une seule fois, donc le nombre d’anagrammes est $\dfrac{9!}{2! \times 2!}=\frac{9!}{4}$. FIN-